2016年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2016年2厂-
1
则limS,, — l'从而级数 收敛．
,,-= 石 石厂言)
n�l
i=(
1 l
由正项级数的比较判别法知级数 rn— - rn+f sin(n+k)绝对收敛．故应选A.
n�l
)
(5) C
T T T T T
解 设p-1AP-B,有(P-1AP) =B '即有 P A气p )-1=B , 即A正确；
(P-1AP)-1 =B飞有p-iA-1P=B飞即B正确，而D正确． 故应选C.
(6) C
A�[: � :
解 二次型的矩阵
—
由队E-A I�<入-a-2:(入勹』I)' o, 得特征值为a+2,a 1(二重）
由条件，a+Z>O,a l<O. 故应选C.
(7) A
P(AB)
解 P(A IE)= =l, 则PCB) = P (AB),
PCB)
U
故P(A B)= P ( A)+ PCB) -P (AB) -P (A) , 所以
U —
PCB IA) 1 P(A B) 1 P(A)
PCB IA) 1. 故应选A.
1 PC A) 1 - PC A)
p CA)
(8) C
2 2
解 D(XY) =E(X Y勹—[E(XY)]
2
-E(X勹E(Y )-(EX• EY尸（由X与Y独立）
2
-[DX+( EX) ][DY+ ( EY)勹—1-14. 故应选C.
二、填空题
(9) 6
— 1
解 由于当X __. Q时，,/1+f (x)sin Zx 1� —f(x)sin Zx ,sin Zx�Zx, 产1�3x,
2
1
—f(x)sin Zx
-/1+ f (x) sin Zx -1 2 f( x)
圆Ll lim 31 =l im =l im =2 ,
艾-o e -1 工-o 3x 丁-o 3
所以limf(x)=6.
工、-o
—
(10) sinl cosl
解 由定积分的定义知
严』1 1 2 n
sin -;;+ 2 sin -;; + … +nsm
--;;
1 1 1 2.2 n) n
=lim —(—sin —+-sm — + … ＋—sin —
n-= n n n n n n I : n
=』: +』:
)
x sinx dx= I: x dcosx= - x cosx cosx dx
�
=- cosl +s inx / 。
=s inl- cosl.—
(11) dx + 2dy
— 2 =
解 等式(x+ l)z y x汀(x-z, y)两边分别关于x,y求导，
= — 2
得z+( x + l)z: 2xf(x z,y)+·x 1:cx -z,y). (1-z:);
— = 2 — — —
(x + l)z: 2y x [f: (x z,y)• ( z:) + f�(x z,y)].
= =
再将x O,y 1代入原式，可得z=l.
= = —
将x O,y =l,z 1代入上述两式，得已＝ 1,式=2.
—
故dzI <o,1) =已dx十式dy= 也十 2dy.
一1 ——2 y
(12) ”
3 3e
解 积分区域D如右图所示，D关于y轴对称，记
=
D 1 {(x,y) IO�x�l,x冬y�1}'
由对』称性知 II 。 l X
2 2 X 2 2 = X 2 2
�e- y dx dy =2 e- y dx dy 2 r dyr e- y dx
D D1 o o
l
= � 3 r 0 y :ie - y 2 dy 令沪= t 』 3 r 0 te-'dt = —』 3 J 0 t de 一t
一，『＋订1
—
= 』te e-1 dt =上-�
3 0 3 0 3 3e
4 3
(13 )入 十入 +2炉+3入十 4
一
解 按最后 行展开，得 —
1 o 。 o 。
入
1。 1。
(-1)叶1x4 。 入 ＿ 入 +( — 1)11-2 X 3 O ＿ 入 ＋
— — 。
1 0 1
1。 1
(—1) 4+3 X 。 2 入 。 。
一
入 。 — +( — 1) 4+4 (A + 1) 入 0
一
入 0 — 入 1
1 0
3 2
＝矿＋入 +2入 +3入+4.
2
（1
4） _
9
解
一
取球次数恰好为4次，说明第4次有 种颜色，前3 次有两种颜色
c�. c�.
2 2
由古典概率公式，得P= 4 ＝ .
3 9
三、解答题
1 lim ln(cos2工+2工sinx)
(15)解 因为 l 工 i - m o(cos2x + Zx sinx)
言=
e-•
x•
—
ln( cos2x + 2x sinx) 1 2sin2x +2 sinx + Zx cosx
且 l工i-mo 4 =l工im • 3
X -0 cos2x + Zxs inx 4x
— —
2cos2x + 2cosx xsinx
=l工i
-
m
o
2
6x
— —
= 4sin2x 3 sinx xcosx
l工i-m0
l2x
1
_
＿＿ 3，E环 I I
= 了
所以 (cos2x+2— x sinx. 卢 e
p dQ p
(16)解 C I)由题设 = .
Q dp 120-p
— 1 —
所以厂�= dp, 可得lnQ=lnC120 p)十lnC,即Q=CC120-p)
Q J120-p
=
又最大需求量为1200,故C 10, 所以需求函数Q=l200-10p.
= — 1 2 = —1
C II)由C I)知，收益函数R 120Q —Q '边际收益R'(Q) 120 -Q.
10 5
= =
当p=100时，Q 200, 故当p 100万元时的边际收益R'2( 00)=80, 其经济意义为：销
售第201件商品所得的收益为80万元．
(17)解当fO:< x — �l时， J: J: I: — +』;
= 2 2 2 2 2 2 2 2 = 3 2
JCx > I t x I ct1 十 I t-x I cit= x( -t )td 十 t( x )clt {x-x
— -—
X = 2 = 2
当 > 1时，f(x) r (x t勹dt x
0< X�l,
所以 f(x)
� {t ; t; ; 主— x>f� l. , ,:
�
x x
八
而 J'_ (1)= xl-imI-
2
—
<L
(1)
�,1叩
'�±;+
�2
= x 2x, O<x
故 J'(x) {4 X
2x, >l,
= 一 =—1 1
由J'(x) O求得唯 驻点x ，又!"(』)>O, 从而x 为f(x)的最小值点，最小
2 2 2
计）勹
·
值为f
f
勹
= — — =
1( 8)解令u x t'则f:1cx t)dt (u)du
= — x —
由题设f:f(u)du fx f:f t( )dt f: 汀(t)0 dt +e - 1,
= 勹 。 — x —
求导得 f(x) t( )dt e- '且fO( )= 1 .
x
因此J'(x)-f (x)= e - ,
=
从而 f(x) efdx(c+f 尸e-fdx dx)
e一 x
x ———
=Ce
2
— =——1 —— 1 + x
由八0)= 1, 得C 2 ，所以f(x)= 2 e( e- ).
2
X n+4
(n+ 2 ) 2( n+ 3) = 2
2 2
1( 9)解因为nli-m 。 X n+ x '所以当Ix <l l时，幕级数绝对收敛；当Ix >l l时，
(n+l)(2n+D幕级数发散．
=
1
又当x = 土1时，级数�/ I ''/
门
I '' 收敛，所以幕级数的收敛域为[-1, l]
n�o
=
2n+2
X
记fCx)
=�/
, , "" , ",x E[
—
1,1], 则
n-0
i= 2n+l 这
厂(x)-2 Z X n + l ，广(x) = 2�x 2" - l — 2 x2,xEC-l.D.
n-0 n-0
因为厂 r ( 0) = O,f(O r ) =0, 所以当XE( — 1, 1)时，
2
f'(x) f" Ct) dt = — 2 dt = ln(l+ X) -ln(l X)'
0 0 1 t
f(x) = f:J'(t)dt= J:1nC1+t)dt-J:ln(l — t)dt Cl+x)lnCl+x)+Cl-x)ln(l — X)•
（） （
。 （ 2 ） 又 所 角 刀 牛 以 f 1 ( I f _ ＿ （ ） X 3 I 凡 i ） t } m 负 ＝ E fcx 阵 忆 广1 ] （ n A ) 2 + ＿ ＿ ， X _ _ 2 霾 ， 门 In ) n 2 （ 寸 1 施 以 ＋ x 初 1 ） 等 、 、 丿+ = 4 1 x ( － 丁 1 - －f 变 . l m 7 - 换 ＋x f ） ( ] X nCl 』 2- － x n2 ) ' , x x a ＿ _ E + I ' ( 1 1 0 . 1 ， l ） ，
l —a 0 ＼ \ /1 0 1 1 ， ' \
由 CA 方 程 : P 组 l� 尤解 [ a 知 + : ， 1 秩 ( 1 : A l l a P + a ) l ＞ 秩 Za 1 A - ， 2 Iil 丿 l f _ a0 2 ＋ za o 1 ＝ 0 -, 2a az 且 2 + a I 1 2 a 2 ， ＇ , ＇ , ' ， ' ， # a - 0 ， 2 解 J 1 4 ， 日吁 ＂ 。 ＝ ．
T r
(I[)对矩阵(A A : A p) 以初等行变换
— ll·[i
I II:,]
T
CA A : A "Pk [:
: :
施
J [ :]
所以，方程组A T Ax -A T P的通解x — [ :— + k I (k为任意常数）．
(21)解 C I)因为
—
入 1 1
I入E A I= 2 入+3 o I = 入（入十1)(入+2)'
0 0 入
-o.
所以A的特征值为九= 1, 儿= 2, 入3
当入＝ — 1时，解方程组( — E — A)x = 0, 得特征向量f1 = Cl,l,O)勹
当儿＝ — 2时，解方程组(-2E — A)x -O, 得特征向噩名 = (1,2,0)飞
当儿
=0时，解方程组Ax =
0, 得特征向量f3
=
(3,2,2)
T
.
1 1 3
令P�(丘丘名）�[, 2 ,], 则
0 0 2
I
P-'Al'
�[
� �2�]。 。
(-。 1)99 。
所以 A99 =P 。 (-。 2) 99 。 p-1
。 。 2 —l —2
1 1 3 (-。 1) 99 。 1
�1 1
1 。 2 。 2 。 (—。 2) 9 9 。
。 。
2
2 1
2
299 -2 1—299 2 298
2
100 。
2 1
。 2100
2
。-299
C
II)因为B2=BA,
所以
BIOO =B98B2 =B99A= B97B2A= B98A2 =…=BA99'
三二二 l — 299
2� 2
即(p,,p,,p,)- (a, ,a" 。 l —。 2100 —
;'"]
所以
— —
P1= C299 2)a i + (2 100 2)a 2, l
�,-(1-2飞+(l — 2"'"飞
—
,- (2 -Z"')a , + (2 Z'")a,,
(22)解 (I) (X, Y)的概率密度为
3,(x,y)ED,
J(x,y)={
0' 其他．
C II)对于O<t<l ,
o,x
P{U冬 乏t}=P{X>Y,X冬t}
T
』1 』
。dx 3dy
3
=-t 2 -t 3'
2
l
P{U冬O} P{X >Y} =—,
2
=』 厂
—
P{X冬t) dx 3dy zt+ t 3.
0 r2
o,x
由于P{U乏 冬t}#-P{U�O}P{X�t), 所以U与X不相互独立．
c III)当z<O时，F(z)=0; 当O�z<1时，
F(z)-P{Z乏z}
=P{U+X�z}
=P{U=O,X乏z}
—
P{X >Y ,X冬z)
=—
3
z
2 — z·1
2
当l乏z<Z时，F(z)-P{U+X冬z}=P{U=O,X�z} +P{U=l,X�z— 1}
1 3
=—+Z(z-1)宁 — —(z —1)2 ;
2 2
当z�2时，F(z)=P{U+X�z} =l.
o,
z< O,
3
— z2 —z3 ' 0�z < 1,
2
所以 F(之）＝
1 3
—+2(z—1)主 — —(z— 1)2' 1�z < 2,
2 2
1, 乏 �2.
(23)解 C I)总体X的分布函数为
二
F(x)�{;, :·<B,
e.
I, X 诊
从而T的分布函数为
o,
z<
;
Fr(z)�[F(z)]'�{ , O�z<0,
1, z�0.
所以T的概率密度为
9z8
fr(z)�{O', O<z<O,
o, 『～
其他．
(Il)E(T)= z八(z)dz
-=
寸 9z9
dz
09
0
9
0'
10
9
从而E(aT)=—a0.
10
10
令E(aT)=0, 得a =—.
9
10
所以当a =—时，E(aT)=0
9