2015年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2015年又因级数区n — n —收敛，由正项级数比较审敛法的极限形式可知，原级数收敛．
-l 易
— = + :z::
对于C选项： （ :: +1 � 2 n n = 2m, (m >O), 故互 n = ( — 1)" 1 = = 2 n >i= n 』·
-2 lnn n-2 ln2 -2
{ 2m+l
尸
由比较审敛法知，原级数发散．
对于D n 选 = 项： n = n n = — n =
工 U +! . (n+l)n! 旷 n n l [-< +l)五希
声 1 e-1 < 1.
!�1!! !:.1!!( +l) +l• n! !�1!!( +l) !� �( +l)
由比值审敛法知，原级数收敛．故应选C.
(5) D
= 1 1 1 — — — = —
解 IA I 1 2 a2 = (a 2)(a 1)(2 1) (a - 2) (a 1).
1 4 a = = =
由线性方程组有无穷多解，得IA l O, 即a l或a 2.
1 1 1 —
当a�I时，(A,b)�[o IO d I'
) 勹:)
由题意，知r(A)�r(A�b)。�h;�:: �
—
同理，当a�2时，(A,b)�[0 I I —d I — •
]
= 0 0 0 =(d 1)= (d 2)
由题意，知r(A) r CA , b) < 3 , 即d l或d 2.
故应选D.
(6) A
�]J:
Q�P[:
:
—�] :]
解
J
又因为 P'AP�[ I —
ff
1 —0 Im — I
: rn :
所以 Q'AQ�[o0 0 1 : � : 1
P'AP[:
J
J[: :
— — —
�[ I I — I � I
]
: � :m : � [' �m � :] ['
故应选A.
(7) C =
解 对于A,B选项：当事件A与B独立时，P(AB) P(A)PCB).
而当A,B不独立时，P(AB)与P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误．对于C,D选项：由概率性质P(A)�P(AB)平CB)�P(AB),
PCA)+ PCB)
两式相加，得P(A)+PCB)�2PCAB), 即P(AB)� - .
故应选C.
(8) B
解 因为X�B(m,0),所以DCX) =m0Cl-0).
n
2 l ex, — 2
设s = 区 X几则E(S ) =D(X)= m0Cl-0).
n-l i-1
笘 言
所以E[ ex, 一X) 2 ] =Cn — l)E [ � ex, — X) z ]
n 1
=(n — l)E(S 2 ) =(n — l)D (X) =m (n — 1)0(1 — 0).
故应选B.
二、填空题
1
(9) ——
2
解 利用等价无穷小代换．
— — 1 — — 1 x 2
ln(cosx) ln[l+ ( cosx l)] cosx 2 1
l 工 i - m o X 2 =l x i - m o X 2 =l 工 i - m o X 2 = l .,· i m •o X 2 = — — 2 .
(10) 2 I
2 工
解 <po) = 1 (t)d t •矿 (x) =[xf: f(t)dt] ' = x• Zxf(x 2 )+f 'f(t)dt
故矿Cl)=ZJ(l)+ f:J<t)dt = ZJ(l)+ <pCl).
—
矿(1) <p(1)
由题目中条件，知J(l)= =2.
-—1 — 2
(11) dx 了dy
3
解 由方程e
工+2y+3z
+ xyz = l 知，当X =O,y =O时，z =0.
对方程两边分别关于x和y求偏导数，得
勹+
e 工+2y+3z (1 + 3 yz +xy 生 =O,
知 吐
<lz <lz
e 工+2y+3 之 (2 +3 石）+xz +xy — = O.
. 3y
将x =O,y = O,z =O代入两式，得 d 生 X I (O,O) =-上 3' 生 dy CO,Ol ＝－— 3 2 ，则
I
dz = —』dx — �dy.
(0,0) 3 3
工 2工
(12) Ze 十e-
解 因y(x)在X =O处取得极值3 '且y(x)可导，则y(O) =3,y'(O) =0.
特征方程为入 2 十入-2 =0,解得入I =l,入 2 =—2.
所以微分方程的通解为y = C1e 工 +C2e- 2 勹
代入y(O) =3,y'(O) =O,解 得C1 =Z,C2 =l.+
故y(x) = ze e-2气
(1 1
3) 2
1 1
— = 2
解 由A的特征值为z' 2, 及B A -A+E,则B的特征值为3,7, ,从 而
1 1
= =
[ B [ 3 X 7 X 2 .
1
—
(14) z
( (
解 由于相关系数为o,所以，X,Y都服从正态分布，即X�N l,l),Y�N O,l),且X和
Y相互独立．
( — (
由X�N l,l),可得X l�N O,l),所以
= —
P{XY-Y< O} P{(X l)Y<O}
=
P{X-l<O,Y>O}+P{X-l>O,Y<O}
1 1
= P {X - <O } P{ Y > O}+ P { X — > O} P{ Y <O }
＝长』三三 =½
三、解答题
(1
5)解因为
曰( 屯[1 a ( 1
x) = � + + b sinx+ X COSX) = +a,
l + x
曰( 四
x)� 3kx'�o, ]
f
(x) J'(x)
所以当l+a#-0时，lim = lim , = =. 与题设矛盾
x于o g (x) 尸·O g (x)
1
= =
故l+a O, 即a - .
又
叶
四厂 (x) = � (1 : 2 +b ( Zcosx — xsinx)] = -a+ Zb = l + Zb,
x)
(
=
limg" x) c= lim6kx 0,
x-o x-o
1 1
由题设，同理可知 + 2b
=
0, 即b
=——.
2
由于
2a (
( 3 -b 3sinx+ x cosx) 1
尸 x) = Cl +x) a ，
hm 111 lim
x-0 g (x) x-0 6k 3k 3k
1
f (x) 1
且lim ( = l, 所以 — — = l, 即k =——
x-o g x) 3k 3·
(1
=
6)解因为区域D关于y轴对称，所以Jfxydxdy 0,
』
�(x+ y)dxd: � §x"dxdy
D
厂正
=
2 { dx J dy
一
= 2f。x气立＝了 — x勹dxf
『
= z — 4
2 x 互勹dx 2 x dx.
0 0
=
令x 荔sint,则
『 J: J:o
z = 2 2 =』 — =王，
x 年二dx 4sin tcos tdt cos4t)dt
。 8
4 二
又rx dx ，所以
0 5
『 .
=二 I.
�(x+y)dxdy
4 5
(17)解 （ I）由收益R ＝ pQ ，
M
得
R＿
边“ V 于收 dR
- d Q ＿
益
P +Q dQ - dp ＝ p
l
- f l- 1 -
7
\ _
1
．
欲使利 J司最大 ， 应有 M R＿ ＿ Mc ＿ ， 且” r P ( 1 -7 1` - ＿ \ M ， - f
MCl c
＿ i＿
所以定价模型为
p _
­1．
1 -
＿ 7
p dQ p
C II) 题设知MC=ZQ, T/ =
Q dp 40-p
—
由 2(40 p)
< I) p= ，解得jJ= 30.
I -- 40-P
由 p
所以此商品的价格为p=30.
有
=
(18)解 曲线y f釭）在点(x。,f(x。)）处的切线方程为
—
Y =f(x。) ＋厂(x。)(x x。)，
该切线与x轴的交点为（x 。— 厂f(x。 。 )) , o).
(x
Jex |
1 I 。)
根据题设条件可知 — lf(xo) =1 4,
2厂(x。) •
=— 1
即y= f(x)满足方程y' 沪．
8
=
解得y - .
8C+x
—
= — 1
因为f(O) 2, 所以C= .
2
= 8
故f(x) — , x EI.
4 x
(19)解 C I) 因为函数u(x),v(x)可导，所以
—
u(x+心）-u(x) = v(x +心） v(x)=
lim u'(x), lim v'(x), 且limv(x+L心=v(x).
心-o 公 心-o 企X 6x丑0
从而—
=
心 u(x + Dx)v(x十6x) u(x)v(x)
[u(x)v(x)了 lim
6x
= lim[
卢 u(x十心DxX) u (x) v( x + D八x) -v (x)
v (x + Dx) + u (x) ]
-o x
= 十八
丛h厂 .
m
声。 u( x + D.x) -u (x)
•
卢
lim
吁
v(x x)+u(x)
心
lim
v (x + D.x) ---'-v (x)
心x D.x
－矿(x)v(x)+u(x)v'(x) .
C II > 1
2 … n 1 2 … n +… 1 2 …
厂(x) u�(x)u (x) u (x) +u (x)u Cx) U (x) +u (x)u (x) u'., (x).
3
(20)解 C I)由于A =O, 所以
— a 1 — 0 = 3=
[A[ 1 a l[ a ,0
0 1 a
=
千是a . 2 2
O
C II)由于 X-XA -AX +AX2A =E,
所以 (E -A)X(E -A ) =E.
l
由CI)知 [�1 O I、
— l O，
E-A
+:1�:
E-
A O 2J
2
因为E-A,E-A 均可逆，所以 —
x-m — 一 — 21 12 0 1 31 —2
A) 'CB A产 + l -1 ][ 0 I O l+ I —1]
1 1 0 1 0 0 21 1
(21)解 C I)由于矩阵A与矩阵B相似，=所以 =
于是 tr(A) -tzr (B), IAl— I = BI,
解得 3+ a = +b, 2 = a 3 b,
a 4,b 5.
-
]
(ll)由(1)知A-['气'i �:: ; .
三以
�
I 队H
由于矩阵A 勹矩阵B —
-Hl�C入 1)气入-5),
1 =儿 = 儿=
故A的特征值为入 l, 5 . [J
2
s,-[:-
3
儿
当A,� �1时，由方程组(>;-A)x�O, 得线性尤关的特征向量尸
』�[ 』
—
1
当儿�5时，由方程组(5E -A)x�O, 得特征向量S, 了
— －l
。3 ＼
l
令P-(卢心＝ 厂 。 － , 贝I P
1
1 丿
（1 0 0＼
p
－ lA p＿0 1 0，
＿
＼0 0 5／
故P为所求可逆矩阵．
(22)解 C I)每次观测中，观测值大千3的 概率为
=
r
P{X > 3} = J厂 f(x) dx= 2--x ln2dx —一 1
8
故Y的概率分布为
k 2
P {Y = k } = Ck 1) -z (!) , k = 2, 3 , … ．
(;)
C II) EY = :z=k Ck 一1 厂 ) 7 ） k - （ 2 习1 2
k-2
=(订(�:r'')"
7
b
”
1 2 2
=(百) (1 —儿.):1 I三
=16.
(23)解 C I)由于总体X服从区间[0,1]上的均匀分布，所以
1+0
EX= .
2
1+e e�zx —
令 =X, 其中X为样本均值，得0的矩估计批 1 .
2
C II)记X1'立， … ，Xn 为样本X1,X2,… ，X"的观测值，则似然函数为
L
((})=II f
(x; ;(})
,-1
1
�{(1
0)
"' {)�X, 之l(i=1,2, …, n),
0' 其他
-{o
—1
"'
O冬min{x1,立，…
，工｝，
0)
o, 其他
由此可知，当(}=min{x1, x , … ，工｝时，L((})达到最大，故0的最大似然估计晕
z
0 =min{X1 ,X2, … ，X"}