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Born to win
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) _____________.
(2) 已知 ,则 _____________.
(3) 设方程 确定 为 的函数,则 _____________.
(4) 设 其中 则 _____________.
(5) 设随机变量 的概率密度为
以 表示对 的三次独立重复观察中事件 出现的次数,则
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 曲线 的渐近线有 ( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
(2) 设常数 ,而级数 收敛,则级数 ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关
(3) 设 是 矩阵, 是 阶可逆矩阵,矩阵 的秩为 ,矩阵 的秩为 ,则
( )
(A) (B)
(C) (D) 与 的关系由 而定Born to win
(4) 设 ,则 ( )
(A) 事件 和 互不相容 (B) 事件 和 相互对立
(C) 事件 和 互不独立 (D) 事件 和 相互独立
(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本, 是样本均值,记
则服从自由度为 的 分布的随机变量是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
计算二重积分 其中 .
四、(本题满分5分)
设函数 满足条件 求广义积分 .
五、(本题满分5分)
已知 ,求 .
六、(本题满分5分)
设函数 可导,且 ,求 .
七、(本题满分8分)
已知曲线 与曲线 在点 处有公共切线,求:
(1) 常数 及切点 ；Born to win
(2) 两曲线与 轴围成的平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积 .
八、(本题满分6分)
假设 在 上连续, 在 内存在且大于零,记
,
证明 在 内单调增加.
九、(本题满分11分)
设线性方程组
(1) 证明:若 两两不相等,则此线性方程组无解；
(2) 设 ,且已知 是该方程组的两个解,其中
写出此方程组的通解.
十、(本题满分8分)
设 有三个线性无关的特征向量,求 和 应满足的条件.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量 相互独立,且同分布
,
求行列式 的概率分布.Born to win
十二、(本题满分8分)
假设由自动线加工的某种零件的内径 (毫米)服从正态分布 ,内径小于10或
大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销
售利润 (单位:元)与销售零件的内径 有如下关系:
问平均内径 取何值时,销售一个零件的平均利润最大?Born to win
1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为
0；被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
原式
(2)【答案】
【解析】根据导数的定义,有 .
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式,从而求得极限值.由于
所以 原式 .
(3)【答案】
【解析】将方程 看成关于 的恒等式,即 看作 的函数.
方程两边对 求导,得
.
【相关知识点】两函数乘积的求导公式： .Born to win
(4)【答案】
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式 ,
且
所以,本题对 分块后可得 .
(5)【答案】
【解析】已知随机变量 的概率密度,所以概率 ,求得二项分
布的概率参数后,故 .
由二项分布的概率计算公式,所求概率为 .
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：Born to win
若 ,则 , ,
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(B)
【解析】本题是关于求渐近线的问题.
由于 ,
故 为该曲线的一条水平渐近线.
又 .
故 为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.
故本题应选(B).
【相关知识点】水平渐近线：若有 ,则 为水平渐近线；
铅直渐近线：若有 ,则 为铅直渐近线；
斜渐近线：若有 存在且不为 ,则 为斜渐
近线.
(2)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
,
(第一个不等式是由 得到的.)
又 收敛, 收敛,(此为 级数： 当 时收敛；当 时发散.)
所以 收敛,由比较判别法,得 收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(3)【答案】(C)
【解析】由公式 ,若 可逆,则
.Born to win
从而 ,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩,所以选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】事实上,当 时, 是事件 与 独立的充分必要
条件,证明如下：
若 ,则
, ,
,
由独立的定义,即得 与 相互独立.
若 与 相互独立,直接应用乘法公式可以证明 .
.
由于事件 的发生与否不影响事件 发生的概率,直观上可以判断 和 相互独立.
所以本题选(D).
(5)【答案】(B)
【解析】由于 均服从正态分布 ,根据抽样分布知识与 分布的应
用模式可知
, 其中 ,
,
即 .
因为 分布的典型模式是:设 , ,且 相互独立,则随机变量
服从自由度为 的 分布,记作 .
因此应选(B).
三、(本题满分6分)Born to win
【解析】方法1：由 ,配完全方得 .
令 ,引入极坐标系 ,则区域为
.
故
.
方法2：由 ,配完全方得 .
引入坐标轴平移变换： 则在新的直角坐标系中区域 变为圆域
.
而 ,则有 ,代入即得
.
由于区域 关于 轴对称,被积函数 是奇函数,从而 .
同理可得 , 又 ,
故 .
四、(本题满分5分)
【解析】先解出 ,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.
方程 的特征方程为 ,解得 .Born to win
故原方程的通解为 .
由初始条件 得
因此,微分方程的特解为 .
再求积分即得
.
【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程 ：
首先写出方程 的特征方程： ,在复数域内解出两个特
征根 ；
分三种情况：
(1)两个不相等的实数根 ,则通解为
(2)两个相等的实数根 ,则通解为
(3)一对共轭复根 ,则通解为
其中 为常数.
五、(本题满分5分)
【解析】由复合函数求导法,首先求 ,由题设可得
.
再对 求偏导数即得
.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数 都在点 具有Born to win
对 及对 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数
在点 的两个偏导数存在,且有
；
.
六、(本题满分5分)
【解析】运用换元法,令 ,则
由于 为“ ”型的极限未定式,又分子分母在点 处导数都存在,运用洛必达
法则,可得
,
由导数的定义,有 原式 .
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若 , , 均一阶可导,则
.
七、(本题满分8分)
【解析】利用 在两条曲线上及两曲线在 处切线斜率相等列出三个方程,由此,
可求出 ,然后利用旋转体体积公式 求出 .
(1) 过曲线上已知点 的切线方程为 ,其中,当 存在时,
.Born to win
由 知 .由 知 .
由于两曲线在 处有公共切线,可见 ,得 .
将 分别代入两曲线方程,有 .
于是 ,
从而切点为 .
(2) 将曲线表成 是 的函数, 是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得
旋转体体积为
.
【相关知识点】由连续曲线 、直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转
一周所得的旋转体体积为： .
八、(本题满分6分)
【解析】方法1:
,
令
由
知 在 上单调上升,于是 .
故 .
所以 在 内单调增加.
方法2: .Born to win
由拉格朗日中值定理知 , .
于是有 .
由 知 在 上单调增,从而 ,故 .
于是 在 内单调增加.
【相关知识点】1.分式求导数公式：
2.拉格朗日中值定理：如果函数 满足在闭区间 上连续；在开区间 内可导,那
么在 内至少有一点 ,使等式 成立.
九、(本题满分11分)
【解析】(1)因为增广矩阵 的行列式是范德蒙行列式, 两两不相等, 则有
,
故 .而系数矩阵 的秩 ,所以方程组无解.
(2)当 时,方程组同解于
因为 ,知 .
由 ,知导出组 的基础解系含有1个解向量,即解空间的维数
为1.
由解的结构和解的性质,
是 的基础解系.
于是方程组的通解为 ,其中 为任意常数.
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：Born to win
设 是 矩阵,线性方程组 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广
矩阵 的秩,即 .(或者说, 可由 的列向量 线表出,亦
等同于 与 是等价向量组)
设 是 矩阵,线性方程组 ,则
（1） 有唯一解
（2） 有无穷多解
（3） 无解
不能由 的列向量 线表出.
2.解的结构：若 、 是对应齐次线性方程组 的基础解系,知 的通解形
式为 其中 是 的基础解系, 是 的一个特解.
3.解的性质：如果 是 的两个解,则其线性组合 仍是 的解；
如果 是 的一个解, 是 的一个解,则 仍是 的解.
十、(本题满分8分)
【解析】由 的特征方程,按照第二列展开,有
,
得到 的特征值为 .
由题设有三个线性无关的特征向量,因此, 必有两个线性无关的特征向量,
从而 .这样才能保证方程组 解空间的维数是2,
即有两个线性无关的解向量.
由初等行变换,将 第一行加到第三行上,第一行乘以 后加到第二行上有
,
由 ,得 和 必须满足条件 .
十一、(本题满分8分)Born to win
【解析】记 则 随机变量 和 相互独立且同分布,
由 与 独立可得出 ,故
.
由行列式的计算公式,随机变量 有三个可能取值：
所求的行列式的概率分布列于下表:
0 1
0.1344 0.7312 0.1344
十二、(本题满分8分)
【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有
此时数学期望依赖于参数 ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有
令 ,得 ,
即 .
解上面的方程得
得到唯一驻点 ,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而
且这个最大值是唯一的.Born to win
由题意知,当 毫米时,平均利润最大.
