2014年数学三解析_数学三真题+解析[87-25]_数学三解析

2014 年对任意的常数K小矩阵A的秩都为2,
+ + 一
所以若向量a口a2,�am3线 性无关，则a1 ka3 , a 2 la3 定线性无关．
而当a,�[:] ,a, ,a ,�[�]'寸
+ +
对任意的常数k,l,向 量a1 ka3 , a 2 la 3线性无关，但a1,a2 ,a3线性相关．故应选A.
(7) B
— = = =
解P(A B) P(A)-P(AB) P(A) -P(A)P(B) P(A)-0.5P(A)
令
=
0.5P(A) =一=0.3,
=
得P(A) 0.6,
— = — = — =
则PCB A) P(B) P(AB) P(B) P(A)P(B) 0.2. 故应选B.
(8) C
= —
解 因为X; -N(O,矿 ），i 1,2,3,所 以X1 X2 -N(0,2矿），则
X1-X2
-N(O,l),
＿ 扣
x3 x3 2
又了-N(O,l),则仁）～农Cl).由t分布定义，知
—
X1 X2
工厂
｀ m.
故应选C.
二、填空题
—
(9) 20 Q
—
解 收益函数R(Q) = PQ =20Q- 1 Q 2 '所以边际收益为R'(Q) = 20-Q.
2
y
—3
(10) -ln2
2
解 区域D的图形如右图所示，面积
s=J:[
—�-(-y)] dy xy=-1
=(f I: X
—
lny
)
y=-x
—3 —
= ln 2.
2
1
（11、_
丿2
解
由于rxe
2
xdx =产(2x
—
1) 1·
=产
(2a
—
n+ 』二二
，
0 4 0 4 4 4
=—1 .
得a
2
e-1
(12)
2解 如右图所示，则
勹— y
I: dy f:( e')dx
—
= I: dy I: �dx I: dy I: 矿dx
厂
—
= L dx �
-f
dy- I: 产
f
(1 y)dy 。
X
1
—
＝『产dx 矿dy+ ye'dy =』e'/ =_!_Ce 1)
2 0 2
(13) [—2,2]
解 由配方法可知
f(x1 ,xz ,x3)= x1
—X
2 + 2ax IX 3 + 4x 2 X 3
2 — 2
=( x 1 + ax 3) (x 2 -2x 3) + (4 -a勹x!.
2 o,
由于负惯性指数为1,则4-a 诊 所以a的取值范围是[—2,2].
2
(14)
5n
厂
解 E(x 2 )= 厂X 2 f (x)d x = r OX 2• 红2 dx= 2 2 x 3 dx=三矿，则
-= o 30 30 e ＾ 2
艺 区 " 2 5 古
E ( x:) =ctECX了）=c E(X )=en• —矿 胪
,-1 ,-1 ,-1 2
=—2
所以c '
5n
三、解答题 f
+ — —
』X
—
厅(e 1) t]dt ［广(e+ 1)-t]dt
1 1
(15)解 又·l-im+=
2 —1
= xl-im+=
X
x ln(l+ X)
2 1 —
= x l - im 十= [x (e了—1) x]
1
令u =—
X e" — 1 — u
lim 2
u-o+ u
. e" — 1 1
—
=hm = .
u-o+ 2u 2
』
二） J1
xsin(rc: cos()
(16)解 dx dy = d() • r rsinrc:rdr
D x + y o cos0十sin() 1
t
=厂
cos0 sin0
由于 d() d()
o cos0十sin0 o cos0十sin0
＝』厂
cos0+ sin()
d()
2 o cos0 + sin0
王
＿4，
＿
『
2
』 』 3
rsin1trdr= —rcos1tr+ sin1tr)
］ 亢 （ 亢 I 1tII
亡
故
xsin(六五+ 了）
dxdy =
—
支·
D X y 4
clz cJz
— 1 — 工
(17)解 因为 ＝厂(e cosy)e飞osy,—= 厂(e飞osy)e siny,
五 吵
—心— —心
所以cosy siny =(4z十e飞osy归化为
归 炒
工 工= 工 1
厂(e cosy)e [4f伲cosy)+e cosy]e .
即函数f(u)满足方程
=
厂(u)-4J(u) u,
该方程的通解为
u 1
f ( u ) = C e
u4 — 一 一 —
"
4 1 6
=—］
又f(O)=0, 得C '
16
1 4
古文f(u) =-(e " -4u -1).
16
=
(18)解 幕级数的系数an (n+D(n+3).
lan+if = (n+Z)(n+4)= =
因为 n l - im = I an f n li - m = (n +1 )( n +3 ) l, 所以收敛半径R l.
= =
= —
当x 士1时，因级数�(n+l)(n+3)及�(n+DCn+3)( 1)"发散，
n�o n�o
故收敛域为(-1,1),
（沁
= —
设rS(x) �(n+ 1 ) (n + 3)x勹XE( 1,1 )'
n-0 t
= =
则 5 (t) dt = (n+ 3 )x n+ l = � ( n + 2 ) X n + I + � X n + l , 。
n � O n-0
其 中 � X
n + =l X
'
n - 0
言
n�O l-x
(�J: 2 勹二
n+ = n+ = = x
(n+2 )X l (n +2 )t 1 dt) 1 ( l � x )' - x / 2'
所以S(x)
= ( 勹 二）
2
2 ) ' + ( 1 � x )
=
' c t =- : ) 3 ' x E C
—
1 , 1 )
r r
(19)证 C I)因为0冬g(x)冬1,
I:
< <
所以当xE[a,b]时有， Odt a g(t)dt a ldt.
x
—
即0冬『g(t)dt冬x a. a
=』
+ u —
C II)令F(x) : J:g(u)d f( t)d t f :J(t)g(t)dt,x E [a,b].
因为f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，
所以F(x)在区间[a,b]上可导，且
』
X
=
尸(x) [f (a+ g( u)d u) -J (x)] g( x).r
由CI)知，a + g( U)d u < X ,
又因为f(x)单调增加，且 g(x)�O,
所以F'(x)< O, 从而F(x)在区间[a,b]上单调减少．
又F(�)=O,故F(b)<o,即
I:
厂
<
f:gc,Jd,f(x)dx f (x)g (x)dx.
(20)解 CI) A 以 等行变换
— :4]-[� 1 、
0
。 2
-
，
A�[: -:2 矩阵_O: — 。� 1 3
初 丿
－-1
施 f ＼
2
则方程组Ax 。 ＝ 的 个基础解系为 a＿ 3 ．
对
＿ 1
\ ／
，
'
,
变换
吐1
， lo
， 3
o
1
2
＋ 从＂
+
＋
k
k
行
－
－
31O
趴门勹口�叭j勹叮
d
；勹口门勹口
初等
-
－－
-－
以
f
\
（
＼
（
＼
l
=
＝
＝
施
2
1
2
贝
x
x
x
、丿
-
，
为
为
为
•E
• •
3)
解
解
解
A
1
0
1
,e
通
通
通
（
(
\
'e2
的
的
的
1
矩阵
、丿=
（e
＝
＝
＝
e
e
e
1
2
3
(II)对
0 1 ／
1 0 CA…E 0 f 0
＼
记E=
A X
AX
AX
001 \
）
0
1 0
0
0
1 6 —
— 2 ! -1 - 3 :] -
— — —4 3 ! 1
如为任意常数；
如为任意常数；
如为任意常数．
于是，所求 为
-
3
B �
矩
—阵4 ＋（k＂ 1 ， k ＂ 2 ， k ＂ 3 、丿，
[
二
; 0
(6 1 ．．．
1
(21)证 设A＝ …
1
\
因为
l11 \
)
。
1
1
， …
1
、
丿
k1, 如，如为任意常数．
1 （0 、
1
0 0
… B ＝ … … ．
1 0 0
＼
1
2
…
n入—l 1 -1
—l； 入-1 �1
闷E-A/= I-饥 —n)入n -1,
-1 。 —l 入—1
。入 �1
入 -2
队E—B尸I l=c入—n)入n-l,
0 0…入-n
所以A与B有相同的特征值入
i
-n, 入
2
—O(n-1重）．
由千A为实对称矩阵所， 以A相似于对角矩阵
』
o
A{ ·.. 。
因为r(儿E-B)= r(B)= 1 ,
所以B对应于特征值沁=0有n 1个线性尤关的特征向量，
千是B也相似于A.
故A与B相似．
(22)解 C I)凡(y)=P{ Y炙y)
=P{X=l}P{Y,s;;;y I X=l}+P{X-2}P{Y炙y I X= 2}
1 1
=—P{Y冬y[X=l}+-P{Y炙y I X=2}.
2 2
当y< 0时，凡(y)= 0;
3y
当0,s;;; y< 1 时，伈(y)=—;
4
1 y
当1 ,s;;; y < 2时，凡(y)=-+ —·
2 4
当y�2时，凡(y)=1 .
所以Y的分布函数为
0' y< o,
3y
， O�y<l,
4
凡(y)=�
1 y
了 十 丁' 1,s;y<2,
I, y;? 2.
C II)随机变最Y的概率密度为
3
— , O<y<l,
4
八(y)=�1—
, l冬y<2 ,
4
,
其他．
o
『 』: J: 』
EY= =y八(y)dy— ¾ydy+ -ydy=
¾解 C I)设(X,Y)的概率分布为
(23)
。 1
�
。 a b
l c d
由题设条件知
2 2 2 2
EX=EY=
了
,DX =DY=了(1 — 3)
勹
4
Cov(X ,Y)= E(XY)—EX• EY=P{X =l,Y=l}——.
9
由
4
P{X =l.Y=l} ——
Cov(X ,Y)
pxy = =
2
9
2
1 .
JDX• DY
-
9
解得
d =P{X =l,Y=1 ) =—1 十—4 =—5 .
9 9 9
由此可得
1 2
C =b =3-—d=』，a =——b=—
3 9 3 9
所以CX,Y)的概率分布为
。
1
X
。
2 1
9 9
1 5
1
9 9
4
CII) P{X+Y冬1} = 1—P{X+Y> 1) =l—P{X =l,Y=l} =—.
9