2024 年中考押题预测卷 02【云南卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.下列实数中，是负数的是( )
A. −2 B. 0 C. √2 D. 5
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正数和负数．根据负数的定义逐一判断即可．
【解答】
解：A、−2是负数，故此选项符合题意；
B、0是有理数，既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；
C、√2是正无理数，故此选项不符合题意；
D、5是正数，故此选项不符合题意．
2.2024年春节假期，珠溪古镇持续火爆，成为游客出行热门目的地。截至2月17日，珠溪古镇春节假期预
估接待游客突破50万人次，实现旅游综合营收10200000元，数据10200000用科学记数法表示为( )
A. 0.102×108 B. 1.02×106 C. 1.02×109 D. 1.02×107
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是科学记数法有关知识，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数
【解答】
解：10200000=1.02×107
3.如图，CD//EF，直线AG与直线CE，EF分别相交于点G，H，GM平分∠CGH交EF于点M.若
∠GME=150°，则∠GHF的度数为( )
A. 100° B. 80° C. 60° D. 50°
【答案】C
【解析】解：∵CD//EF，
∴∠GME+∠CGM=180°，∠CGH=∠GHF，
∵∠GME=150°，
∴∠CGM=30°，
∵GM平分∠CGH，
∴∠CGH=2∠CGM=60°，
∴∠GHF=60°，
故选：C．
根据平行线的性质得到∠GME+∠CGM=180°，∠CGH=∠GHF，进而得出∠CGM=30°，根据角
平分线的定义求出∠CGH=60°，等量代换即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
k
4.如图，直线y=x−2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y= (k≠0)的图像在第一象限交于
x
点A，连接OA，若S ：S =1：2，则k的值为
△AOB △BOC
( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面
积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．
先 由 直 线 y=x−2与 y轴 交 于 点 C， 与 x轴 交 于 点 B， 求 出 C(0,−2)， B(2,0)， 那 么
1 1 1
S = OB⋅OC= ×2×2=2，根据S ：S =1：2，得出S = S =1，求出y =1，再
△BOC 2 2 △AOB △BOC △AOB 2 △BOC A
k
把y=1代入y=x−2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y= ，即可求出k的值．
x
【解答】
解：∵直线y=x−2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C(0,−2)，B(2,0)，
1 1
∴S = OB⋅OC= ×2×2=2，
△BOC 2 2
∵S ：S =1：2，
△AOB △BOC
1
∴S = S =1，
△AOB 2 △BOC
1
∴ ×2×y =1，
2 A
∴y =1，
A
把y=1代入y=x−2，
得1=x−2，解得x=3，
∴A(3,1)．k
∵反比例函数y= 的图象过点A，
x
∴k=3×1=3．
故选B．
5.下列运算正确的是( )
A. B.
2a+b=2ab (−2x2 ) 3=−8x5
√27+√3
C. 2√2×3√3=6√5 D. =4
√3
【答案】D
【解析】解：A.2a与b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
(−2x2
)
3=−8x6
C. 2√2×3√3=6√6，故C选项不符合题意；
√27+√3 3√3+√3 4√3
D. = = =4，故D选项符合题意．
√3 √3 √3
故选：D．
根据合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点逐项判断即可．
本题主要考查了合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关
运算法则成为解题的关键．
6.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC的中点，连接AE交BD于点F，则BF的长为( )
8 2 10
A. B. 4 C. D.
3 3 3
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB//CD，
∴△≝¿∽△BAF，
DE DF
∴ = ．
AB BF
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，AD=BC=3，
．
∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5
∵E为DC的中点，
1
∴DE= CD，
2
1
∴DE= AB，
2
DF 1
∴ = ．
BF 2
2 10
∴BF= BD= ．
3 3
故选：D．
利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解答即可得出结论．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7.点P(a+1,2−2a)在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示为( )
A.
B.C.
D.
【答案】C
【解析】解：∵点P(a+1,2−2a)在第一象限，
{ a+1>0
∴ ，
2−2a>0
解得−1<a<1，
故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定
不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.如图为某几何体的三种视图，这个几何体可以是( )A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．由三视图判
断即可．
【解答】
解：由三视图可知，这个几何体可以是：
故选：A．
9.一列单项式按以下规律排列：x，−3x2，5x3，−7x4，9x5，−11x6，13x7，…，则第2024个单项式是( )
A. −4049x2024 B. 4049x2024 C. −4047x2024 D. 4047x2024
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查数字的变化规律有关知识，分析所给的单项式可得到第 个单项式为： ，
n (−1) n+1 (2n−1)xn
即可求第2024个单项式．
【解答】
解： ，
∵x=(−1) 1+1×(2×1−1)x
，
−3x2=(−1) 2+1×(2×2−1)x2
，
5x3=(−1) 3+1×(2×3−1)x3
，
−7x4=(−1) 4+1×(2×4−1)x4
…，
第 个单项式为： ，
∴ n (−1) n+1 (2n−1)xn
第 个单项式为： ．
∴ 2024 (−1) 2024+1 (2×2024−1)x2024=−4047x2024
10.某班篮球爱好小组10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，将他们投中的次数进行统计，制成如
表：
投中次数 2 3 5 6 7 8
人数 1 2 3 2 1 1
则关于这10名队员投中次数组成的数据，下列说法错误的是( )
A. 平均数为5 B. 中位数为5 C. 众数为5 D. 方差为5
【答案】D
2+3×2+5×3+6×2+7+8
【解析】解：这组数据的平均数为 =5，故A选项正确，不符合题意；
105+5
中位数为 =5，故B选项正确，不符合题意；
2
众数为5，故C选项正确，不符合题意；
1
方差为 ×[(2−5) 2+2×(3−5) 2+3×(5−5) 2+2×(6−5) 2+(7−5) 2+(8−5) 2 ]=3.2，故D选项错误，
10
符合题意；
故选：D．
依次根据加权平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数、加权平均数和方差的定义．
11.在一幅长60cm，宽40cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如
果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A. (60+x)(40+2x)=2816 B. (60+x)(40+x)=2816
C. (60+2x)(40+x)=2816 D. (60+2x)(40+2x)=2816
【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方
程．
根据题意可知：长方形挂图的长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm；则运用长方形的面积公式列方程即
可．
【解答】
解：挂图长为(60+2x)cm，宽为(40+2x)cm，所以根据长方形的面积公式可得：(60+2x)(40+2x)=2816．
故选：D．
12.以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形及轴对称图形有关知识，利用中心对称图形及轴对称图形定义进行判断即可．
【解答】
解：矩形是中心对称图形及轴对称图形．
故选C．
S
13.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则 ▵ADE =
S
四 边 形DBCE
1 1 2 1
A. B. C. D.
2 3 3 4
【答案】B
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点
∴DE//BC，DE：BC=1：2
∴△ADE∽△ABC
DE 1 1
∴S ：S =( ) 2=( ) 2=
△ADE △ABC BC 2 4
∴S ：S =1：3
△ADE 四 边 形DBCE
故选：B．
根据已知得DE是三角形的中位线，从而可得到△ADE∽△ABC，根据面积比是相似比的平方可求得其面
积比，从而不难求得S ：S
△ADE 四 边 形DBCE本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．
√x+2
14.在函数y= 中，自变量x的取值范围是( )
x−1
A. x≥−2且x≠1 B. x≤2且x≠1
C. x≠1 D. x≤−2
【答案】A
【解析】解：由题意得，x+2≥0且x−1≠0，
解得x≥−2且x≠1．
故选：A．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15.如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m,F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O
与点E,EF=3m，则⊙O直径的长是
( )
2 5 4 10
A. m B. m C. m D. m
3 3 3 3
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理，垂径定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，垂径定理的计算，
根据已知及勾股定理，垂径定理的计算，求出⊙O直径。
【解答】解：如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF=FD．
∵CD=2，
∴CF=1，
设OC=x，则OF=3−x，
在Rt△COF中，根据勾股定理，
得12+(3−x) 2=x2．
5
解得x= ，
3
10
∴⊙O的直径为 ．
3
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16.若 与 互为相反数，则 ____________；
|a−b+1| √a+2b+4 (a−b) 2021=【答案】−1
【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值和算术平方根非负数的性质，二元一次方程组的解法，掌握绝对值和算术平方根和
为零，
就是绝对值和算术平方根都等于零解题关键．
根据了绝对值和算术平方根非负数的性质列出二元一次方程组，求出a，b的值，再代入求值即可．
【解答】
解：∵|a−b+1|与√a+2b+4互为相反数，
|a−b+1|≥0，√a+2b+4≥0，
{a−b+1=0
∴ ，
a+2b+4=0
{a= −2
解得：
b= −1
把a，b的值代入得：
．
(a−b) 2021=(−2+1) 2021=(−1) 2021=−1
故答案为−1．
17.因式分解：4a−4a3=______．
【答案】4a(1+a)(1−a)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握 是解题的关键．先提取公因式，
a2−b2=(a+b)(a−b)
再用平方差公式分解因式即可得出答案．
【解答】
解：原式
=4a(1−a2
)
=4a(1+a)(1−a)．
故答案为4a(1+a)(1−a)．
18.某工厂生产某种产品，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法抽取这个月生产的该产品若干
件进行检测，并将检测结果绘制成如图所示的频数分布直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品，则估计该月该产品的合格产品约为______件．
【答案】9840
【解析】【分析】
用4月份的产量乘样本中合格产品数占样本总数的比即可．
【解答】
132+160+200
解：估计该月该产品的合格产品约为：10000× ×100%=9840(件)．
8+132+160+200
故答案为：9840．
【点睛】
本题考查频数分布直方图，掌握频数分布直方图的意义是解决问题的关键．
19.如图，已知正五边形的边长为2，则阴影部分的面积为______．
3
【答案】 π
2
(5−2)×180°
【解析】解：由于正五边形的每一个内角的度数为： =108°，
5108π×12 3
所以阴影部分的面积S=5S =5× = π，
扇形 360 2
3
故答案为： π.
2
求出正五边形的每一个内角度数，再根据扇形面积的计算方法求出一个扇形面积，再求出5个扇形面积即
可．
本题考查正多边形和圆，掌握扇形面积以及正五边形内角的计算方法是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20.(本小题7分)
1 m
化简求值：(1− )÷ ，并从−1，0，1中任意选一个数代入求值．
m+1 m2+2m+1
m (m+1) 2
【答案】解：原式= ⋅
m+1 m
=m+1，
∵m≠−1，m≠0，
∴m=1，
当m=1时，原式=1+1=2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，确定出m的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.(本小题6分)
如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.求证：AB=AC．
【答案】证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在Rt△BDC和Rt△CEB中，{BE=CD
∵ ，
BC=CB
∴Rt△BDC≌Rt△CEB(HL)，
∴∠BCD=∠CBE，
∴AB=AC．
【 解 析 】 由 三 角 形 的 高 得 出∠BDC=∠CEB=90°， 根 据 “ HL” 证 Rt△BDC≌ Rt△CEB得
∠BCD=∠CBE，利用“等角对等边”可得答案．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的
关键．
22.(本小题7分)
2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次
用3000元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了20%，
同样用3000元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？
【答案】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是x元，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的
进价是(1+20%)x元，由题意可得，
3000 3000
= −10，
(1+20%)x x
解得：x=50，
经检验x=50是方程的解，
答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是50元．
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，根据数量等量关系列式求解即可得到答案；
23.(本小题6分)
2024年2月27日，第31届中国兰花博览会在云南省维西傈僳族自治县开幕.开幕式当天，数千盆或端庄俊
秀、或淡雅高洁的珍品兰花竞相绽放，吸引了不少市民及兰花爱好者前来赏兰、品兰、购兰.小智和小刚二
人都想去这次博览会开开眼界，但只有一张门票，所以二人决定通过抽卡游戏确定谁去参会.在一个不透明
的盒子中装四张完全相同的卡片，把它们分别标号为1，2，3，4.小智先随机取出一张卡片记录下号码后
不放回，小刚再随机取出一张卡片记录下号码，然后比较两人各自记录下的号码，谁的号码大就由谁去参
会．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数;
(2)请通过计算判断这个游戏是否公平，并说明理由．【答案】解：(1)由题意列表如下：
小刚小智 1 2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
如表所示，两人取卡共12种等可能出现的结果；
(2)由(1)中表可知，共有12种等可能的结果，其中小智的号码大于小刚的号码的情况为(2,1)，(3,1)，
(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共6种结果，
6 1
小智的号码大的概率 P1= = ;
12 2
；
同理，小智的号码小于小刚的号码的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种结果，
6 1
∴小智的号码小概率为P2= = ，
12 2
∵P❑ =P❑ ，
1 2
∴这个游戏是公平的．
【解析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数；(1)首先根据题意列
表，即可求得所有等可能的结果；
(2)由(1)中所列的表，利用概率公式即可求得两人赢的概率，比较概率大小，即可知这个游戏规则对游戏
双方是否公平．
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB，CD的延长线交于点E，F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
1
(2)若AC⊥EF，sin∠FAD= ，CD=2，求EF的长．
3
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB//CD，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BOE与△DOF中，
{∠BEO=∠DFO
∠BOE=∠DOF，
OB=OD
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵四边形AECF是平行四边形，EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴EF=2OF，AF=FC，
FD 1
∵sin∠FAD= = ，
AF 3
∴AF=3FD，
∵CD=2，AF=FC=FD+CD，
∴3FD=FD+2，
∴FD=1，
∴AF=FC=3，
，
∴AD=√AF2−FD2=√32−12=2√2
，
∴AC=√AD2+CD2=√8+4=2√31
∴OC= AC=√3，
2
∵∠COF=∠ADC=90°，
∴∠CFO=90°−∠FCO=∠CAD，
∴tan∠CFO=tan∠CAD，
OC CD
∴ = ，
OF AD
√3 2
∴ = ，
OF 2√2
∴OF=√6，
∴EF=2OF=2√6．
【解析】(1)证明△BOE≌△DOF，可得OE=OF，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；
(2)首先证明四边形AECF是菱形，再根据锐角三角函数求出FD=1，再证明tan∠CFO=tan∠CAD，
可以求出OF，进而可以求EF的长．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，证明
△BOE≌△DOF是解决问题的关键．
25.(本小题8分)
加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2024年计划将其中
1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m2 )与其种植面积x(
单位：m2 )的函数关系如图所示，其中200≤x≤700，乙种蔬菜的种植成本为50元/m2．(1)当x为多少m2时，y是35元/m2;
(2)设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小?
【答案】解： 当 时，设甲种蔬菜种植成本 单位；元 与其种植面积 单位： 的
(1) 200≤x≤600 y( /m2 ) x( m2)
函数关系式为y=kx+b，
把(200,20)，(600,40)代入，
{200k+b=20
得： ，
600k+b=40
{ 1
k=
解得： 20，
b=10
1
∴y= x+10，
20
当600<x≤700时，y=40，
1
∴当y=35时，35= x+10，
20
解得：x=500，
∴当x 为多少500m2 时，y是35元/m2 ；
1 1
(2)当200≤x≤600时，W =x( x+10)+50(1000−x)= (x−400) 2+42000，
20 20
1
∵ >0，
20
∴抛物线开口向上，
∴当x=400时，W有最小值，最小值为42000，
此时，1000−x=1000−400=600，
当600≤x≤700时，W =40x+50(1000−x)=−10x+50000，
∵−10<0，
∴当x=700时，W有最小值为：−10×700+50000=43000，
∵42000<43000，
∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小；【解析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键：(1)用待定系数法正确求出
一次函数关系式；(2)找出数量关系，正确求出二次函数关系式．
(1)当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600<x≤700时，y=40，再求出当y=35
时x的值，即可得出结论；
1
(2)当200≤x≤600时，W = (x−400) 2+42000，由二次函数的性质得当x=400时，W有最小值，最
20
小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W =−10x+50000，由一次函数的性质得当x=700时，W有
最小值为43000，然后比较即可；
26.(本小题8分)
如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，延长BE到点C，连接DE，AE，AC，且
∠EAC=∠D．
(1)求证：AC为⊙O的切线；
(2)若BO=CE=4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：如图，连接OA，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO，
⌢ ⌢ ，
∵AE=AE
∴∠OBA=∠D，
∴∠BAO=∠D，
∵∠EAC=∠D，
∴∠BAO=∠EAC，
∵BE是直径，
∴∠BAE=90∘，∴∠BAO+∠EAO=90∘，
∴∠EAC+∠EAO=90∘，
∴∠OAC=90∘，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
(2)解：∵BO=CE=4，
∴OA=OE=CE=4，
∴OC=8，
∵∠OAC=90∘，
， ，
∴AE=OE=4 AC=√OC2−OA2=√82−42=4√3
∴OA=OE=AE，
∴▵AOE是等边三角形，
∴∠AOE=60∘，
S =S −S
阴影 ▵OAC 扇 形AOE
1 60π×42
= AC⋅OA−
2 360
1 8
= ×4×4√3− π
2 3
8
=8√3− π；
3
【解析】【分析】本题考查了切线的判定，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；
(1)连接OA，由圆的基本性质得∠OBA=∠D，结合等腰三角形的性质得∠BAO=∠EAC，由直径所对
的圆周角是直角得∠BAO+∠EAO=90∘，即可求解；
由勾股定理得 ，由 即可求解；
(2) AC=√OC2−OA2=4√3 S =S −S
阴影 ▵OAC 扇 形AOE
掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关
键．
27.(本小题12分)
如图，已知二次函数 y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A(−1,0)，C(4,0)，
AC=BC．
(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AB上一动点(不与A，B重合)，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最
大时，求点E的坐标及S ；
△ABF
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所
有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，C(4,0)，
∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，
∴B(4,5)，
把A(−1,0)和B(4,5)代入二次函数y=x2+bx+c中得：
{ 1−b+c=0 {b=−2
，解得： ，
16+4b+c=5 c=−3
∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3；
(2)如图1，∵直线AB经过点A(−1,0)，B(4,5)，
设直线AB的解析式为y=kx+b′，
{−k+b′=0 {k=1
∴ ，解得： ,
4k+b′=5 b′=1
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵二次函数y=x2−2x−3，∴设点E(t,t+1)，则F(t,t2−2t−3)，
3 25
∴EF=(t+1)−(t2−2t−3)=−(t−
)
2+
，
2 4
3 25
∴当t= 时，EF的最大值为 ，
2 4
3 5
∴点E的坐标为( , )，
2 2
1 1 25 125
∴S = EF⋅(x −x )= × ×(4+1)= ．
△ABF 2 B A 2 4 8
(3)存在，
y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴设P(1,m)，
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴(4−1) 2+(m−5) 2+(4+1) 2+52=(1+1) 2+m2，
解得：m=8，
∴P(1,8)；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，∴(1+1) 2+m2+(4+1) 2+52=(4−1) 2+(m−5) 2，
解得：m=−2，
∴P(1,−2)；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴(1+1) 2+m2+(4−1) 2+(m−5) 2=(4+1) 2+52，
解得：m=6或−1，
∴P(1,6)或(1,−1)；
综上，点P的坐标为(1,8)或(1,−2)或(1,6)或(1,−1)．
【解析】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数和一次函数图
象上点的坐标的特征，三角形面积公式，二次函数的性质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合
及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．
(1)先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求
得b、c的值；
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，则可得到 与 的函数关系式，利用
(2) E (x,x+1) F F(x,x2−2x−3) EF x
配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标，最后根据EF的最大值可得△ABF的面积；
(3)存在，设P(1,m)，分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方
程，解方程即可．
