文档内容
专题39 分式方程增根和无解问题
1．关于未知数x的分式方程： 无解，求a的值．
【答案】
【分析】首先解方程得 ，解得 ，令 求解即可．
【详解】解：去分母得
整理得
解 ．
因为此分式方程无解，所以 为此分式方程的增根，
所以
得 ．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，理解增根概念是解题的关键．
2．当k为何值时，方程 + ＝2有增根？
【答案】
【分析】将分式方程去分母为：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），若分式方程有增根，则x﹣3＝0，即x＝3，
将x＝3代入整式方程即可求出结果．
【详解】解：分式方程变形得： ﹣ ＝2，
去分母得：x﹣2﹣k＝2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得： k＝1．
∴当k=1时，方程有增根．
【点睛】本题主要考查的是分式方程中增根的运算，掌握其运算方法是解题的关键．
3．当k为何值时，关于x的方程 产生增根？
【答案】k＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】最简公分母x+1＝0，即x＝－1；
将分式化为整式方程得：k+x+1=1，
将x＝－1代入得k＝1．
【点睛】解此类题目的步骤是：（1）判断增根的值；（2）将分式方程化为整式方程；（3）将增
根代入整式方程求解．
4．已知关于x的方程 无解，求m的值．
【答案】－3或1
【分析】根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解
使原方程的分母等于0．
【详解】解：原方程可以化为 ,由于方程无解，故有两种情况;
(1)若整式方程无实根,则 且
(2)若整式方程的根是原方程的增根,则 ,
经检验, 是方程 的解.
综上所述, 或 .
【点睛】本题考查分式方程有意义的条件、整式方程的解法，其中涉及分类讨论的数学思想方法，
解分式方程注意验根。
5．解关于x的方程 ﹣ ＝ 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【答案】﹣5或 ．
【分析】先两边同乘以 去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x
的值，然后代入整式方程求解即可得．
【详解】
两边同乘以 去分母，得
整理得
由增根的定义得 或
当 时， ，解得当 时， ，解得
综上，所有满足条件的k的值为 或 ．
【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握分式方程的解法和增根的定义是解题关键．
6．当a为何值时，关于x的方程 无解？
【答案】 或1．
【分析】先把分式方程化成整式方程得出（a+2）x=3，根据等式得出a=-2，原方程无解，再根据
当x=1或x=0时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解释分式方程的增根，代入求出a即可．
【详解】把分式方程化成整式方程得出 ，根据等式性质得出 ，原方程无解．再根据当
或 时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解是分式方程的增根，代入求得 ．
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解方法.
7．已知方程 有增根x=1,求k的值.
【答案】3
【详解】试题分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可
能值，让最简公分母（x+1）（x-1）=0，得到x=1或-1，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
试题解析：方程两边都乘（x+1）（x-1），
得2（x-1）+k（x+1）=6
∵原方程有增根x=1，
∴当x=1时，k=3，
故k的值是3．
8．若关于x的分式方程 无解，求k的值．
【答案】 或12
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到 ，求出 ，代入整
式方程即可求出k的值．
【详解】解：分式方程两边同乘 ，去分母得： ，
由分式方程无解得到 ，或 ，即 或 ，
代入整式方程得： 或12．
【点睛】此题考查了分式方程的无解问题，解决本题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程．
9．若关于x的分式方程 无解，求m的值．【答案】m=-4或2或-1
【分析】去分母，整理得（m+1）x=-6，根据分式方程无解可知增根分别为x=2或x=-2或m+1=0，
分别求解即可．
【详解】解：去分母，得2（x+2）+mx=x-2，
整理，得（m+1）x=-6，
∵关于x的分式方程 无解，
∴当x=2时，得2（m+1）=-6，
解得m=-4，
当x=-2时，得-2（m+1）=-6，
解得m=2，
当m+1=0时，m=-1，
∴m=-4或2或-1．
【点睛】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
10． ＝ 有增根，求所有可能的t之和．
【答案】3
【分析】根据根据 有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化
为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解．
【详解】解：∵ 有增根，
∴说明0或﹣1可能是方程的增根，
去分母得：（x+1）2+x2＝x+t，
代入x＝0，有t＝1；
代入x＝﹣1，有t＝2．
故所有可能的t之和为3．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式
方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．若关于x的分式方程 有增根，求a的值．
【答案】1【分析】将分式方程化为整式方程 ，由方程有增根，可知 ，则有 ，求出 即
可．
【详解】解：方程两边都乘 ，得 即 ①，
∵ 有增根，
∴ ，即 ，
把 代入①，得 ．
所以 的值是 ．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程增根的定义是解题的关键．
12．若关于x的方程 ﹣ ＝ 无解，求实数m的值．
【答案】 或 或
【分析】方程去分母转化为整式方程，求出 的表达式，根据分式方程无解可得 或 或
的表达式中分母为0，再代入 的表达式中即可求出 的值．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
得： ，
解得： ，
方程无解，
，
或 ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
当 时，方程也无解，解得： ，
综上， 的值为 或 或 ．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的
关键．
13．若关于 的分式方程 无解但有增根，求 的值．
【答案】 的值为 或 ．【分析】将分式方程变为整式方程，然后根据增根的定义将分式方程的增根代入求值即可．
【详解】解：方程同乘以 约去分母，得
∵原分式方程无解但有增根．
∴ ，即 或 ．
解得 或 ．
当 时， ；
当 时， ．
∴ 的值为 或 ．
【点睛】此题考查的是根据分式方程有增根，求参数的值，掌握增根的定义和分式方程的解法是
解决此题的关键．
14．如果解关于 的方程 会产生增根，求 的值.
【答案】k=2
【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】两边同时乘以(x－2)可得：x=2(x－2)+k， 解得：x=4－k，
∵方程有增根， ∴x=2， 即4－k=2，解得：k=2．
【点睛】本题主要考查的是分式方程有增根的情况，属于基础题型．解决这种问题时，首先我们
将k看作已知数，求出方程的解，然后根据解为增根得出答案．
15．若关于x的分式方程 无解，求m的值．
【答案】10
【详解】试题分析：先把分式方程 去分母得 ，再
根据方程无解可得 ，最后把 代入方程 求解即可.
方程 去分母得由分式方程 无解可得
所以 ，解得 ．
考点：分式方程的增根
点评：解题的关键是熟练掌握使分式方程的最简公分母等于0的根就是分式方程的增根.
16．若关于x的方程 无解，求m的值．
【答案】m的值 或 或
【分析】将原分式方程去分母转换为整式方程，先令一元一次方程无解得出 的值，然后表示出
的值，根据原方程无解可得 ，分别代入计算即可得出结果．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
得： ，
整理得： ，
当 时，一元一次方程无解，
此时 ，
当 时， ，
∵关于x的方程 无解，
∴ ，
当 时，解得： ；
当 时，解得： ；
综上：m的值 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，分式方程无解包括转换为整式方程时一元一次方程无解
和原分式方程的分母为 两种情况，注意分类讨论．
17．方程 会产生增根；求m的值．
【答案】
【分析】原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到 ，将其代入整式方程即可求解．【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项合并，得 ，
∵原方程有增根，
∴ ，即 ，
把 代入整式方程 ，
解得 ，
∴原方程有增根时， ．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定
增根；③将增根代入整式方程求解，熟练掌握步骤是解题关键．
18．已知关于x的分式方程
(1)若解得方程有增根，且增根为x=-2，求m的值
(2)若方程无解，求m的值
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，将增根代入求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，根据无解的两种情况，一是有增根，二是整式方程无解进行计算
即可．
（1）
解：
方程两边同乘 得：
移项合并同类项得：
将 代入 得：
解得：（2）
解：由（1）可知：
∵方程无解：
①整式方程无解： ，解得：
②分式方程有增根： 或x+2=0，解得：
当 时：
当 时： ，解得：
故当 或 或 时，方程无解．
【点睛】本题考查根据分式方程的解的情况判断参数的值，注意分式方程无解包括两种情况，一
种是整式方程无解，一种是分式方程有增根．
19．若分式方程 有增根 ，求k的值．
【答案】
【分析】分式两边同乘以最简公分母可得： ，再将增根代入式子即
可求出k的值．
【详解】解：∵分式方程的最简公分母为 ，分式两边同乘以最简公分母可得：
∵分式方程有增根 ，
将其代入上式可得： ，解之得： ．
【点睛】本题考查分式方程根的情况，利用分式方程有增根求参数值，解题的关键是将增根代入
去分母之后的式子进行求解．
20．已知关于x的分式方程 ．
(1)若分式方程的根是 ，求a的值；
(2)若分式方程有增根，求a的值；
(3)若分式方程无解；求a的值的．
【答案】(1)1
(2)-2(3)3或-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；
（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；
（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
(1)
去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），
整理得：
把x=5代入 得，
，
∴a=1；
(2)
由分式方程有增根，得到x（x-2）=0，
解得：x=2或x=0，
把x=2代入整式方程 得：a=-2；
把x=0代入整式方程 得：a的值不存在，
∴分式方程有增根，a=-2
(3)
化简整式方程得：（a-3）x=-10，
当a-3=0时，该方程无解，此时a=3；
当a-3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a=-2，
综上，a的值为3或-2．
【点睛】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式
方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
21．（1）若分式方程 有增根，求 值；
（2）若分式方程 有增根 ，求 的值．
【答案】（1） 或 ；（2）
【分析】（1）首先把它化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值，代入求解即可；（2）首先把它化成整式方程，然后 代入求解即可；
【详解】解：（1）方程两边同乘 ，得 ．
∴ ．
∴ ．
由题意知增根为 或 ，
∴ 或 ．
∴ 或 ．
（2）方程两边同乘 ，得 ．
∴ ．
∴ ．
∵ 增根为 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了分式方程增根的有关计算，准确计算是解题的关键．
22．已知关于x的分式方程 无解，关于y的不等式组 的整数解有且
仅有3个，求n的取值范围．
【答案】
【分析】先由分式方程 无解求出m的值，代入不等式组，求出不等式组的解集，根
据整数解有且仅有3个，列出不等式，即可求解．
【详解】解：分式方程 转化为整式方程得： ，
∴x＝m+1，
∵原方程无解，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴m＝2，
∴不等式组为 ，
解得 ，
∵不等式组的整数解有且仅有3个，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，解题的关键是能够根据分式方程无解求出
m的值，根据不等式组只有3个整数解列出不等式．
23．已知关于 的分式方程 ．
（1）若方程的增根为 ，求 的值；
（2）若方程有增根，求 的值；
（3）若方程无解，求 的值．
【答案】（1）-4；（2） ；（3） 或 ．
【分析】（1）先去分母，然后根据方程的增根进行求解即可；
（2）若原分式方程有增根，则 ，然后代入求解即可；
（3）由（2）及题意可直接进行求解．
【详解】解：（1）去分母得：
整理，得 ．
若增根为 ，则 ．得 ；
（2）若原分式方程有增根，则 ．所以 或 ．
当 时， 得 ．
当 时， 得 ．
所以若原分式方程有增根，则 ．
（3）由（2）知，当 时，原分式方程有增根，即无解；
当 时，方程 无解．
综上知，若原分式方程无解，则 或 ．【点睛】本题主要考查分式方程的增根及无解，熟练掌握分式方程增根及无解的问题是解题的关
键．
24． 关于x的方程 有增根，求 的值．
【答案】
【分析】根据题意关于x的方程有增根，得到x的值为2或-2，代入求出k的值即可．
【详解】解：去分母，得 ，
所以 ，
因为原方程 的增根可能是 2或 -2，
当 时， =2，此时 无解，
当 时， ，解得 ，
所以当 时，原方程 有增根．
【点睛】考查分式方程的增根的知识，学生必须熟练掌握方程的增根的定义，并利用增根定义进
行解题求出参数的值是本题解题的关键．
25．若关于x的方程 无解，求a的值?
【答案】 或 或 ．
【分析】方程 可化为方程 ，利用方程
无解，求a的值．
【详解】解：方程
可化为方程 ，
∴−1−2x=ax+2，把1代入可得a=−5,2代入可得a= ，此时方程无解；
又a=−2时方程无解，∴a=−5或 ，或−2，
【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.
26．已知关于x的方程 有增根，求m的值．
【答案】m＝－3或5时．
【分析】根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公
分母x（x－1）＝0，所以增根是x＝0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】解：方程两边都乘x(x－1)，
得3(x－1)＋6x＝x＋m，
∵原方程有增根，∴最简公分母x(x－1)＝0，
解得x＝0或1，当x＝0时，m＝－3；当x＝1时，m＝5.
故当m＝－3或5时，原方程有增根．
【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
27．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 的分式方程 的解为
正数，求 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这
个关于 的方程，得到方程的解为 ，由题目可得 ，所以 ，问题解决．小聪
说：你考虑的不全面，还必须保证 才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于 的方程 的解为非负数，求 的取值范围；
(3)若关于 的方程 无解，求 的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2) 且 ；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出 的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出 的范围．
（1）
解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）
解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴ ，即
又∵
∴ ，即
∴ 且
（3）
解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴ 或者
①当 时，得：
②当 时， ，得：
综上：当 或 时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的
步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和
有曾根两种情况．
28．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，
而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分
母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
探究1：m为何值时，方程 有增根．探究2：m为何值时，方程 的根是 ．
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 的三个根中两个根之和等于第三个根；
探究4：你发现满足“探究3”条件的 的关系是______．
【答案】探究1：-9；探究2：23；探究3： ；探究4：
【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程
的三根为 且 ，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．
【详解】解：探究1：方程两边都乘 ，
得
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
故m的值是 ．
探究2：方程两边都乘 ，
得
∵原方程的根为 ，
，
探究3：由（1）（2）得
，
方程的三个对应根为 且 ，
∴ ，
=15-8b，
探究4： ，，
整理得 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的
增根是解题的关键．
