文档内容
2015年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组决赛C
卷）
一、填空题Ⅰ（每题6分，共24分）
1．（6分）算式2015﹣22×28的计算结果是 ．
2．（6分）如图中共能数出 个三角形．
3．（6分）在2015和131之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相
等，那么插入的两个数的和是 ．
4．（6分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数 的最小值是
．
二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）
5．（10分）黑板上写有一些自然数，平均数是30；再写上100，平均数就变成了40；如果最后
再写上一个数，平均数就变成了50，那么最后写上的这个数是 ．
6．（10分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B．双方交替走棋，警察先走，
每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走 步才能保证抓住小偷．
7．（10分）30只老虎和30只狐狸分为20组，每组3只动物．老虎总说真话，狐狸总说假话，
当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这60只动物中有39只回答“没有”．那么同组3
只动物全是老虎的共有 组．
8．（10分）正六边形中如图摆放着两个面积各为30平方厘米的等边三角形，那么正六边形的
面积是 平方厘米．
第1页（共10页）三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）
9．（12分）如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在
小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出
发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如
果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始
时距A点 米．
10．（12分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有
几种不同的数字．那么四位数 是 （如图是一个3×3的例子）．
11．（12分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以2，如果它是奇数就把它乘3再
加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这种变换，我们
就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到 1呢？这就是数学上著名的
“角谷猜想”．如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过
第2页（共10页）的变换次数成为它的路径长，那么“角谷猜想”中所有路径长为10的自然数的总和是
．
第3页（共10页）2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小中组
决赛 C 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题Ⅰ（每题6分，共24分）
1．（6分）算式2015﹣22×28的计算结果是 139 9 ．
【解答】解：2015﹣22×28
＝2015﹣616
＝1399
故答案为：1399．
2．（6分）如图中共能数出 1 1 个三角形．
【解答】解：根据分析可得，
（3+2+1）+2+2+1
＝6+5
＝11（个）
答：图中共能数出 11个三角形．
故答案为：11．
3．（6分）在2015和131之间插两个数，使这四个数从大到小排列起来，相邻两个数的差都相
等，那么插入的两个数的和是 214 6 ．
【解答】解：根据分析，插入两个数后，排成的数成等差数列，
利用等差数列的性质，可求出两个数的和，
中间两个数之和＝2015+131＝2146．
故答案是：2146．
4．（6分）如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数 的最小值是
1930 ．
第4页（共10页）【解答】解：依题意可知：
若要四位数 的最小值那么 需要取到最大值．
首先分析千位和百位数字是固定的1和9．
那么当 可以取到87时，尾数不能有5．
那么当 为86时，尾数是9才能构成5不符合题意．
当 为85时．2015﹣85＝1930．
故答案为：1930
二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）
5．（10分）黑板上写有一些自然数，平均数是30；再写上100，平均数就变成了40；如果最后
再写上一个数，平均数就变成了50，那么最后写上的这个数是 12 0 ．
【解答】解：（100﹣40）÷（40﹣30）
＝60÷10
＝6（个）
6+1＝7（个）
7+1＝8（个）
50×8﹣40×7
＝400﹣280
＝120
答：最后写上的这个数是 120．
故答案为：120．
6．（10分）如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B．双方交替走棋，警察先走，
每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走 4 步才能保证抓住小偷．
【解答】解：如图，把六个位置编号如下：
第5页（共10页）第一步警察由F走到C，小偷只能由B走到A；
第二步警察由C走到D，小偷只能由A走到B；
第三步警察由D走到F，小偷只能由B到A或者B到C
第四步小偷无论往哪个方向走都会被警察抓住．
答：警察最少需要4步才能抓住小偷．
故答案为：4．
7．（10分）30只老虎和30只狐狸分为20组，每组3只动物．老虎总说真话，狐狸总说假话，
当问及组“组内是否有狐狸”时，结果这60只动物中有39只回答“没有”．那么同组3
只动物全是老虎的共有 3 组．
【解答】解：根据分析，因为狐狸有30只，它们都说谎话，当问及“组内是否有狐狸”时，
它们肯定都说“没有”，所以狐狸说“没有”的一共30声．老虎说真话，
当有老虎的这一组中狐狸时，老虎就会说“有”，而当3只动物都是老虎时，它们才说
“没有”．
因此有3只老虎在同一组时，就会有3声“没有”．故同组3只动物全是老虎的共有：
（39﹣30）÷3＝9÷3＝3（组）．
故答案是：3．
8．（10分）正六边形中如图摆放着两个面积各为30平方厘米的等边三角形，那么正六边形的
面积是 13 5 平方厘米．
【解答】解：根据分析，如图，连接FH、EH、BG、CG、AD，
第6页（共10页）由题意可知，△ABG、△DCG、△DEH、△AFH的面积全等，
且均与△AOH的面积相等，△BCG、△EFH的面积相等，且二者拼接后如图2所示，
因四边形BHCG为棱形，且∠B＝∠HAG＝60°，∠H＝∠AGD＝120°，BH：DH＝1：2，
S棱形BHCG ：S棱形AGDH ＝1：4；
S△ABG +S△DCG +S△DEH +S△AFH ＝S△AOG +S△DOG +S△DOH +S△AOH ＝S阴影 ；
S△EFH +S△BCG ＝S棱形BHCG ＝ ；
综上，正六边形的面积═2×S阴影+ ＝ ＝ ＝135（平方厘
米）．
故答案是：135．
三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）
9．（12分）如图，AB是一条长28米的小路，M是AB的中点，一条小狗从M左侧一点出发在
小路上奔跑．第一次跑10米，第二次跑14米；…；第奇数次跑10米，第偶数次跑14米；出
发时或每次跑完后小狗按如下一次的奔跑方向；每次如果M点在它右边，它就向右跑；如
果M点在它左边，它就向左跑．如果它跑了20次之后在B点左侧1米处，那么小狗开始
时距A点 7 米．
【解答】解：设中点的位置为0，左边为负，右边为正
则第20次之后的位置是28÷2＝14，14﹣1＝13，表示为+13
第19次之后的位置是+13﹣14＝﹣1
第7页（共10页）第18次之后的位置是﹣1﹣10＝﹣11
第17次之后的位置是﹣11+14＝+3
第16次之后的位置是+3+10＝+13
从上面可以看出，经过4次之后又回到了+13这个位置
由此可以退出，第4次之后，小狗回到了+13这个位置
第3次之后小狗回到+13﹣14＝﹣1位置
第2次之后小狗位置是﹣1﹣10＝﹣11
第1次之后小狗的位置是﹣11+14＝+3位置
因为原始位置在M点左侧，
所以原始位置是+3﹣10＝﹣7位置
原始位置距离A点14﹣7＝7米
故此题填7．
10．（12分）请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有
几种不同的数字．那么四位数 是 211 2 （如图是一个3×3的例子）．
【解答】解：如图，
由第二行第一个，第二行第三个，第三行第二个，箭头只指向一个箭头，此位置的数只能
是1，如图红色数字，
第三行第一个箭头指向两个数字不同的箭头，所以只能是2，所以，第四行第一个位置的
数字必是3，
如果第四行第二个位置是1，那么此行第三个必须是3，但不符合此行第四个数字，所以，
第四行第二个箭头上的数字只能是2，此行第三个数只能是1，即可得出第三列的数字全
第8页（共10页）部是1，
第二行第二个和第四个也是2，进而第一行第二个数字也是2，
第一行第四个只能是3，第三行第四个必是2，
即：A，B，C，D位置的数分别是2，1，1，2，
故答案为2112．
11．（12分）任取一个非零自然数，如果它是偶数就把它除以2，如果它是奇数就把它乘3再
加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这种变换，我们
就得到一个问题：是否对于所有的自然数最终都能变换到 1呢？这就是数学上著名的
“角谷猜想”．如果某个自然数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过
的变换次数成为它的路径长，那么“角谷猜想”中所有路径长为10的自然数的总和是
1604 ．
【解答】解：从1开始倒推
第9页（共10页）1024+170+28+168+160+26+4+24＝1604
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日期：2019/5/5 18:11:53；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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