夜雨聆风四微分方程
试题分析
（一）填空题
方程 的通解为 。（96,上,期末）解 这是形如 的一阶线性非齐次方程，直接用它的通解公式便得。
设函数 在任一点 处的改变量 可表示为 ，且当 时， 是 的高阶无穷小，，则 。（99,上,期末）解 由题设得 ，令 取极限得微分方程
解得 。因为 ，所以 ，代入便得 。
若二阶常系数线性微分方程 有特解 ，则此方程的通解为 。（96,上,期末）解 由二阶常系数线性非齐次微分方程的解的结构特点，可知特征方程 有根 。从而有 。注 也可直接将特解代入方程，定出 ，再求出通解。
若已知二阶微分方程 的一个特解为 ，则该方程的通解为 。（95,上,期末）解 微分方程对应的特征方程是 ，特征根为 。所以，对应齐次方程的通解为 ，从而方程的通解为 。
二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 ，则该方程为 。（03,下,期末）解 由特解的形式知 是特征方程的重根，得方程所对应的特征方程为 。由特征方程即得该方程。
微分方程 的通解为 。（03,下,期末）解 令 ，则原方程变为 ，这是一个二阶常系数线性齐次方程，解之得 再积分得 。
（二）单项选择题
设线性无关的函数 都是二阶非齐次线性微分方程的特解，则非齐次线性微分方程的通解为(A) (B) (C) (D) **[B]**（94,下,期末）解 二阶非齐次线性微分方程的通解是由对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解构成的。由题知 和 都是齐次方程的解，而且线性无关，所以原方程的通解为
而其余的都不对，知道为什么吗？
微分方程 的特解形式为（其中 为常数）(A) (B) (C) (D) **[D]**（03,下,期末）解 自由项 中的 是特征方程 的单根，由待定系数法知该方程的特解形式应为 。
微分方程 的特解具有形式（其中 为待定常数）(A) (B) (C) (D) **[D]**（91,下,期末）解 考虑方程 ，由于 是特征方程的一个根，因此该方程的特解具有形式 ，而其虚部是原方程的特解，故应选 (D)。
设 可微。若定积分 的值与 无关，则 等于(A) (B) (C) (D) 其中 为任意常数。**[B]**（98,上,期末）解 因为 的值与 无关，所以它是一个常数。于是有
由一阶线性方程的求解公式即得 。
（三）计算题
求微分方程 的通解。（90,上,期末）分析 这是可分离变量方程，用分离变量法来解。解 原方程可写成
两边积分，得
故所求的通解为 。
求方程 满足条件 的特解。（94,上,期末）分析 这是齐次方程的定解问题。解 原方程可写成
令 ，则 ，代入上式得
两边积分得
把 代入，得 。由初始条件 ，得 。故所求特解为
注 本题也可化为以 为未知函数的线性微分方程来解。
解微分方程 （91,上,期末）分析 这个方程可化为一阶线性微分方程求解。但是，有方法是一回事，方法是否简单是另一回事。解法一 将微分方程写成
两边积分，整理得
由 ，得 。故所求特解为 。解法二 将微分方程写成
由一阶线性微分方程的通解公式，得
由 ，得 。故所求特解为 。
求微分方程 满足条件 的特解。（02,下,期末）解 原方程可化为 ，于是 。将 代入得 。从而 ，。再将 代入可得 ，故所求特解为 。注 该方程也可用降阶法来求解。
求微分方程 的通解。（04,下,期末）分析 这是形如 的可降阶的二阶微分方程，不显含变量 。解 令 ，则 ，代入原方程得 ，即 ，解之得 ，即 ，分离变量即可解得原方程通解为 。
求微分方程 的通解。（03,下,期末）分析 原方程对 而言不是线性微分方程，这是一个倒线性微分方程。解 将原方程改写为 ，即 。则上式是以 为未知函数的一阶线性方程。由一阶线性微分方程的通解公式，得原方程的通解为
设 为连续函数，(1) 求初值问题 的解，其中 是正常数；(2) 若 （ 为常数），则当 时有 。（96,研）解 (1) 由一阶线性微分方程的通解公式，得原方程的通解为
因为 ，所以
由 可得 ，故初值问题的解为 。(2) 注 初值问题的解，也可如下求得：在原方程两端同乘以 ，得
即 ，所以 ，或 。
求微分方程 的积分曲线的方程，使其在 与直线 相切。（93,下,期末）分析 先求二阶微分方程 的通解，然后由定解条件求出特解。这里的定解条件有两个，即 。解 方程 的通解是 。由已知条件知 ，代入通解中得 ，故所求的积分曲线方程为 。
求微分方程 （ 为常数）的通解。（97,上,期末）分析 这是一道典型的求二阶常系数线性非齐次方程的通解问题。难点在于要讨论常数 。解 原方程的特征方程为 ，特征根为 。故对应的齐次方程的通解为 。当 时，可设原方程的特解为 ，代入原方程，得 ，于是 。当 或 时，可设原方程的特解为 ，代入原方程，得 ，于是
故原方程的通解为
求微分方程 的通解。（95,上,期末）分析 分别求出方程 和方程 的特解 。则 是原方程的特解，然后加上 的通解即可。解 齐次方程 的通解为 。对于方程 ，由于 是特征方程的根，因此可设其特解为 ，代入方程可得 ，即 。对于方程 ，设其特解为 ，代入方程可得 ，所以有 。从而原方程的特解为
其通解为
求初值问题 的解。（04,上,期末）分析 方程的自由项可看作是两个函数之和，其特解应是两个对应特解的迭加。解 对应齐次方程的特征方程为 ，特征根为 ，于是齐次方程的通解为 。非齐次方程 的一个特解为 。对于非齐次方程 ，可考虑方程 ，由于 是特征方程的根，因此可设其特解为 ，代入该方程得 。取 的虚部即得非齐次方程 的特解为 。因而原方程的特解为
故原方程的通解为
利用初值条件可求得 。所以原问题的解为 。
（四）综合题
设 在 时可导，且满足 ，求 ，并求曲线 与 围成的平面图形的面积。（95,上,期末）分析 本题关键是求出 。这是积分方程，可化为微分方程，再求 。解 方程 两边对 求导，得 ，即 。积分得 。又由条件知 ，于是 ，所以 。令 ，得曲线 与 轴的交点是 。因此 与 三曲线围成的平面图形面积为
设 连续， 满足关系式 ，求 。（94,上,期末）分析 首先要把题目给出的方程转化为微分方程，需要注意的是被积函数 内含有 ，在对变上限积分求导前要用换元法把该被积函数中的 换出来。解 令 ，则
两边对 求导得
解此微分方程，得 。由条件 ，可得 。故 。
设 时，可微函数 满足 ，且 ，试证当 时，有 成立。（04,上,期末）解 由题设知 。所给方程可变形为
两端对 求导，并整理得
这是一个可降阶的二阶微分方程，可用分离变量法求得 。由于 ，得 ，， 单减，而 ，所以当 时，。对 在 上进行积分，得
故当 时，有 成立。
某容器形状是由曲线 绕 轴旋转而成的立体（如图），今按速度 往内倒水，为了能使水面上升的速度为 ，问 应是什么样的函数？（91,上,期末）分析 这是有关微分方程的实际应用题，关键在于如何根据具体问题建立数学模型。解 设从 开始经过时间 ，往容器中注入的水的水面高度为 。此时高度为 的旋转体体积等于容器内倒入的水的体积，所以有
对 求导得 ，故 。