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Born to win
1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1) 设 ,其中 可微,则 ___________.
(2) 若 ,则 ___________.
(3) 差分方程 的通解为___________.
(4) 若二次型 是正定的,则 的取值范围是
___________.
(5) 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分
别是来自总体 的简单随机样本,则统计量 服从___________
分布(2分),参数为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 设 ,则当 时, 是 的 ( )
(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小
(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小
(2) 若 ,在 内 ,且 ,则在
内有 ( )
(A) , (B) ,
(C) , (D) ,
(3) 设向量组 , , 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
(A) , ,
(B) , ,
(C) , ,
(D) , ,
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(4) 设 为同阶可逆矩阵,则 ( )
(A) (B) 存在可逆矩阵 ,使
(C) 存在可逆矩阵 ,使 (D) 存在可逆矩阵 和 ,使
(5) 设两个随机变量 与 相互独立且同分布：
,则下列各式中成立的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分6分)
在经济学中,称函数
为固定替代弹性生产函数,而称函数
为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).
试证明：但 时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有
.
四、(本题满分5分)
设 有连续偏导数, 和 分别由方程 和
所确定,求 .
五、(本题满分6分)
一商家销售某种商品的价格满足关系 (万元/吨), 为销售量(单位：吨),
商品的成本函数 (万元).
(1) 若每销售一吨商品,政府要征税 (万元),求该商家获最大利润时的销售量；
(2) 为何值时,政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
设函数 在 上连续、单调不减且 ,试证函数
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在 上连续且单调不减(其中 ).
七、(本题满分6分)
从点 作 轴的垂线,交抛物线 于点 ；再从 作这条抛物线的切线
与 轴交于 ,然后又从 作 轴的垂线,交抛物线于点 ,依次重复上述过程得到一系列
的点 .
(1) 求 ；
(2) 求级数 的和.
其中 为自然数,而 表示点 与 之间的距离.
八、(本题满分6分)
设函数 在 上连续,且满足方程
,
求 .
九、(本题满分6分)
设 为 阶非奇异矩阵, 为 维列向量, 为常数.记分块矩阵
，
其中 是矩阵 的伴随矩阵, 为 阶单位矩阵.
(1) 计算并化简 ；
(2) 证明：矩阵 可逆的充分必要条件是 .
十、(本题满分10分)
设三阶实对称矩阵 的特征值是1,2,3；矩阵 的属于特征值1,2的特征向量分别是
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.
(1) 求 的属于特征值3的特征向量；
(2) 求矩阵 .
十一、(本题满分7分)
假设随机变量 的绝对值不大于1； ；在事件
出现的条件下, 在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长
度成正比.试求 的分布函数 .
十二、(本题满分6分)
游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟
从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第 分钟到达底层候梯处,且 在 上均匀分
布,求该游客等候时间的数学期望.
十三、(本题满分6分)
两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中
一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.
试求两台记录仪无故障工作的总时间 的概率密度 、数学期望和方差.
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1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：
由 可知
(2)【答案】
【分析】本题中 是个常数,只要定出这个数问题就解决了.
【解析】令 ,则 ,两边从0到1作定积分得
,
解得 .
【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 表示单位圆
在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.
(3)【答案】
【解析】对应的齐次差分方程是 ,显然有不恒等于零的特解 .
因方程的右端函数 ,可设非齐次差分方程的特解有形式
,
代入方程得 由于 ,于是
可确定 ,即非齐次差分方程有一个特解是 .
从而,差分方程的通解是 .
(4)【答案】
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【解析】二次型 对应的矩阵为
.
因为 正定 的顺序主子式全大于零.又
,
故 正定 ,即 .
(5)【答案】 分布,参数为9
【解析】由 是来自总体 的简单随机样本,故 独立,且都服从正态分
布 .类似有 相互独立,且都服从正态分布 .
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即
.
其中 , .
由期望的性质, ；
由独立随机变量方差的性质, ,
故 .
因 ,故 ,所以,
.
由 分布的定义,现已有 ,将其标准化得 ,故 .
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化简有 ,即 .
【相关知识点】1.数学期望的性质： ,其中 为常
数.
2.方差的性质： 与 相互独立时, ,其中 为常
数.
3. 分布的定义：若 相互独立,且都服从标准正态分布 ,则
, .
4.若 ,则 .
5. 分布的定义：若 , , 独立,则 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)【答案】(B)
【分析】只要求出极限 就能判断出正确的选项.
【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得
故应选(B).
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶
可导,则
.
2.无穷小的比较：
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设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,
(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；
(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；
(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .
若 不存在(不为 ),称 不可比较.
(2)【答案】(C)
【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.
方法1：由 知, 的图形关于 轴对称.由在 内,
且 知, 的图形在 内单调上升且是凸的；由对称性知,在
内, 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).
方法2：由 可知 .
当 时, ,此时由题设知 , ,则
,
故应选(C).
方法3：排除法.取 ,易验证 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项
均不正确,故应选(C).
方法4：由题设可知 是一个二阶可导的偶函数,则 为奇函数, 为偶函数,又
在 内 ,则在 内 ,故应选(C).
(3)【答案】(C)
【分析】这一类题目最好把观察法与 技巧相结合.
【解析】对于(A), ,即存在一组不全为零的数1,
-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知 线性相关,排除(A)；
对于(B), ,即存在一组不全为零的数1,1,
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-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知 线性相关,排除
(B)；
对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设
有数 使得
,
整理得
已知 , , 线性无关,上式成立,当且仅当 ①
因①的系数行列式 ,故①有唯一零解,即 .故原向量组
, , 线性无关.应选(C).
或者也可以将 , , 用 线性表出,且写成矩阵形式,有
,
,则 可逆,故两向量组是等价向量组,由 , , 线性无关知 ,
, 线性无关.
(4)【答案】(D)
【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不
一定合同.
例如,若 ,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负
惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；
若 ,则
,
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.
故(A)不成立；应取(D).
方法2：因 是同阶(设为 )可逆阵,故有 而
等价 存在可逆阵 使得
(这里只需取 既有 成立),故应选(D).
或者,因 是同阶可逆阵,故 均可以通过初等行变换化成单位阵,
即存在初等阵 使得
,
从而有 ,得 .故(D)成立.
(5)【答案】(A)
【解析】因 和 相互独立, 而
,
故有：
；
；
；
；
,
故(A)正确,(B)错；
,
故(C)错；
,
故(D)错.
三、(本题满分6分.)
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【分析】要证明 ,只须证明 即可,因为 为指数函数,因
此化为对数形式便于极限计算.
【解析】因为 ,而且
所以, ,
于是, .
四、(本题满分5分.)
【解析】由题设有
. (*)
在 中,将 视为 的函数,两边对 求导,得
. (1)
在 中,将 视为 的函数,两边对 求导,得
. (2)
将(1)、(2)两式代入( )式,得
.
【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导数
存在,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数
在点 处的偏导数存在,且
.
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五、(本题满分6分)
【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系 ,它是商品
销售总收入减去成本和政府税收.正确写出 后,满足 的 即为利润最大时
的销售量,此时, 是 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额 ,再由导
数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值 .
【解析】(1)设 为总税额,则 .商品销售总收入为
.
利润函数为 .
令 ,即 ,得 .
由于 ,因此, 即为利润最大时的销售量.
(2)将 代入 ,得 .
由 ,得惟一驻点 ；由于 ,可见当 时 有极大
值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.
六、(本题满分6分)
【分析】当 时, 显然连续,故只要证 ,且当 时,
即可.
【解析】方法1：显然 时, 连续,又由洛必达法则知
,
所以 在 上连续.
当 时,
.
由于 单调不减,故 ,又 ,从而 .
于是有 .故 在 上单调不减.
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方法2：连续性证明同上.由于
可见, 在 上单调不减.
【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于
的不同处理方法.
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶
可导,则
.
七、(本题满分6分)
【分析】先作出草图,再求出曲线 在任一点 上的切线方程及其与 轴的交点,然
后依此类推,得出一系列与 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.
【解析】(1)由 ,得 .对于任意 ,
y
y x2
抛物线 在点 处的切线方程为 Q
1
.
Q
Q 2
且该切线与 轴的交点为 ,故由 可见 3
1
O
(2)由于 ,可见
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.
利用几何级数求和公式 即得
.
【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级
数求和公式即可求出它的和.
八、(本题满分6分)
【解析】将直角坐标化为极坐标,由于
,
可得 .在积分中作换元 ,又有
.
于是, 满足积分关系式 .
在上式中令 得 .利用变上限积分的求导公式,将上式两端对 求导,得
.
上述方程为关于 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得
,其中常数 待定.
由 可确定常数 ,因此, .
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一阶
可导,则
.
2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为 ,其通解公式为
,其中 为常数.
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九、(本题满分6分)
【解析】(1)由 及 ,有
(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有
,
又因 是非奇异矩阵,所以 ,故 .
由此可知 可逆的充要条件是 ,即 ,亦即 .
评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清 是1阶矩阵,是一个数.
【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设 是 阶矩阵, 是 阶矩阵,则
.
2.行列式乘积公式：设 是两个 阶矩阵,则乘积 的行列式等于 和 的行列式的乘
积,即 .
十、(本题满分10分)
【解析】(1)设 的属于 的特征向量为 ,因为实对称矩阵属于不同特征
值的特征向量相互正交,故
解上述方程组,设方程组的系数矩阵为 ,对 进行初等行变换：
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,
系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个
数为1,解得 ,即 的对应于 的特征向量为 其中 为非零常数.
(2)方法1：令 ,则有
即 ,其中 计算如下：
得 ,
.
方法2：因 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵 (对 单位
化),使 , ,其中 .
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方法3：由于矩阵 的特征值是1,2,3,特征向量依次为 ,利用分块矩阵有
.
因为 是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵 可逆.故
【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出 ,
另一个难点就是反求矩阵 .
十一、(本题满分7分)
【分析】求分布函数 实质上是求 的概率.
【解析】由 的绝对值不大于1,可得
当 时, ；
当 时, ；
又 ,则
；
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由题意 在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当
的值属于 的条件下,事件 的条件概率为：
(其中 为比例正常数),
又 ,
而 ,
所以 ,故 ；
当 时, ,
所以 .
由条件概率公式,有
,
而 ,
所以 ,
故所求的 的分布函数为 .
十二、(本题满分6分)
【解析】已知 在 上均匀分布,则其密度函数为：
设 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,
55分钟起行,则
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当 时,游客需等候时间 ；
当 时,游客需等候时间 ；
当 时,游客需等候时间 ；
当 时,游客需等候时间 (这个时间段到达,就需要
等下个整点的第５分钟,所以是 ).
故 是关于到达时刻 的函数：
由随机变量函数期望的定义,有
【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：
若随机变量 ,且 存在,则有 .
十三、(本题满分6分)
【解析】设 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总
时间为 .
由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则 的概率密度函数为
.
因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即 独立,应用
两个独立随机变量之和的卷积公式：
当 时, 的概率密度为
.
当 时, ,即
由指数分布的期望和方差的结论,有
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, ,
由期望的性质,有
,
由独立随机变量方差的性质,有
.
【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：
若 服从参数为 的指数分布,则其期望 ,方差 .
2. 与 相互独立,数学期望和方差的性质:
,
,
其中 为常数.
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