五、六十年代的高考数学,解方程是必考题?!

二、求 ,, 的值,使多项式 +++ 适合下列三条件:

(1)被 -1 整除;

(2)被 -3 除时余 2;

(3)被 +2 除与被 -2 除时余数相等.

解题思路：记，因能被-1整除，则 ,且是的二次函数，令=1，则,即.

同理，,即

,即

联立方程，可解得.

这是1957年高考数学的第二题

这是1958年广东卷的第二题

这是1963年第8题

当然，除了这些关于的方程或方程组，还有解三角方程，本文仅列以上3道为例谈谈我的看法

三个真考点——

等价变形意识——不是「算出答案」，而是每一步都问「变形前后解集一样吗」。三道题各埋了一个坑：漏支、增根、根号非负。

整体代换（换元）——把反复出现的那一块圈出来当成一个字母，是三题共同的「题眼」。这比任何解题套路都值钱。

定义域优先——对数、根式、分母，动笔前先划红线。1957 正卷和 1958 卷的区分度全在这里。

一年之间的变化，以及对今天的意义

1957 年偏纯代数技巧（因式分解、双十字相乘），1958 年就把根式、分式、换元、检验揉在一起，难度上了一个台阶。共同点是：全卷只有几道解答题、没有选择填空，过程书写就是全部得分点，一步变形不合法，后面算得再漂亮也白搭。

放到今天的新高考，这类繁复计算基本不考了，但思想一点没退场——整体代换藏在函数与导数里，换元藏在解三角形与最值里，定义域藏在恒成立与参数讨论里，只是更隐蔽。老题的价值不是让学生去算，是让他们看见「结构」两个字怎么写。