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24.【整体约分 4 【 9 】 x 解 1 5 x 2 2 析 x x 4 9 】 + = 2 原 x 4 4 9 x 式 x 8 5 + 2 二 3 x x 6 (Q x 1 5_5 2 5_ 1 _0- 0 _ 4_ x _6 道 2 _ 0 )_ _= x ] 4典_ 4 9 0 >x5型2xQ5计5-46算x49题x52解析 1
丄 *1x3 3x5； *3x5 5x7丿
95=49x52x55 + 1x4x2 2001x2003 2003x2005
4
1. 【基准法】93 + 96 + 97 + 95 + 89 + 90 + 94 + 87 + 95 + 92 【解析】(1)原式
原式二
=S(=9 ( 0 4 + 9 3 x ) 5 + 2 ( x 90 5 5 + + 6) 1 + x (9 4 0 x 2 + ) 7 ) 4 - + 9 ( 9 = 0 + 1 5 5 5 ) 7 + 2 (90-1) +90 +(90 1+0 40)4 0+(0930 - 3)+(90 + 5)+(90 + 2)
—12048045
Jx3 2003 x 2005 >
4 = 4 . ( 【 l 定 + 3 义 +5= 新 +9 0 运 7x 1 算 +0 】 9+ +3 表 l+ 示 l 6+ - + 种 1 37 运 ) ++( 算 m5 - 符 +1 $+ 号 + g4 ， +—負 它 3+ 的 +普 含 5 + 义 +浏 是 2 =§ ： 9 x0* =0 〃 +( 卜 12 8 和 + = 切 92 ^ 8 '已
21.3)X 【7 位, 值2+原(5理 +】 1(】123)4S562 + 234561 + 345612 + 456123 + 561234 + 612345) + 3
1 1 2
28.【【数
知
解列
2
析
*
求
1
】和
=—
仔】
—
细
+
观
---
察
--
我
--
们
---
可
1-3-
以
--
发
二
现
一，
1、
求
2、
19
3
9
、
8*
4
1
、
999
5
。
、6分别在个、十、百、千、万、十万
6个数位上 2x 各 1(2 出 +v 现 12) 过 x(31 一 3+ 次 x以4 ， )43x 所 5 以 5x 原 6 式熄、A =---x 2 x3x4 …xlO
【 4 解析----】---原---式----二---x--------x- i2 - - 9 - 2 - - 2 - 2 - + 32 £)x …x(l 1
= 3 ［ [ . ( 解 419+ 【 2 析 ++ 3 巧 3 3 3］ 8 4 9 — 5 + . 妙 【 . 4 根. 1［ 【 + 3分 5 据 分 分 连 + 组 6 题 数) 】数 x 锁 意 11裂 裂 得 1 约 11和 - - 2差 1 分 - - ] x - - - 】 - 2 3 ］ 】 - = - - 1 ( 3- = - + 2 x X — - F （ 2 3 + - 1 3 x - 1 1 - -+ 1 1 x - -- x— ) - 1 - 1 ( 4 - 1 -— 1 - = 1 - 4 + 丄 - 2 1 - 以 - x 1 x X— p- - 22 5 - ） _ 3 ) - 4 5 _ 3 - 3 = - x x x x -+ 2 4 3 （ 7 - 6 ( ・- x - 2 - - 1 4 -i1 - 1 —x + • x - - 1 1 ,- 7 - 1 1 -+ m1 1 ― ) - 1 3 ( 1- ）1 1 2, -- = -- - 1 + -- x - 7 -- 。 - 7 - 刀 - 7 --- = 7 - ) - 一 7 -- 6 - — 7 -- . -- k ， --- , --- 八 4( -- 4 - ） 2 - 2 --- - -- + -- x 7 - 1 --- （ ) ----- ( --- 1 - i -- + ------------ = --- -- 6 -- , -- ? -- x 4 -- - ・ - = -- -- 1 -- 1・ - - , 严 1 - 所 . - x -- 9 - 以 -------------------------------
2 【 1 0 9 0 解 9 5 5 8 3 * 析 + 1 1 — 9 3 2 】【 9 0 9 0 将 4 = 解 - 后 一 析 2 1 四 一 0 9 0 9 】 3 8 项 x + - 1 _ 每 1 9 _ 1 2 91 _ 一 0 四 91 _ 0 1 2 ( _ 项 1 丄 + 1 _ 9 _ 1 分 2 9 _ 二 0 81 _ 0 为 1 + _ + （ _ 一 1 _ 2 ) 2 _ 0 ( 1 组 _ 0 1 20 一 9 _ 1 ， 9 2 _ - 9 _ x1 每丄 _ 39 + _ 9 组 _ 29 1 ） _ - ) x1 的 _ 1 3 x 9 1 _ 1 9 9 _ 1 计 28 9 = +x 8 1 算 + x 3 — -1 1 1 x 9 9 结 (49 9 l7 9 果 ++ 1 -1 9 都 )9 9 x9 9 1 是 6( x l 2 + 二 - 0 + 0 一 - 0 - , -) 0 后 ( - — - 1 1 9 - 2 = 9 - 一 0 8 - 0 x -1 4 31 - ) 3 项 9 - 2 x 9 9 ( 7 的i x - 2 +计 0 6 0 _ 0 算 + ) 33 15 =结 2 9 。 9 + _ ( 8 果 2l x 4 0 x+- - 。 都 3 , 3 2 -3x + ) 3 4 1 4 x 是 - ( 1 … l2 9 + 0 + 9 - , 1x 8 ) 剩 x9 . . 下 2 . xx 第 (3 l x + 4 1 - 所 « 9 « 9 以 x 9 9x ， l0
29.【分数一裂项差，】结果 一 是 2 + 005. 一 一 + ■ 1 1 9 99
H----1---F 1
原式=---4-.--【-拆--分-取--整--】-2-99-9- +- -99-9- x- 9-9-9-------------) x2 = 1
~ 1998 x 1999 x 2000 3~ 1159 93850 0603 99 143 195 1000
【2解 3析】 4【5 计 .解【 算 析定 3时 4 】义9分新 、 析运99、 这算9个】 4 9 9 5 算我 类 式们 的 各规 数 项定 字 的： 时 分符 可 母号 1以9 ，O 将9 表 9 可 其 2 示以 0看 选 0 发 成0 择 现 1 两0它 - 1数 们 , 中可10较0以-1大表 、 数示10的0为0-运：1或 算3 者 =， 2 拆 例2-如1=1:x3, 1000
5 出 ©1 53 1 = 和 =3© 2 其 4522=- 凑 51, 符 整 = 号 计 3X △ 算 352,表 ， . 示 故 .. 选 原 ., 择 式 1 两 95 数 9 = 9中 2 14 较 2-1 小 =1 数 3x1 的 5 运 , 算，例如：5A3=3A5=3,计算:
• 15 40 = . e 【 、 200连 y 2 0 2 力- +锁 l X 9 3 9 1 约 22 9 -3 l + X 分 ，9 X 9】9 9 9 x 2 - 1 9 l 99 1 1 1 1 1
= 2000 + 999000
苗上 (0 2 . x 6© 2 —) + 所(0.以62原5A式—=) +-----3-x-3-+----+----+-4-x-4--+------+------ 98x98 99x99
—T-----=- -1-00-1-0-0-0-—的结果是多少？ 1x3 3x5 5x7 7x9 9x11 11x13 13x15
原六=---
(
-
0
-
.3
-
A
-
—
-
)
-
+
-----X
.
-
2
-
5
-
)
------1------------X------1----------------X …X-------------------------X-------------------------
(25 .+ l)【x(乘29-9法l) (凑3 整+ 】l)x3(333 —33+31 x)-3 x(343 +33 31)x(4 —+ …1)+_x (98+1) x(98-1) (99 + 1) x(99-1)
【解析】原原式式•== 2 土 + 31 3 x 5 31 1 + =1 4 一 1 4 + 1 5 1+ 5 1 + x 2 3 6 x 6 1 12 + 13 7 11 3 1 6 2 +5 1 + 12 + 1 + 113 + 1^51 + 1 =4
%【•【解分数裂 (0 差 .6® 】 = = — 2 9 ( 岩 ) 3 9 1 2 9 0 + * 9 0 晶 9 0 ( 5 9 0 0 x 0 + . 7 1 0 6 品 1 - 2 2 1 1 5 ) A 1 x — 1 1 1 13 ) 15 - 1 1 + 1 x - 33 8 T 二 3x4 20x04 4 x 2 2 5 0 1 0 5 8 - - T 5---F x206002x5210604x 7 一 5 7 2 3 3 4
析】 • ~34H 〔3 49 63 77 91 105 3 1 37.【(0.分3A = —数 1 ) 1 裂1 + 1 (和1 — 10 0】0 2 0 . 2 0 5 0 ) 0-111 - - 1 - 1 + - 1 1 - ——1 --1- -1 1----- — 、 -1-
36.【分数裂和】= 91911 11068-8-8-- -8--8-91-------- 3 - 1- 4 -----1--2--- • • H2--0---------3--0---1----4--2--------5-6) 8」 8
6. 【乘法分配律逆用】1x2 2x3 3x4 500x501 501x502
7 9 11 13 15' 3
2005 x 2004 - 2004 x 2003 + 2205013 f5xl 210 012 1 11- 1 1121002 x 2001+ ……+ 3 x 2 - 2 x 1
【解析】原式 ---x 1------1-+-----1-----------—--+ x 7-1 一 - X8
【解析】 二 由原式得：(2005-2 1 0 6 03)6x20041+2(2003-220001)x203002+...4+2(3- 5 l 0 ) 1 5x 26 5 , 02 8
=2x(2004+2002+2000+.. .+2)
251 50 1 1 1 5 1 0 1 1 ^21 1 r
=----x-----=-----= 15— x7-— x8 =2x2x(1002+1001+1000+...+1) 16 502 32 32
31.［分=数 20裂10差01】2。 丄+丄+ -J—+......+
1 1 + 2 1 + 2 + 3 1+2 + ••■ + 100
7【. 解 【 析 乘 】 法 本 分 题 配 为 律 典 逆 型 用 的 】 “80隐x 藏1 in 99在5-等399差0 数+19列95求x2和2 公式背后的分数裂差型裂项”问题。此 类问
x7x8- —x8 【解析】把 题 3 需 99 要 0分 从 解 最 为 简 1 单 99 的 5x2 项2, 这 8开> 样 始 8 入 0x 手 199 ， 5、 通 2 过 x19 公 985 式 、 的 22x 运 19 算 95 寻 中 找 都 规 有 律 相 。 同 从 的 第 乘 一 数 项 1 开 99 5 始 , ， 可 对 以 分 利用
乘法分配律进行巧算，原式
母进行等差数列求和运算公式的代入有i = —4—, =8 Ox 1 9 -9 5x 2 4 9 9 >6 t 9 9 S 2 或
1 (1+ 1成 1 lx 2
1^2- (1 + 2)X2 _ 2^3
2
山工 2 2 2 + ^^ = 2、(1-丄)=坐=1 竺
式=-----1---------1---------F 100x101 101 101 101
1x2 2x3 3x4
32. 【分数裂差】—+ —+ —+ + + -^- + ±
2x5 5x7 7x11 11x16 16x22 22x29 29
■ 届劣 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
33. ［分数裂差】+ + + -------1-------
1x3x5 3x5x7 5x7x9 2001x2003x2005
13
一 1342
-I 7x5 _ 2^3
11111 1 1
1------1----------1------------------------------
50.【整体约分】 2 3 4 5 6 19 20
1 1 1 1 ~
-----------1------------1------------1------------1-- 11x20
12x19 13x18 14x17 15x16
1 1 1 1 c ,1 1 1 1 \
1+- + - + ... +-----------2x(- + — +... + ——+ ——)
I
【解析】原式二----------------------------
1,31 31 31 31 31、
—x (-------------H-------------1----------H-------------1----------) 31 11x20 12x19 13x18 14x17 15x16
1 1 1 1 1 1 一 Z1
2 3 20 2 9 46. ［循环小数化分数】0.16 + 0.142857 +0.125+0.1
■ 苗上 16-1 142857 1 1 1 1 1 1 275
-— +
【解析】 原式=-----+-------+- +
9 6 7 = J_x(U+5+5+5+5)
100-10 999999 8 1 1 1 31 11x20 1的2x整11数9 1部3x分11是8 1多4x少11?7 15x16
47. 【数的估算】求丄+丄+丄+丄+ _ + +, 7 8 9 一 + 一+...
3 4 5 6
【解析】分段放缩.丄x4 +丄 ~ x3 T 〈 ~ 原式＜LX 13+1L1 X 141,1即11+ 1〈 一 原式＜ 1E,所以原式整数
6 9 ——x 3 -----61-----1-11- -1-2---1-----1---2-0--13------1------1------h
31 20 12 19 13 18 14 17 15 部分为1.
621 739 458 739 458 -----1378］「621 739 458 378］
48. 【换元 - 1 - 2 - 6 -- - 3 -1 5 - 8 - -- 9 - 4 --= 7 -1- -T----=31- 3 - 5 - 8 -- - 9 -\ 4 ~ 7 20?J 1126 207J 法】 358 947
621 739 458 739 458
【解析】 --------1---------1--- 3 -- 1 -- --------1-------
设々 126 358 947 358 947
原式=ax\b^ — a---- 3 - 7 - 8 - 必=(宀)、竺=竺、亞=9
［207
207
207 126 207
亠 .18556
49. 【分数运算与约分】7矗 21934 —1-------- 35255
. 259098.【乘法分配律逆用】20.09 x 62 + 200.9 x 3.9 - 7 x 2.87
【解析】原式=20.09x62 + 20.09x39-20.09
= 20.09x(62+39—1)
= 20.09x100 = 2009
9.【乘法分配律逆用】1.23452 + 0.76552 + 2.469x0.7655・
【解析】原式二 1.23452 +0.7655x (0.7655+2.46功
=1.23452 + 0.7655x Q.2345+ 2)
=1.2345 x Q.2345 + 0.7655) + 0.7655 x 2
= 1.2345x2 + 0.7655x2
= 0.2345 + 0.7655)x2
=2x2=4
10.【分组凑整】
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995
—I----1-----1----1----1----1 1--------1----F.........H-----------1----------F.........H----------F .........+
122233333 1995 1995 1995 1995
【解析】观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2;分母是3的和为3;
次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求1+2+3 +............................+ 1995
的和.
1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 1995 1
—I----1-----1----1----1----1----1----1----F.........H-----------1----------\~........H-----------\~........H---------
122233333 1995 1995 1995 1995
= 1+2 + 3+4+……+ 1995=(1 + 1995)x1995 + 2
= 998x1995 = 1991010
44 4 4 4
11.［ 加补凑整】9-+99-+ 999- + 9999- + 99999
5 5 5 5 5
44 4 4 4
【解析】原式=9 + — + 99 + — +999 + — + 9999 + — + 99999 + —
5 5 5 5 5
4 4 4 4 4
=9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + — + — + — + — + —
5 5 5 5 5
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000-5 +-X5 =111109
5
8史
x
上寻癸x59
31 102 17
12. 【分数运算与约
33 3 32
分】
______■_____x_____
512 , 236 93
原式=8虬三、巳5八512x3x93 31x102x25 33x236x32 5
【解析】 31 102 25 33x236x32
264x5x17x59x 512x3x93 =92以【分数除法】2。。3。。7爲
2007 2008 2008
【解析】2007.2007—=2007x
2007x2008 + 2007 2009
8个90
一 ,敝压如,丄s 1 202 30303 90 •••909
14.---------------------------------------------【整体约分】计算一 + + +
19 1919 191919 19-19
V - J
9个19
【解析】本题用是重复数字的拆分和分数计算的综合,
例如：abcabc — abc x 1001 = dbc x 7 x 11 x 13
7
ababab =Q》X10101=Q》X3X7X 13x37
8个10
原式丄+ Q+ 3x10101 + + 9x10- -101 1 2 3 9 45
-------------------=-------1-----1-------- * • H---——
19xl0-101 19 19 19 19 19
19 19x101 19x10101
V _ J
15. 【连锁约分】一根铁丝，第一次剪去了全长的丄，第二次剪去所剩铁丝的丄，第三次
2 3
剪去所剩铁丝的丄，• •… 第2008次剪去所剩铁丝的丄，这时量得所剩铁丝为1米，那
4 2009
么原来的铁丝长 米。
1 700Q
【解析】第2007次剪去后剩下的铁丝为1^(1-----------)= ——(米)，第2006次剪去后剩下
2009 2008
之厶”以1/丄2009/ 1 、 2009 2008 .、厶—r丨 止七之厶厶丄處吐土
的铁丝长为----
4-(1----------)
=-------x--------,依次可以付出，原来的铁丝长为
2008 2008 2008 2007
2009 2008 2 ““ , 也、
-------X--------x...x-=2009 (米)。
2008 2007 1
16. ［乘法分配律逆用】-x23—+ 16X- 1XA
+
7 13 7 7 13
4 I? 4 4 1
【解析】原式二史x23切+ 4x史+史x-L
7 13 7 7 13
4 (12 ,. ,
二一x 23-----4--------=16
13 13,
7
17. 【乘法分配律正用】4x5-+5x6-+6x7-+7x8-+8x9-
4 5 6 7 8
【解析】原式二4x(5 + ')+5x(6 + ：)+ 6x(7 + ,7x(8 + ?) +8x(9+：)
= 4x5 + 3+ 5x6+4+6x7 + 5+7x8+6+8x9+7 = 245
18. 【乘法分配律正用】72-^-+81-^- + 91-^-【解析】原式=| 70+2二 +二+ | 80 + 1= |士二 + 90 + 1- 4--
= 70 + Z + I+80 + § + 1 + 90 士 2 + 1
3 5 7
= 30+50 + 70 + 3
= 153
.【整体约分】（3*卜訐咤+2#
【解析j 二（些+丝+竺）,（竺+当理）=（丝+丝+竺H 癸+兰+箜）
12、备日+糸 20 5
"12 3
【乘法分配律】76x
11 13 17 11 13 17 11 13 17 11 13 17
1 1、'
+ 23x -53x
23 53丿 <53 76； 23 73)
^]^^.76X±- ± ± ±- ± 3X±
76X + 23X + 23X 53X + 5
± _ )_± _ 3) ± ( )
= x(76 53 x(76 2 + x 23 + 53
二1
7 -x 1 1 1A ( 1 \
【方程与计算】
200 - + 寻 19--，其中()
、4 5 6丿I 2丿
【解析】右边二若号=土，左式嗚* 41 1
所以, ）二42。
42~O
(0.00325 + 0.013)
【分数小数混合运算】
(0.22 —0.2065)寻(36.x 0.015)
【解析】原式=0.00325x3.6 = 325x36x10000 二性二4444#
0.0135x0.015x0.013 135x15x13 9 9
.【乘法分配律正用】1994捉9+寿790 + 244.9
【解析】原式= 1994.5 x 79 + 0.24 x 79x10 + 3.1x79 = 1994.5 x 79+ 2.4 x 79 x 3.lx79
=(1994.5+24 + 3.1)x79= 2000 x 79 = 158000
1 f 3 (
— 4.85 4- -3.6+6.15x3- + 5.5-1.75x4 、 5） L
〔
・【分数小数混合运
3 21；
算】
【解析】本题观察发现除以訐当于乘以3.6则公因数就出来了［4.853.6 + 6.15诚卜］5.5-1.75〈令务
1 ( 7 5 7 19
= -x(4.85x3.6-lx3.6 6.15x3.6)+ 5.5--x_-_x_
+
1 ( 35 19
= _x(4.85 —l + 6.15)x3.6+ 5.5-------------
4 ' 7 I 12 12
——x 36 +5.5-----= 9+ 5.5 — 4.5 = 10
4 12
6
