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专练 27 高考大题专练(二) 解三角形的综合运用
授课提示：对应学生用书55页
1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解析：方法一 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－)＝sin (－A)，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝×sin A＝×＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2，
由(1)得，tan A＝3>，所以<A<，
又A＋B＝，所以B>，
即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2，
设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C，
即5h＝2×3×，
解得h＝6，所以AB边上的高为6.
方法二 (1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A>0，所以sin A＝＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，所以cos A＝，
所以sin B＝sin (－A)＝(cos A＋sin A)＝×(＋)＝，
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6.
2．[2024·新课标Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝
cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
解析：(1)已知a2＋b2－c2＝ab，则有cos C＝＝.
又C∈(0，π)，所以C＝.
又sin C＝cos B，所以cos B＝＝.
又B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)可得C＝，B＝，由正弦定理，不妨令＝＝k(k>0)，则有c＝k，b＝k.
又S ＝3＋，所以S ＝bc sin A＝bc sin (B＋C)＝·k·k(sin B cos C＋cos B sin C)
△ABC △ABC
＝k2(×＋×)＝k2·＝3＋，解得k＝4(负值舍去)，故c＝k＝2.
3．[2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解析：(1)因为D为BC的中点，
所以S ＝2S ＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，
△ABC △ADC
解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝.
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所
以c＝.
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所
以b＝.
在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝.
所以tanB＝＝.
(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得＝－，
得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BAC＝＝＝－，
所以S ＝bc sin ∠BAC
△ABC
＝bc
＝bc
＝
＝，
解得bc＝4.
则由，解得b＝c＝2.
4．[2024·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋
cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长.
解析：(1)由sin A＋cos A＝2，得2(sin A＋cos A)＝2，所以sin ＝1.
由A∈(0，π)，得A＋∈，所以A＋＝，所以A＝.
(2)由A，B，C为三角形内角，得sin B≠0，sin C≠0.
因为b sin C＝c sin 2B，
所以由正弦定理得sin B sin C＝sin C sin 2B，
所以sin B＝sin 2B，即sin B＝2sin B cos B，所以cos B＝，所以B＝.
因为a＝2，A＝，所以由正弦定理，得b＝sin B＝2.
由A＝，B＝，得C＝，所以sin C＝sin ＝sin ＝×＋×＝，
所以由正弦定理，得c＝＝＝＋，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋＋＝2＋＋3．
5．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
解析：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝22＋12＋2×2×1×＝7，
得BC＝.
方法一 由正弦定理＝，
得sin ∠ABC＝＝.
方法二 由余弦定理得cos ∠ABC＝＝＝，
所以sin ∠ABC＝＝.
(2)方法一 由sin∠ABC＝，得tan ∠ABC＝，
又tan ∠ABC＝＝，所以DA＝，
故△ADC的面积为DA·AC·sin (120°－90°)＝××1×＝.
方法二 △ABC的面积为AC·AB·sin ∠BAC＝×1×2×＝，
＝＝＝，
故△ADC的面积为S ＝×＝.
△ABC
6．[2024·北京卷]在△ABC中，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B.
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，
求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别
解答，按第一个解答计分．
解析：(1)由题意知，2sin B cos B＝b cos B，
又A为钝角，∴B≠，∴2sin B＝b.
∵＝，∴b＝·sin B，
∴2sin B＝··sin B，
又a＝7，B∈(0，)，则sin B≠0，
∴2＝，∴sin A＝，
∵A为钝角，∴A＝.
(2)若选①，∵b＝7，又a＝7，A＝，此时构不成三角形，不符合题意．
若选②，∵cos B＝，∴sin B＝＝.
由正弦定理可得b＝＝3，
又sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B
＝×－×＝.
∴S ＝ab sin C＝×7×3×＝.
△ABC
若选③，∵c sin A＝c·＝，∴c＝5.
由余弦定理得cos A＝cos ＝－＝，
即－bc＝b2＋c2－a2，∴－5b＝b2＋25－49，
∴b2＋5b－24＝0，解得b＝3(负值舍去)，
∴S ＝bc sin A＝×3×5×＝.
△ABC
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin
C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
解析：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°<A<180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即＋cosC＋sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－.
由于0°<C<120°，所以sin (C＋60°)＝，故
sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝.
8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin
(C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长．
解析：(1)证明：∵sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
∴sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin Bsin C cos A－sin B cos C sin A，
∴sin C sin A cos B＝2sin B sin C cos A－sin Bcos C sin A.
由正弦定理，得ac cos B＝2bc cos A－ab cos C.
由余弦定理，得＝b2＋c2－a2－.
整理，得2a2＝b2＋c2.
(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.
又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即25＝50－bc，∴bc＝.
∴b＋c＝＝＝9，
∴a＋b＋c＝14.故△ABC的周长为14.
