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2024 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如图所示，水平放置的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用空间思维结合几何体左视图的看法找出正确答案即可.
【详解】该几何体从左面看可得到一个带有虚线的矩形.
故选：D.
【点睛】此题考查了学生对几何体三视图的理解，掌握几何体三视图的画法是解题的关键.
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖
总人口约为4500000000人，将这个数用科学计数法表示为（ ）
A．0.45×1010 B．4.5×1010 C．4.5×109 D．4.5×108【答案】C
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为
a×10n的形式，其中 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】4500000000=4.5×109．
故选：C．
3．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置．若∠1=20°，则∠2的度数为
（ ）
A．20° B．30° C． D．25°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，过点C作CD∥m，则CD∥m∥n，根据两直线平行，同位角相等，
得出∠BCD=∠1=20°，进而得出∠ACD=∠BCA−∠BCD=25°，最后根据两直线平行，内错角相
等，得出∠2=∠ACD=25°．
【详解】解：过点C作CD∥m，
∵m∥n，
∴CD∥m∥n，
∵∠1=20°，
∴∠BCD=∠1=20°，
∵∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCA−∠BCD=25°，
∴∠2=∠ACD=25°，
故选：D．
4．有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）A．a−b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．|a|＜|b|
【答案】B
【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式
子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．
【详解】∵a＜−1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，
∴a−b＜0，a+b＜0，ab＜0，
故A，C，D都是错误的，B是正确的，
故选B．
5．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的图案（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知只有D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A．(a2) 3 =a6 B．a6÷a2=a3 C．a3 ⋅a4=a12 D．a2−a=a
【答案】A
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A．(a2) 3 =a2×3=a6，故A选项计算正确，符合题意；
B．a6÷a2=a6−2=a4，故B选项计算错误，不合题意；
C．a3 ⋅a4=a3+4=a7，故C选项计算错误，不合题意；D．a2与−a不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，
底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
−2
7．已知反比例函数y= 的图象上有点 ，则关于y ,y ,y 大小关系正确的是
x 1 2 3
（ ）
A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 1 2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，画出函数图象，即可求解．
【详解】解：函数图象如下：
点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，
故y >y ；
1 2
点C在y轴的左侧，函数值y为正，
故y >y >y ，
3 1 2
故选：D．
8．某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九（1）班的小华，小丽，小军，小明积
极报名参赛，从他们4人中选2名参赛，选中小华和小军的概率是（ ）
1 1
A． B． C． D．
6 2
【答案】B
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法
是解题的关键．
【详解】解：设小华、小丽、小军、小明分别用 表示，
画树状图如下：由树状图可得，共有12种等结果，其中选中小华和小军的有2种，
2 1
∴选中小华和小军的概率是 = ，
12 6
故选：B．
9．如图，四边形ABCD是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD于点E；
1
②分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线 交AD于点G，连接
2
，若∠BCG=30°，菱形ABCD的面积为2√3，则AE=（ ）
A．√2 B．4−√6 C．3−√2 D．2
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点D作
DH⊥BC交BC于点 ，根据矩形的判定和性质，则四边形GBHD是矩形，则GD=BH，GB=DH；根
BG √3
据菱形的性质，则BG×BC=2√3，根据tan∠BCG= = ，求出BG，BC；根据勾股定理求出 ，
BC 3
推出BH，根据AE=AD−≥−GD，即可．
【详解】由作图可知， ，FB⊥BC，EG=GD，
过点D作DH⊥BC交BC于点 ，
∴四边形GBHD是矩形，
∴GD=BH，GB=DH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=DC=AD=BC，BG×BC=2√3，
∵∠BCG=30°，BG √3
∴tan∠BCG= = ，
BC 3
√3
∴BG= BC，
3
√3
∴ BC×BC=2√3，
3
解得：BC=√6，
∴BG=√2，
∴DH=√2，
∴HC=√DC2−DH2=2，
∴BH=√6−2，
∴EG=GD=√6−2，
∴AE=AD−≥−GD=√6−2(√6−2)=4−√6．
故选：B．
10．定义：在平面直角坐标系中，点P(x,y)的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的勾股值，记
[P]=|x|+|y|．若抛物线y=ax2+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，
令 ，则t的取值范围为（ ）
A． B．2020≤t≤2021 C．2021≤t≤2022 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会
构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
先联立并转化为一元二次方程，利用根的判别式得到4a=(b−1) 2，再表示交点C的坐标，利用2≤[C]≤4
确定−1≤b≤0，最后把 转化为t=(b+1) 2+2022，求解即可．{ y=x
【详解】由题意得方程组 只有一组实数解，
y=ax2+bx+1
消去y得ax2+(b−1)x+1=0，
由题意△=0，
∴(b−1) 2−4a=0，
∴4a=(b−1) 2，
∴用方程可以化为(b−1) 2x2+4(b−1)x+4=0，
2
∴x =x = ，
1 2 1−b
2 2
∴C( , )，
1−b 1−b
∵且2≤[C]≤4，
2
∴ 或−2≤ ≤−1，
1−b
解得：−1≤b≤0或2≤b≤3，
∵点C在第一象限，
∴−1≤b≤0，
∵
=2b2−(b−1) 2+2024
=b2+2b+2023
=(b+1) 2+2022
∵−1≤b≤0
∴ ．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．因式分解：x2﹣3x= ．
【答案】x（x﹣3）
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
12．如图，飞镖游戏板由含大小相等的等腰直角三角形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中
黑色区域的概率是 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，注意数量之比就是几何概率，因
此求出黑色三角形的数量与三角形的总数量之比即可．
【详解】因为飞镖游戏板由大小相等的等腰直角三角形格子构成．
所以黑色三角形有4个，总三角形有8个．
1
则黑色三角形的数量与三角形的总数量之比为：4÷8= ．
2
1
即小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是： ．
2
1
故答案为： ．
2
13．若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k<1
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2) 2−4k>0，
∴k<1；
故答案为：k<1．
14．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影
部分的面积为 ．【答案】12
【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键．
根据图形移动可求出A'B'，B'C的长，根据几何图形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长B'C=6−2=4，宽A'C=4−1=3，
∴阴影部分的面积 ，
故答案为：12．
15．澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景．每天早
晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为600m，约定先到终点的
原地休息等待另一个人．已知小红先出发20s，如图两人之间的距离y(m)与父亲出发的时间x(s)的函数关
系如图所示，父女两人之间的距离为80m时，父亲出发的时间x为 s．
【答案】120或240
【分析】本题考查一次函数的实际应用，通读题干看清楚两个变量分别代表的实际意义，理解图中所给的
关键点代表的实际意义，结合问题及图象用一次函数表达式或线段图列式计算．考查一次函数的应用及分
类讨论的数学思想方法．由路程除以时间可得小红的速度为2m/s，父亲的速度为3m/s；父亲追上小红所
需时间为40s，即得A的坐标为(40,0)，求出B坐标是(200,160)，C的坐标为(280,0)，用待定系数法可
得BC所在直线的解析式为y=−2x+560；求出直线AB解析式为y=x−40，分别令y=80，算出x的值即
可作答．
【详解】解：由函数图象可得：小红的速度为40÷20=2(m/s)，父亲的速度为600÷200=3(m/s)，
40
∵父亲追上小红所需时间为 =40(s)，
3−2
∴A的坐标为(40,0)，
当父亲出发的时间x=200s时，
两人之间的距离y=200×3−(200+20)×2=160(m)，∴B坐标是(200,160)，
600
小红到达终点所需时间为 =300(s)，300−20=280，
2
∴C的坐标为(280,0)，
设BC所在直线的解析式为 ，把B(200,160)，C(280,0)代入得：
{200k+b=160
，
280k+b=0
{k=−2
解得 ，
b=560
∴BC所在直线的解析式为y=−2x+560；
设直线AB解析式为y=mx+n
由 ，B(200,160)可得
{ 0=40m+n
160=200m+n
{ m=1
解得
n=−40
∴直线AB解析式为y=x−40，
如图：
把y=80代入y=x−40，得出x=120；
把y=80代入y=−2x+560，得出80=−2x+560，解得x=240
故答案为：120或240
16．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、CD边上的点，且EF的长为2，点G
为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．【答案】4√2−1/−1+4√2
【分析】作点A关于BC的对称点H，连接AP，HP， ，DG，DH，可知当H、P、G、D共线时，
PA+PG最小，求出DH、DG长即可．
【详解】解：作点A关于BC的对称点H，连接AP，HP， ，DG，DH，GH，
∵DH−DG≤GH≤HP+PG=PA+PG，
∴当H、P、G、D共线时，PA+PG最小，
∵AB=2，AD=4，
∴AH=4，DH=√42+42=4√2，
∵EF的长为2，点G为EF的中点，
∴GD=1，
∴4√2−1≤AP+PG，
故答案为：4√2−1．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，解题关键利用轴对称和直角三角形的性质确定最短路径．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
|
−
√2|
−
(1) −1
+(π−3.14) 0−cos45°．
2 3【答案】−2．
【分析】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，先化简绝对
值，负整数指数幂的运算，零指数幂运算和三角函数值的运算，再进行实数的运用即可，熟练掌握运用法
则是解题的关键．
【详解】
√2 √2
解：原式= −3+1− ，
2 2
．
{2(x+2)>x+3①
18．（6分）解不等式组： x x+2 ，并写出它的所有整数解．
< ②
3 5
【答案】−1−1，
解不等式②，得 ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，
原不等式组的解集是−11.8
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．（8分）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷
调查，形成了如下调查报告：
我市某校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
你日常家务劳动的参与程度是（单选）
A．天天参与；
第一项 B．经常参与；
C．偶尔参与；
D．几乎不参与．
数据的收集、整理与描
你日常参与的家务劳动项目是（可多选）
述
E．扫地抹桌；
第二项 F．厨房帮厨；
G．整理房间；
H．洗晒衣服．
第三项 … …
调查结论 …
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)参与本次抽样调查的学生有__________人；
(2)若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应
扇形的圆心角度数；
(3)估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
(4)如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议．
【答案】(1)200
(2)64.8°
(3)1494人
(4)请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可）
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体和扇形的圆心角度数．（1）把第一项的条形统计图中各组数据相加得到调查的总人数；
（2）用360°乘以A组人数所占的百分比即可；
（3）用1800乘以“整理房间”的人数所占的百分比即可；
（4）可从日常参与的家务劳动项目少的方面倡议即可．
【详解】（1）解：36+90+62+12=200
故参与本次抽样调查的学生有200人，
故答案为：200．
36
（2）360°× =64.8°
200
故扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数为64.8°．
（3）1800×83%=1494（人），
该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494人．
（4）请各位同学们在家可以多帮助父母扫地抹桌和洗晾衣服等力家务事（合理即可）
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，AC=CD，
∠A=30°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
8
(2)6√3− π．
3
【分析】（1）连接OC，利用等边对等角求得∠OCA=30°，∠D=30°，利用三角形内角和定理求得
∠OCD=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）利用勾股定理和直角三角形的性质分别求出CD、BE、DE及∠COD，再根据
S =S −S −S 即可求解；
阴影 △OCD △BED 扇 形OBC
此题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，不规则图形的面积计算，正确作出辅助线
是解题的关键．【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∵AC=CD，
∴∠ADC=∠OAC=30°，
在△ACD中，由三角形内角和得，
∠OCD=180°−∠CAD−∠ACO−∠ADC=180°−30°−30°−30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得OC⊥CD，
∴△OCD为直角三角形，
∵OC=4，∠ADC=30°，
∴ ，∠COD=60°，BD=OD−OB=8−4=4，
∴CD=√OD2−OC2=√82−42=4√3，
∵BE⊥ED，∠ADC=30°，
1
∴BE= BD=2，
2
∴ED=√BD2−BE2=√42−22=2√3，
∴S =S −S −S
阴影 △OCD △BED 扇 形OBC
4×4√3 2×2√3 60π×42
= − − ，
2 2 360
8
=6√3− π，
3
8
∴图中阴影部分的面积6√3− π．
323．（10分）某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个
甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利
润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
(2)①W =−m+600；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数
解析式和分式方程．
（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的
个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝
甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出
相应的方案．
【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x+2)元，
1000 1200
根据题意得： = ，
x x+2
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
此时x+2=12，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
（2）解：①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200−m)个，根据题意得：
W =(12−10)m+(15−12)(200−m)=2m+600−3m=−m+600，
∴W与m的函数关系式为W =−m+600；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，400
解得m≥
3
400
∴ ≤m≤200（m为正整数）；
3
由①知，W =−m+600，
∵−1<0，
∴当m=134时，W有最大值，最大值为466，
此时200−134=66，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
1
24．（10分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍？
2
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存
在”或“不存在”）．
(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同
{x+ y=10
学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+ y=10，xy=12，联立 得
xy=12
x²−10x+12=0，再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：
12
l ：y=−x+10，l ：y= 则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧
1 2 x
的思路做出判断并说明理由．
1
(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的 倍？
2
若存在，用图象表达；
(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值
范围．【答案】(1)不存在
(2)存在，见详解
(3)不存在
24
(4)存在，k≥
25
【分析】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比
例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式Δ的值可以快速得到结果．
（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根
据图象得出结论；
（3）结合（1）中结果，画出图象表达；
（4）利用Δ求k的取值范围．
【详解】（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和2√2，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：
设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ，
{x+ y=10
联立 ，得：x2−10x+12=0，
xy=12
∴Δ=(−10) 2−4×1×12>0
∴此方程有两个不相等的解，
∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：
12
从图象看来，函数 和函数y= 图象在第一象限有两个交点，
x
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ，3
从图象看来，函数 和函数y= 图象在第一象限没有交点，
x
1
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的 倍．
2
（4）设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ，
{x+ y=5k
联立 ，得：
xy=6k
设方程的两根为x ,x ，
1 2
当Δ≥0时，25k2−24k≥0，
24
解得：k≥ 或k≤0 (舍)，
25
24
∴k≥ 时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
25
4
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x−4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线
3
5
y= x2+bx+c恰好经过这两点．
18(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
3
②若点P是y轴上的任一点，求 BP+EP取最小值时，点P的坐标．
5
5 1
【答案】(1)y= x2− x−4
18 2
3
(2)①点E在抛物线上；②P（0，− ）
2
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函
数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
AO HP 3 3
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，sin∠ABO= = = ，则HP= BP，得
AB BP 5 5
3
BP＋EP＝HP＋PE，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
5
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
4
当y=0时，− x−4=0，
3
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
5
把A、B代入抛物线y= x2+bx+c，
18
{ 5 ×(−3) 2−3b+c=0
得 18 ，
c=−4
{ 1
b=−
∴ 2，
c=−4
5 1
∴抛物线解析式为y= x2− x−4．
18 2
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
5 1
当x=3时，y= ×62− ×6−4=3，
18 2
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
AO HP 3
∵sin∠ABO= = = ，
AB BP 5
3
∴HP= BP，
5
3
∴ BP＋EP＝HP＋PE，
5
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
PG AO
∴ = ，
EG BO
PG 3
∴ = ，
6 4
9
∴PG＝ ，
29 3
∴OP＝ −3＝ ，
2 2
3
∴P（0，− ）．
2
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之
间、线段最短等知识，利用三角函数将 转化为HP的长是解题的关键．
26．（12分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点 E与正方形ABCD的顶点 A
重合，三角扳的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
(1)求证： EF=EG；
(2)如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1） 中的结论
是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由：
(3)如图3， 将（2） 中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条
EF
件不变，若 AB=2，BC=4，求 的值．
EG
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)2
【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，
注意数形结合思想的应用．
（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠≝+∠BEF=90°，可得∠≝=∠GEB，又由正方形的性质，可利用
ASA证得△FED≌△GEB，则问题得证；
（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为 、P，然后利用ASA证得△FEP≌△GEH，则问
题得证；
（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得
△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】（1）证明：正方形ABCD中，
ED=EB，∠BED=∠D=∠EBC=90°
∵∠GEF=90°
∴∠GEB+∠BEF=90°，∠≝+∠BEF=90°，
，
在△FED和△GEB中，
{∠≝=∠GEB
ED=EB ，
∠D=∠EBG
∴△FED≌△GEB(ASA)，
∴EF=EG；
（2）解：成立．证明：
如图，过点E作EH⊥BC于 ，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
，∠EPF=∠EHG=90°
，∠PEF+∠HEF=90°，
，
∴Rt△FEP≌Rt△GEH，
∴EF=EG；
（3）如图，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，则 ，
∴EM∥AB，EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，
NE CE EM CE
= ， = ，
AD CA AB CA
NE EM EN AD CB 4
= ，即 = = = =2，
AD AB EM AB AB 2
，
∴∠GEM=∠FEN，
，
∴△GME∽△FNE，
EF EN
= ，
EG EM
EF
=2．
EG
