1993年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) 6 (1)【答案】 5 2 sin 3x2 5 2 3x2 5 x 【解析】 lim sin 2lim lim , x 5x3 x x5x23x x 2 x 2 sin x sint 3x2 5 6x 3 极限 lim lim 1, 而 lim 洛lim  , x 2 t0 t x5x2 3x x10x 5 x 3x2 5 2 3 6 所以 lim sin 2 1 . x 5x3 x 5 5 3 (2)【答案】 4 3x2 12 【解析】令g  x  ,则有g  0 1, g x  ,则 g 0 3, 3x2  3x2 2 由复合函数求导法则知 dy 3  f g  0  g 0 3f1 3arctan1 . dx 4 x0 2 (3)【答案】 2ln3  1 ln3 【解析】利用几何级数求和公式xn  (x 1),令x ,即得 1x 2 n0  (ln3)n 1 2    . 2n ln3 2ln3 n0 1 2 (4)【答案】0 【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义. 由于r  A 2,说明A中3阶子式全为0,于是 A 的代数余子式A 0,故A* 0. ij   所以秩 r A* 0. 若熟悉伴随矩阵A*秩的关系式 1n, r  A n,  r  A*  1, r  A n1,  0, r  A n1,    易知 r A* 0. 注：按定义 A A  A  11 21 n1   A A  A A*   12 22 n2 ,        A A  A  1n 2n nn 伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式 A 的代数余子式,是n1阶子式. (5)【答案】(4.804,5.196) 【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以 用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间. X  因X 的方差为1,设X 的期望为,则U  N(0,1). / n 当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知u u 1.96.因此用公式：  0.025 2   I (x u ,x u ) .   n n 2 2 将x5,1,n100,u 1.96 代入上式,得到所求的置信区间为I (4.804,5.196).  2 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C) 【解析】利用函数连续定义判定. 1 由于当x0时,sin 为有界变量, x 为无穷小量,则 x2 1 lim f  x lim x sin 0,且 f  0 0. x0 x0 x2 于是 f  x 在x0处连续.故(A)(B)不正确. 1 1 xsin  f  0  xsin 又因为 lim x2  lim x2  lim 1 sin 1 不存在,所以 f  x  x0 x0 x0 x x0 x x2 在x0处不可导,所以选(C). 【相关知识点】函数连续定义：如果函数在x 处连续,则有 lim f(x)  lim f(x)  f(x ). 0 0 xx  xx  0 0 2(2)【答案】(A)   1 1 1  f lnx 1 1 【解析】 F x  f  lnx   f       f  . x x x2  x x2 x 【相关知识点】积分上限函数的求导公式： d  x f  t  dt  f   x   x  f   x   x . dx x (3)【答案】(B) 【解析】A   A有n个线性无关的特征向量. 由于当特征值  时,特征向量, 线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时, 1 2 1 2 矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化. 因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其 几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D) P(AB) 【解析】P(B A) 1的充分必要条件是 1,即P(AB)P(A).显然四个选项中, P(A) 当 A B 时, AB  A,可得P(AB)P(A) .因此 A B 是P(B A) 1的充分条件.因此 选(D). (5)【答案】(B) 【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有 a xt a  F(a)  (x)dx   (t)dt  (x)dx,   a  随机变量X 的密度函数为(x),则 (x)dx 1,又由于(x)(x),所以  0  1  (x)dx  (x)dx  ,(偶函数积分的性质)  0 2 a 0 a  1 即 (x)dx (x)dx  (x)dx (x)dx  .  a 0 a 2 a   a 1 a 于是 F(a)  (x)dx   (x)dx   (x)dx (x)dx   (x)dx .  a 0 0 2 0 故应选(B). 三、(本题满分5分) 【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得 dzdydxezyxdxxezyx  dzdydx  0. 整理后得  1xezyx  dz   1xezyx ezyx  dx  1xezyx  dy. 31xezyx ezyx 由此,得dz  dxdy . 1xezyx 方法二：应先求出函数对x,y的偏导数,将z yxxezyx  0两边分别对x,y求偏导, z 1ezyx xezyx  z 1 0, x x z 1xezyx  z 1  0, y y 1 x1  ezyx 解之得 z  , x 1xezyx z 1. y 1 x1  ezyx 故 dz  zdxzdy  dxdy . x y 1xezyx 四、(本题满分7分)  xa 2ax  xa x  2a  x  2a    2a      xa   【解析】 lim  lim1  lim1  , x xa x xa x xa 2a 令 t,则当x时,t 0, xa  xa lim  1 2a      2a   lim  1t  1 t  e, x xa t0  xa 2ax  2a   2a     xa   lim   2ax   所以 lim1   ex xa  e2a. x xa     而  4x2e2xdx 2 x2de2x  2x2e2x 4 xe2xdx   a a a a  lim  2b2e2b2a2e2a  2  xde2x b a   2a2e2a 2xe2x 2 e2xdx   a a 2a2e2a  lim 2be2b 2ae2a lim e2b e2a     b b 2a2e2a 2ae2a e2a , 由e2a 2a2e2a 2ae2a e2a,得a2 a 0,所以a 0或a 1. 五、(本题满分9分) 【解析】(1) 利润函数为 4L pqC  (d eq)q(aq2bqc) (d b)q(ea)q2c , dL dL d b 对q求导,并令 0,得 (d b)2(ea)q0,得q  . dq dq 2(ea) d2L d b 因为 2(ea)0,所以,当q  时为利润函数的极大值点,根据题意也是利 dq2 2(ea) (d b)2 润的最大值点,所以L  c . max 4(ea) 1 1 p eqd (2) 因为q(p) (d  p),所以q(p) ,故需求对价格的弹性为 q . e e q eq d (3) 由1,得q  . 2e 六、(本题满分8分) 【解析】由题设可得示意图如右.设P(x, f(x)),P(x,ex 1),则S  PP , 1 2 1 2 x 即  f(t)dt ex 1 f(x) . 0 两端求导,得 f(x)ex  f (x),即 f(x) f(x)ex. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得 p(x)dx p(x)dx f(x)e (q(x)e dxC) e dx (exe dx dxC) (exexdxC)ex Cex  1 ex. 2 1 1 由初始条件 f(0)0,得C  .因此,所求函数为 f(x) (ex ex). 2 2 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程 y p(x)y q(x)的通解公式为: p(x)dx p(x)dx y e (q(x)e dxC) ,其中C为常数. 七、(本题满分6分) 【解析】因为 f(x) 分别在[0,c]和[c,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在 (0,c), (c,1),使得 1 2 f(c) f(0) f(1) f(c) f() , f() , 1 c0 2 1c 5f(c) f(0) f(1) f(c) f(1) f(0) 由于点C在弦AB上,故有    f(1) f(0), c0 1c 10 从而 f() f() f(1) f(0). 1 2 这表明 f(x)在区间[,]上满足罗尔定理的条件,于是存在(,) (0,1),使得 1 2 1 2 f()0. 八、(本题满分10分) 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换, 第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 1 、1 加到第二行和第三行上,再第二行和 1k 第三行互换,再第二行乘以 加到第三行上,有  2   1 1 k  4   1 1 2  4     A 1 k 1  k2  1 k 1  k2       1 1 2  4    1 1 k  4   1 1 2  4  1 1 2  4       0 k1 3  k24  0 2 k2  8      0 2 k2  8    0 k1 3  k 24    1 1 2  4     0 2 k2  8  .  (1k)(4k)  0 0  k(k 4)  2  (1)当k  1且k  4时,r(A)r(A)3,方程组有唯一解,即 k2 2k k2 2k 4 2k x  ,x  ,x  . 1 k1 2 k1 3 k1 (2)当k 1时, r(A)3,r(A)2方程组无解. 1 1 2  4 1 0 3  0     (3)当k 4时,有A 0 2 2  8  0 1 1  4 .      0 0 0  0    0 0 0  0  因为r(A)r(A)23,方程组有无穷多解. 取x 为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T. 3 6又导出组的基础解系为(3,1,1)T ,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设 A是mn矩阵,线性方程组 Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵A Ab 的秩,即r(A)r(A) .(或者说,b可由A的列向量,,, 线表出,亦 1 2 n 等同于,,, 与,,,,b是等价向量组) 1 2 n 1 2 n 设A是mn矩阵,线性方程组Axb,则 （1） 有唯一解  r(A)r(A)n. （2） 有无穷多解  r(A)r(A)n. （3） 无解  r(A)1r(A).  b不能由A的列向量,,, 线表出. 1 2 n 九、(本题满分9分) 1  1 0      【解析】经正交变换二次型 f 的矩阵分别为A  1  ,B  1 .      1  1    2  由于P是正交矩阵,有P1AP B,即知矩阵A的特征值是0,1,2.那么有   A 222 0,   0.  EA 20. 【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x ,x ,,x 的二次齐次多项式(即每项都是二 1 2 n 次的多项式) n n f  x ,x ,,x a xx ,其中a a , 1 2 n ij i j ij ji i1 j1 称为n元二次型,令x x ,x ,,x T ,A  a  ,则二次型可用矩阵乘法表示为 1 2 n ij f  x ,x ,,x xTAx, 1 2 n 其中A是对称矩阵  AT  A  ,称A为二次型 f  x ,x ,,x 的矩阵. 1 2 n 十、(本题满分8分) 【解析】(1)依题意,因为随机变量X 和Y 同分布,则 7P  A P  X a P  Y a P  B , 又事件A X a 和B  Y a 独立,故P  AB P  A  P  B . 估计广义加法公式： P  AB P  A P  B P  A  P  B  2P  A  P  A  2  3 .   4 解以P(A)为未知量的方程 P  A  2 2P  A  3 0.得P(A) 1 ,(因P(A) 3 不合题   4 2 2 意). 再依题设条件可知 1  23 1  P(A) P{X a}  f(x)dx x2dx (8a3) . 2 a a8 8 再解以a为未知量的方程:8a3 4,得a  3 4. (2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望: E   1      1 f  x  dx   2 1  3 x2dx   23 dx  3 x 2 3 .  X2   x2 0 x2 8 0 8 8 0 4 十一、(本题满分8分) 【解析】本题的关键在于理解随机变量N  t 的意义,事件{Ntk}表示设备在任何长为t (t)k 的时间内发生k次故障,其概率为P{Ntk} et(k 0,1,2) . k! 由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当t 0时,F  t P  T t  0;当t 0时, 事件 T t 与 T t 是互逆事件,并且 T t 表示在长为t的时间内没有发生故障,它等 价于事件N  t 0. (1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量. 当t 0时,F  t P  T t  0; 当t 0时,事件 T t 与  N  t 0  等价.于是有 F  t P  T t 1P  T t 1P  N  t  0  1et. 1et,t 0 因此 F  t  . 0,t 计算得知T 服从参数为的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此 Q  P  T 16|T 8  P  T 8 1P  T 8 1F(8)1(1e8)e8. 8