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2011 年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选
项选出来，并将其字母标号填写答题栏内，每小接合面选对得3分，选错、不选或选出的答案
超过一个均记0分，满分36分.
1．（3分）在实数 、 、 、sin30°，无理数的个数为（ ）
π
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）二次根式 有意义时，x的取值范围是（ ）
A．x≥ B．x≤﹣ C．x≥﹣ D．x≤
3．（3分）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，
则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）2＝256 D．256（1﹣2x）2＝289
4．（3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰
梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡
片正面图案是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
5．（3分）若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
6．（3分）关于一次函数y＝﹣x+1的图象，下列所画正确的是（ ）
A． B．
第1页（共18页）C． D．
7．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（
）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB
为弦的 M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
⊙
A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（5，﹣4） D．（4，﹣5）
9．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为（精确到0.1）（ ）
A．9.1 B．9.5 C．3.1 D．3.5
10．（3分）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的
“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，
左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为
2，则8×9＝10×7+2＝72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3
11．（3分）如图．在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向
旋转至△A'B'C的位置，且A、C、B'三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为
（ ）
第2页（共18页）A． B．8cm C． D．
12．（3分）如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位
线DE剪开，计划拼出以下四个图形： 邻边不等的矩形； 等腰梯形； 有两个角为锐
角的菱形； 正方形．那么以上图形①一定能被拼成的个数②为（ ） ③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．（4分）分解因式：x2﹣4＝ ．
14．（4分）若x＝2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5＝0的一个根，则a的值为 ．
15．（4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 ．
16．（4分）在等腰△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝ ．
17．（4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED的大小
是 °．
18．（4分）若点A（m，﹣2）在反比例函数 的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的
取值范围是 ．
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．（6分）计算： ．
第3页（共18页）20．（7分）依据下列解方程 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在
后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为 （ ）
去分母，得3（3x+5）＝2（2x﹣1）．（ ）
去括号，得9x+15＝4x﹣2．（ ）
（ ），得9x﹣4x＝﹣15﹣2．（ ）
合并，得5x＝﹣17．（ ）
（ ），得x＝ ．（ ）
21．（8分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 2 2 0 1
乙命中相应环数的次数 1 3 1 0
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
22．（8分）如图，直线PM切 O于点M，直线PO交 O于A、B两点，弦AC∥PM，连接
OM、BC． ⊙ ⊙
求证：（1）△ABC∽△POM；（2）2OA2＝OP•BC．
23．（9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成
两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B
有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论．
第4页（共18页）（1）如图 △ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°
作图： ①
①猜想：
②验证：
③（2）如图 △ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°．
作图： ②
①猜想：
②验证：
24．③（10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线
MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．
那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
25．（12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O
落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC
＝4米，点B到水平面距离为2米，OC＝8米．
（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两
根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱
与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之
间的距离是多少？（请写出求解过程）
第5页（共18页）2011 年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选
项选出来，并将其字母标号填写答题栏内，每小接合面选对得3分，选错、不选或选出的答案
超过一个均记0分，满分36分.
1．【分析】先把sin30°化为 的形式，再根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵sin30°＝ ，
∴这一组数中的无理数有： ， ．
故选：B． π
【点评】本题考查的是无理数的定义，即其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列出不等式，求出x的取值范围
即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴1+2x≥0，
解得x≥﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件及解一元一次不等式，比较简单．
3．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问
题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根
据已知条件列出方程．
【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，
∴方程为289（1﹣x）2＝256．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，
其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B．
第6页（共18页）4．【分析】先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解
答即可．
【解答】解：圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中，中心对称图形有圆，矩形2个；
则P（中心对称图形）＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，要弄清概率公式适用的条件方可解
题：
（1）试验中所有可能出现的基本事件有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
5．【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件
的数值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边＞两边之差，即4﹣3＝1，而＜两边之和，
即4+3＝7，
即1＜第三边＜7，
∴只有5符合条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查了构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边，比较
简单．
6．【分析】根据函数的k为﹣1，b＝1，可判断函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的正半轴．
【解答】解：由题意得：函数的k为﹣1，b＝1，
∴函数为减函数，且与y轴的交点在y轴的正半轴，
结合选项可得C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象的知识，难度不大，对于此类题目要先判断增减性及与y
轴交点的位置．
7．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，
抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
第7页（共18页）【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．
8．【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设 M的半径为R，因为四边形OABC为正方
形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的 M⊙与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以
⊙
DA＝ AB＝4，DM＝8﹣R，AM＝R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到
关于R的方程，解之即可．
【解答】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设 M的半径为R．
∵以边AB为弦的 M与x轴相切，AB∥OC， ⊙
∴DE⊥CO， ⊙
∴DE是 M直径的一部分；
∵四边形⊙OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），
∴OA＝AB＝CB＝OC＝8，DM＝8﹣R；
∴AD＝BD＝4（垂径定理）；
在Rt△ADM中，
根据勾股定理可得AM2＝DM2+AD2，
∴R2＝（8﹣R）2+42，∴R＝5．
∴M（﹣4，5）．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔
细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题．
9．【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义，易得AB、AC及∠A的关系，进而计算可得答
案．
【解答】解：根据题意
第8页（共18页）在Rt△ABC中，有cosA＝ ，sinA＝ ；
则AC＝AB•cosA＝10×cos72°≈3.1；
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握好边角之间的关系及三角函数的定
义．
10．【分析】通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．
【解答】解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10＝30，
30+4×3＝42，
故选：A．
【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要
找错对应关系．
11．【分析】点A所经过的最短路线是以C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算
求解．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，A、C、B'三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°．
又AC＝4，
∴L ＝ （cm）．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质和弧长的计算，搞清楚点A的运动轨迹是关键．难度中等．
12．【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可
解题．
【解答】解： 使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：
①
∵∠B＝60°，
∴AC＝ BC，
第9页（共18页）∴CD≠BC．
使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：
②
使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：
③
故计划可拼出 ．
故选：C． ①②③
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质，本题
中求证BD≠BC是解题的关键． ①
二、填空题：本大题6个小题，每小题填对最后结果得4分，满分24分.
13．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：
两项平方项，符号相反．
14．【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝2代入方程，即可得到
一个关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣x﹣a2+5＝0得：
4﹣2﹣a2+5＝0，
解得：a＝± ．
故答案为：± ．
【点评】本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．
15．【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
第10页（共18页）∵AB＝6cm，
∴AD＝3 cm．
故答案为：3 cm．
【点评】本题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用能力，比较简单．
16．【分析】根据△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，求出∠A＝∠B＝45°，从而求出角A的正切
值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴tanA＝tan45°＝1，
故答案为1．
【点评】本题涉及到的知识点有：等腰直角三角形、特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊
角的三角函数值．
17．【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数．
【解答】解：∵∠CED′＝56°，
∴∠DED′＝180°﹣56°＝124°，
∵∠AED＝∠AED′，
∴∠AED＝ ∠DED′＝62°．
故答案为：62．
【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等．
18．【分析】根据题意可求点A的坐标；画出草图，运用观察法求解．
【解答】解：∵点A（m，﹣2）在反比例函数 的图象上，
∴﹣2m＝4，m＝﹣2．
∴A（﹣2，﹣2）．
∴当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是 x≤﹣2或x＞0．
故答案为：x≤﹣2或x＞0．
第11页（共18页）【点评】此题考查了反比例函数的图象及其性质以及运用观察法解不等式，难度中等．注
意反比例函数的图象是双曲线．
三、解答题（共7小题，满分60分）
19．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值、二次根式化简5个考
点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣1﹣ +2 +1﹣
＝2+ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等
考点的运算
20．【分析】解方程要先去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1，最后求得解．
【解答】解：原方程可变形为 （分数的基本性质）
去分母，得3（3x+5）＝2（2x﹣1）．（等式性质2）
去括号，得9x+15＝4x﹣2．（乘法分配律）
（移项），得9x﹣4x＝﹣15﹣2．（等式性质1）
合并，得5x＝﹣17．（合并同类项）
（系数化为1），得x＝ ．（等式性质2）
【点评】本题考查解一元一次方程，关键知道解一元一次方程常见的过程有去分母，去括
号、移项、系数化为1，最后得解．
21．【分析】根据平均数的公式：平均数＝所有数之和再除以数的个数；方差就是各变量值与
其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然
后再利用方差公式计算．
第12页（共18页）【解答】解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为： ，（2
分）
，（3分）
，（5分）
，（6分）
∵s甲 2＞s乙 2．
∴乙同学的射击成绩比较稳定．（8分）．
【点评】本题考查平均数、方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方
1 2 n
差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，
1 2 n
波动性越大，反之也成立．
平均数反映了一组数据的集中程度，求平均数的方法是所有数之和再除以数的个数；
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的
方法．
22．【分析】（1）因为PM切 O于点M，所以∠PMO＝90°，又因为弦AB是直径，所以∠ACB
＝∠PMO＝90°，再有⊙条件弦 AC∥PM，可证得∠CAB＝∠P，进而可证得
△ABC∽△POM；
（2）由（1）可得 ，又因为AB＝2OA，OA＝OM；所以2OA2＝OP•BC．
【解答】证明：（1）∵直线PM切 O于点M，
∴∠PMO＝90°， ⊙
∵弦AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠PMO，
∵AC∥PM，
∴∠CAB＝∠P，
∴△ABC∽△POM；
第13页（共18页）（2）∵△ABC∽△POM，
∴ ，
又AB＝2OA，OA＝OM，
∴ ，
∴2OA2＝OP•BC．
【点评】本题考查了切线的性质： 圆的切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心且垂直
于切线的直线必经过切点； 经①过切点且垂直于切线的直线必经过圆②心和相似和圆有关
的知识，具有一定的综合性．③
23．【分析】（1） 痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD＝∠A
（或∠BCD＝∠①B）两类方法均可，
利用各角之间的关系得出∠A+∠B＝90°；
②可根据△ABC中，∠A＝24°，∠B＝66°时，有∠A+∠B＝90°，此时就能找到一条把
③△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．
（2） 痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ABD＝∠A或在线段
CA上①截取CD＝CB三种方法均可．
利用各角之间的关系得出∠B＝3∠A；
②利用特殊角∠A＝24°，∠B＝72°，有∠B＝3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割
③成两个等腰三角形的直线．
【解答】解：（1） 作图：痕迹能体现作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线，或作∠ACD
＝∠A（或∠BC①D＝∠B）两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求（2分）
猜想：∠A+∠B＝90°，（4分）
②验证：如在△ABC中，∠A＝24°，∠B＝66°时，有∠A+∠B＝90°，此时就能找到一条把
③△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线．（5分）
第14页（共18页）（2）答： 作图：痕迹能体现作线段AB的垂直平分线，或作∠ABD＝∠A．
在边AC上①找出所需要的点D，则直线BD即为所求（6分）
猜想：∠B＝3∠A（8分）
②验证：如在△ABC中，∠A＝24°，∠B＝72°，有∠B＝3∠A，此时就能找到一条把△ABC
③恰好分割成两个等腰三角形的直线．（9分）．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的作法以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理的
应用，根据垂直平分线的性质作出图形是解决问题的关键．
24．【分析】当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分
∠BCA，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝
∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF，而OA＝OC，那么可证四边形AECF是平
行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四
边形AECF是矩形．
【解答】解：当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
第15页（共18页）∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定、矩形的判定．解
题的关键是利用对角线互相平分的四边形是平行四边形开证明四边形AECF是平行四边
形，并证明∠ECF是90°．
25．【分析】（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函
数解析式为y＝ax2，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；
（2）延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求；
（3）首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为y＝kx+b，利用待定
系数法即可求得直线BD的函数解析式，把x＝0代入y＝﹣x+4，即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y＝ax2，
由题意知点A的坐标为（4，8）．
∵点A在抛物线上，
第16页（共18页）∴8＝a×42，
解得a＝ ，
∴所求抛物线的函数解析式为：y＝ x2；
（2）找法：
延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A、D关于OC对称．
连接BD交OC于点P，则点P即为所求．
（3）由题意知点B的横坐标为2，
∵点B在抛物线上，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A的坐标为（4，8），
∴点D的坐标为（﹣4，8），
设直线BD的函数解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得：k＝﹣1，b＝4．
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+4，
把x＝0代入y＝﹣x+4，得点P的坐标为（0，4），
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模
型，然后根据二次函数解题．
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