文档内容
2015年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小高组决赛A
卷）
一、填空题Ⅰ（每题6分，共30分）
1．（6分）算式（1﹣ + ﹣ + ﹣ ）÷（ + + ）的计算结果是 ．
2．（6分）一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角
之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是 平方厘米．
3．（6分）A、B、C、D四个人住进编号为1、2、3、4的四个房间，每个房间给住一人；那么B不
住2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有 种．
4．（6分）算式2015 × ﹣ 的计算结果是 ．
5．（6分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根
粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先
在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加
入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度
为 %．
二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
6．（10分）一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2、1、0道
题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了3句话（如下）．
甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．
乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．
丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．
丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．
如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那
么四位数 ＝ ．
第1页（共12页）7．（10分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果 ＝2015，且 是质数，
那么 ＝ ．
8．（10分）如图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八
边形）．如果圆的半径为60厘米，那么阴影部分的面积是 平方厘米．（ 取3.14）
π
9．（10分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这
个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2＝4+5．如果相邻的两个自然数
都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡
数”的和是 ．
10．（10分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用
3.2小时；如果第1小时、第2小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流
速度为每小时2千米；那么轮船往返A、B两港共行 千米．
三、填空题Ⅲ（每题10分，共48分）
11．（10分）三位数 除以它的各位数字和的余数是1，三位数 除以它的各位数字和的
余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a＞c，那么 ＝ ．
12．（10分）在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复．右边
的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最
后的一位数这三个数之和．那么五位数 ＝ ．
第2页（共12页）13．（10分）某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1，2，…，30；他们手中的电影票
恰好为某排的1 号，2号，…，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两
人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．
那么电影票共有 种不同的发放方式．
14．（10分）图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小 方格染
成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；
那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有 个．
第3页（共12页）2015 年“迎春杯”数学花园探秘科普活动试卷（小高组
决赛 A 卷）
参考答案与试题解析
一、填空题Ⅰ（每题6分，共30分）
1．（6分）算式（1﹣ + ﹣ + ﹣ ）÷（ + + ）的计算结果是 1 ．
【解答】原式＝
（（ ））
故答案为：1．
2．（6分）一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两遍的中点连线剪掉一个角
之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是 7 5 平方厘米．
【解答】解：根据分析，折叠一次，面积变为一半，折叠两次后变成原来面积的四分之一，
沿中位线剪去一个角，显然剪去的这个角的面积为原来正方形的面积的4×
×4＝ ，
余下的部分为原来正方形的面积的 ，余下部分展开为单层纸片的面积＝ ×10×10＝75
（平方厘米）．
故答案是：75．
3．（6分）A、B、C、D四个人住进编号为1、2、3、4的四个房间，每个房间给住一人；那么B不
住2号房间，并且B、C两人要求住在编号相邻房间的住法共有 8 种．
【解答】解：根据题意，B不住2号房间，则B可以住在1、3、4号房间，
第4页（共12页）若B住在1号房间，则C可以住在2号房间，剩下2人安排在其他2个房间，此时，有A 2
2
＝2种情况，
若B住在3号房间，则C可以住在2、4两个房间，有2种情况，剩下2人安排在其他2个
房间，
此时，有2×A 2＝4种情况，
2
若B住在4号房间，则C可以住在3号房间，剩下2人安排在其他2个房间，此时，有A 2
2
＝2种情况，
共有2+4+2＝8种情况，
故答案为8．
4．（6分）算式2015 × ﹣ 的计算结果是 50 3 ．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝503+0
＝503
故答案为：503
5．（6分）哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根
粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先
在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加
入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度
为 1 1 %．
【解答】解：设普通型“生死水”的浓度为x%，初始重量为100，连续两次加入的水仙根粉
第5页（共12页）末和艾草浸液重量都是a，则 ，
化简为 ，解得x＝11，
综上所述，普通型“生死水”的浓度为11%，
故答案为11．
二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）
6．（10分）一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2、1、0道
题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了3句话（如下）．
甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．
乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．
丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．
丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．
如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那
么四位数 ＝ 120 3 ．
【解答】解：根据分析，全队的人不会说自己对的题少于3，所以只有乙、丁可能全对．
若乙全对，则排名是乙、丁、甲、丙，与丙所说的：“丁对了两道”是假话矛盾；
若丁全对，则丙的后两句是假话，不可能是第2名，又由丁的“甲考的不如乙”可以知道
第2名是乙，
所以丙全错，甲只有“丙考的不如丁”是真话，排名是丁、乙、甲、丙，经验证4人的话没
有矛盾．
所以甲、乙、丙、丁分别对1、2、0、3道题．
故答案是：1203．
7．（10分）如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果 ＝2015，且 是质数，
那么 ＝ 836 9 ．
【解答】解：依题意可知：首先对于0﹣9共10个数字，那么2015用去4个还有3，4，6，7，
第6页（共12页）8，9．
数字3和9，4和8是倍数关系不能同时出现质数中，那么 是12的倍数．
同时也满足3的整除特性．
质数有37，43，47，67，73，79，83，89共8个数字．
当质数为37时，2015﹣37＝1978不是3的倍数．
当质数为43时，2015﹣43＝1972不是3的倍数．
当质数为47时，2015﹣47＝1968是12的倍数．不能用剩余的写成3，6，8，9的乘法算式．
当质数为67时，2015﹣67＝1948不是3的倍数．
当质数为73时，2015﹣73＝1942不是3的倍数．
当质数为79时，2015﹣79＝1936不是3的倍数．
当质数为83时，2015﹣83＝1932是12的倍数．在剩余的数字4，6，7，9中69×7×4＝1902；
当质数为89时，2015﹣89＝1926不是12的倍数．
2015＝83+69×7×4；
故答案为：8369
8．（10分）如图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八
边形）．如果圆的半径为60厘米，那么阴影部分的面积是 309 6 平方厘米．（ 取3.14）
π
【解答】解：
如下图：连接AB、AD，因为AD是园的直径，所以∠ABD＝90°；
设，AB＝a，BD＝b，即：小直角三角形的ABC的小斜边长为a（其余7个小直角三角形也
第7页（共12页）是a），2个大正方形的边长为b；
由勾股定理：a2+b2＝AD 2＝（2R）2＝120 2＝14400（平方厘米）；
小直角三角形的ABC的面积＝ ×AC×BC＝ a2，即4个直角三角形的面积等于a2，而b2
表示大正方形的面积；
则：4个直角三角形的面积+大正方形的面积＝14400（平方厘米）；
从图中可以看出：
图形总面积＝正八边形面积+8个小正方形面积；而大正方形面积＝正八边形面积+4个小
正方形面积；
即：图形总面积＝正八边形面积+8个小正方形面积＝正八边形面积+4个小正方形面积+4
个小正方形面积＝大正方形面积+4个小正方形面积＝a2+b2＝14400（平方厘米）；
阴影部分面积＝图形总面积﹣园的面积＝14400﹣ 2＝14400﹣3.14×60 2＝3096（平方厘
米）． πγ
故填：3096．
9．（10分）如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这
个数为“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为5+2+2＝4+5．如果相邻的两个自然数
都是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡
数”的和是 109 9 ．
【解答】解：（1）两位数中的“均衡数”有11、22、33、44、55、66、77、88、99，没有符合要求
的．
（2）两位数与三位数中99、100也不符合要求．
（3）三位数中，两个相邻数数字和都是偶数，说明必有进位，且三位数必然只进1次位（数
字和加1再减9），即这两个数是AB9和A（B+1）0，所以有：
A+B＝9和A＝B+1
解得：A＝5，B＝4
所以这两个数是549和550．
549+550＝1099
故：最小的一对“孪生均衡数”的和是1099．
10．（10分）一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用
3.2小时；如果第1小时、第2小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流
速度为每小时2千米；那么轮船往返A、B两港共行 10 2 千米．
第8页（共12页）【解答】解：第一小时全顺水，同理第三小时全逆水，第二小时必为半小时顺水半小时逆水，
顺水行驶的时间：1+0.5＝1.5（小时）
逆水行驶的时间：3.2﹣1.5＝1.7（小时）
所以V顺 ：V逆 ＝1.7：1.5＝17：15，
V顺 ﹣V逆 ＝2×2＝4（千米）
4÷（17﹣15）×17
＝2×17
＝34（千米/时）
34×1.5×2
＝51×2
＝102（千米）
答：轮船往返A、B两港共行 102千米．
故答案为：102．
三、填空题Ⅲ（每题10分，共48分）
11．（10分）三位数 除以它的各位数字和的余数是1，三位数 除以它的各位数字和的
余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a＞c，那么 ＝ 45 2 ．
【解答】解：根据分析， 与 的数字和都是：a+b+c，三位数 和 除以各位数字
和的余数都是1，
按余数原理，a+b+c， 与 之差即可被a+b+c整除，设 ，根据
位值原则，有：
； ， 则 ：
＝n（a+b+c）
99×（a﹣c）＝n（a+b+c） 9×11×（a﹣c）＝n（a+b+c）；⇒
∴n和（a+b+c）至少有一个⇒是11的倍数和9的倍数，又∵a、b、c均为整数，
且9≥a＞c≥1，0≤b≤9，∴3＝2+1+0≤a+b+c≤9+8+7＝24，
a+b+c的可能取值为：9，11，18，22，
a+b+c＝9时，根据被9整除的特征， 和 被9除余数为0，与题意矛盾；
①a+b+c＝11时，此三位数 为：281、362、371、452、461、524、542、614、623、632、641、
②731、713、812、821、704、902、605，经排查，只有452符合条件；
a+b+c＝22时，此三位数 为：985、976、967、958、796、895，符合题意的为0个；
③a+b+c＝18时，此三位数 为：954、972、945、963、981、936、927、918、891、873、
④
第9页（共12页）864、846、837、792、783、765、695、685、693、594，排查后，符合题中条件的个数为0个．
综上， ＝452，
故答案是：452．
12．（10分）在每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数 字都不重复．右边
的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最
后的一位数这三个数之和．那么五位数 ＝ 4124 4 ．
【解答】解：根据尾数和能够构成结果的尾数：结果中尾数是5那么这3个数字尾数一定是
4，5，6组合．
唯一法、排除法：只能填写一个数字
首位分析法：第六行的结果是669那么百位数字一定是6．
如图：
故答案为：41244
13．（10分）某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1，2，…，30；他们手中的电影票
恰好为某排的1 号，2号，…，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两
人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．
那么电影票共有 4 8 种不同的发放方式．
【解答】解：1号学生有29人是其倍数，故1号学生只能拿1号电影票；
2号学生有14人是其倍数，故2号学生只能拿2号电影票；
第10页（共12页）3号学生有9人是其倍数，故3号学生只能拿3号电影票；
4号学生有6人是其倍数，故4号学生只能拿4号电影票；
5号学生有5人是其倍数，故5号学生只能拿5号电影票；
6号学生有4人是其倍数，故6号学生只能拿6号电影票；
7号学生有3人是其倍数，故7号学生只能拿7号电影票；
8号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是4号学生（4）的倍数，同时有2人是其倍数，
故8号学生只能拿8号电影票；
9号学生必须是3号学生（3）的倍数，还不能是6，同时有2人是其倍数，故9号学生只能
拿9号电影票；
10号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是5号学生（5）的倍数，同时有2人是其倍
数，故10号学生只能拿10号电影票；
12号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是4号学生（4）的倍数，同时有1人是其倍
数，故12号学生只能拿12号电影票，同时24号学生只能拿24号电影票；
14号学生必须是2号学生（2）的倍数，也必须是7号学生（7）的倍数，同时有1人是其倍
数，故14号学生只能拿14号电影票，同时28号学生只能拿28号电影票；
15号学生必须是3号学生（3）的倍数，也必须是5号学生（5）的倍数，同时有1人是其倍
数，故15号学生只能拿15号电影票，同时30号学生只能拿30号电影票；
之后的数，[2，9]＝18，18必拿18，同时是9的倍数的27只能拿27；[4，5]＝20，20必拿
20；[3，7]＝21，21必拿21；[3，8]＝24，24必拿24，同时是8的倍数的16只能拿16；[4，7]
＝28，28必拿28；[5，6]＝30，30必拿30，同时是5的倍数的25只能拿25．
目前还没有确定的数是11、22、13、26、17、19、23、29号，11、22互为一组成倍数；13、26互
为一组成倍数，有两种拿法：11号拿11，22号拿22，13号拿13，26号拿26或11号拿13，
22号拿26，13号拿11，26号拿22，17、19、23、29是大质数，没有限制，可随意拿，有 ＝
24种拿法，故共有2×24＝48种拿法．
14．（10分）图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小 方格染
成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；
那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有 13 2 个．
第11页（共12页）【解答】解：
（1）把8×8的方格阵进行染色，如图2．其中含有图形3的个数是：从左到右的第一、八行
均无；第二、四、六行均为2；第三、五、七行均是1；共计（2+1）×3＝9．
从右到左、从上到下、从下到上均为9，所以总数是9×4＝36．
（2）每个图形3都有图形1的个数是4，若图形1是2黑2白“和谐”的，那每个图形3都
有图形1“和谐”的个数至多是3．所以，图形2中必然至少有36个图形1不是“和谐”
的．
故：图形2中至多有“和谐”的图形1个数为：168﹣36＝132（个）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/5 18:12:06；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
