文档内容
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X版权专有侵权必究
图书在版编目（CIP）数据
张宇考研数学真题大全解.专题分册.数学一 /张
宇，高昆轮主编.一北京：北京理工大学出版社，
2022. 5（2023. 6 重印） -
ISBN 978- 7-5763 - 1321 -5
I.①张…U.①张… ②高…1H .①高等数学-研
究生-入学考试-习题集IV.①013 - 44
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第079274号
出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司
社 址/北京市海淀区中关村南大街5号
邮 编 / 100081
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经 销/全国各地新华书店 <
印 刷/天津市蓟县宏图印务有限公司
开 本/ 787毫米X1092毫米 1/16
印 张/8 责任编辑/多海鹏
字 数/ 200千字 文案编辑/多海鹏
版 次/ 2022年5月第1版2023年6月第2次印刷 责任校对/'周瑞红
定 价/ 199. 90元（共3册） 责任印制/李志强
图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换2024版《张宇考研数学真题大全解》如期与读者见面了，本书完整地收集了 1987—2023
年考研数学真题及其详细解析，是对考研数学的一个完整见证！
真题是最好的指挥棒，特别是新大纲下的试题(2021-2023年)更是研究当下考试规律的
宝贵材料.关于真题的使用给出如下两点建议.
一、 使用时间上，从9月份开始练习真题即可，因为在做真题前，考生需要经过一轮或两
轮的完整知识点复习与题型训练,所以建议考生在完成《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数
9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》和《张宇考研数学题源探析经典1000题》之后再使用真
题，这样效果会更佳.
二、 使用方式上，建议考生一套一套地去做，一套一套地去练(尤其是近些年的试卷)，希
望考生通过反复地练习能积累经验、把握重点、突破计算.
值得一提的是，我们对近10年(2014-2023年)的真题录制了完整的视频讲解，书中配有
二维码，考生可以扫码观看.另外，本书还专门配备了专题分册,此分册完整地汇总了考研数
学每个专题的重要定理、性质与公式等，方便考生做模考后的总结使用.
希望大家能够通过真题的练习完善自己的知识结构与解题方法，更期待和大家在冲刺阶
段的《考研数学命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》相见！
俩
2023年5月于北京寻第一部分高等敷学&
廿题
函数极限与连续.........................................................................（3）
V题
数列极限................................................................................（6）
一元函数微分学的概念 ..................................................... （9）
一元函数微分学的计算....................................................... （11）
国
/L
一元函数微分学的应用（一）——几何应用.........................................（14）
&题六
一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式......................（18）
一元函数微分学的应用（三）一物理应用 .........................................（22）
弛八
一元函数积分学的概念与性质................................................... （24）
&题九
一元函数积分学的计算 ....................................................... （27）
1孕考研数学真题大全解（数学一）
V题|・
一元函数积分学的应用（一）——几何应用.........................................（30）
&题I
一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式.............................. （33）
弓题卜
一元函数积分学的应用（三）——物理应用.........................................（35）
9题|・：.
多元函数微分学..............................................................（37）
:题I叫
二重积分..................................................................（41）
&题 I /L
微分方程..................................................................（44）
V题I六
无穷级数..................................................................（46）
&题I L
多元函数积分学的预备知识..................................................... （51）
弛I八
多元函数积分学..............................................................（55）
寻第二部分线性代敏&
;题
行列式.................................................................... （63）
&题
余子式和代数余子式的计算 .................................................. （66）厂
H
。•题:.
矩阵运算..................................................................（68）
;题四
矩阵的秩..................................................................（73）
缱
/L
线性方程组..................................................................（76）
。•题六
向量组....................................................................（79）
特征值与特征向量............................................................（82）
&题八
相似理论..................................................................（85）
二次型....................................................................（88）
寻第三部分 椎率论与裁理统计&
弛
随机事件和概率..............................................................（93）
弛
一维随机变量及其分布.................... （96）
弛:一
一维随机变量函数的分布..................................................... （99）
。•题四
多维随机变量及其分布....................................................... （101）
§ ▲苧彳考研数学真题大全解（数学一）
多维随机变量函数的分布..................................................... （103）
题六
够特征..................................................................（108）
大数定律与中心极限定理..................................................... （112）
;题八
统计量及其分布............................................................（114）
;题上
参数估计与假设检验........................................................ （118）第
一
部
分
高
昌
等
数
学
O第一部分高等数学
虹专题一函数极限与连续点
m解题要点淑
O扇数极限的局部保号性(不等式脱帽法与戴帽法)
(1) 若 = A> 0(或 v 0)=>/(x) > 0(或 < 0).
(2) 若•时,，(工)>0(或〈0)且= A，则 A 2。(或〈0).
❷函数极限的等式脱帽法
lim/Xz)——A<=^/(jc) = A +a,其中lima = 0.
【注】"1"与"2”要求考生"脱帽""戴帽"的技能娴熟，脱戴自如.
❸泰勒公式(熟记以下十大公式)
2 8
(De" = 1+z + fy ------ % +…=£ 弓
2! n\ n\
-1 1 ^2- ™2zH-l
(2) sin 工=l毕 +... +(_ 1)，(2〃 + i矛* + …=切(一1)” (2n + l)!-
2n
OO
(3) COS JC = 1 —志+ …+ (— 1)" yy-YTX2" + …=、(—1)”房、
2! (2〃)！ = (")!
OO
(4) ln(l +«z) = x — x2 + …+ (— I)71-】—+ =习(一l)i — 9 — 1 < 1.
2 〃斜〃
OO
(5) — = 1 + ] + %2 + ..・ + «z” + ...=, I z |V 1・
1一1 3
OO
(6) ^4— = + —史十... +(—])%" + ••• =、(一 1)%”，| z |V1.
1 十 z n=o
(7) (1 +x)a = 1 + az + a^a • —x2 +o(x2) (j? — 0).
(8) tan x = z + gj? -|-o(x3)(x 0).
(9) arcsin x = x~\~ + o(x3')(x f 0).
b
(10) arctan x = x-- x3 +o(j;3)(x f 0).
【注】每天起床头件事，先背一遍展开式.
O无穷小比阶
„_0_» [。， ①
lim === < c 0, ②
a g(x) C
〔8. ③弄乡考研数学真题大全解(数学一)
① 称f (工)是比g(x)高阶的无穷小.
② 称y(工)与g(Q是同阶无穷小.
③ 称fM)是比g(x)低阶的无穷小.
【注】常考带参数或带积分号的式子，比如lim呼，lim]竺当，lim石等，
—寸—g(r)dr — gWdt
J a J a
无穷小比阶本质上是考极限计算，这一点对考生要求较高.
0函数极限的夹逼准则
若给出具体函数求极限，但极限不满足使用洛必达法则三个条件中的至少一个：(1)“£”
或“竺,，型;(2)分子、分母均可导；(3)结果为O,c(c尹0),8,则洛必达法则失效.
8
此时，可考虑用夹逼准则:若①g(z) ＜，(]) ＜九危);②limg(z) = A,limA(x) =A，则
lim/Cx) = A.
x-*'*
这里,a.①中不需要验证等号;b.②中A可为0,c(c壬0) ,8.
【注】此考点难度较大，能出综合性大题，具有未来命制大题的可能性.
0函数极限的单调有界准则
若给出抽象函数/(x)，证明lim /(x)存在，可考虑用单调有界准则:若了 T 8时J(z)
x-H-oo
单调增加(减少)且/(X)有上界(下界)，则lim /(x)存在.
x-H-oo
【注】 如何证明/(X)的有界性是难点，也是命题的重点，具有未来命制大题的可能性.
•间断点的定义与分类
前提:/'(工)在X — Xo左、右两侧均有定义.
对于① lim/(x)；② lim/(j?);③/'(血).
(1) 若①，②均存在但①不等于②，则z =孔为跳跃间断点.
(2) 若①，②均存在且①等于②但不等于③，则了 = xo为可去间断点.
跳跃间断点、可去间断点组成第一类间断点. ，
(3) 若①，②至少有一个不存在且等于无穷，则工=工。为无穷间断点.
(4) 若①,②至少有一个不存在且振荡，则了 =工。为振荡间断点.
无穷间断点、振荡间断点属于第二类间断点.
【注】此考点属于常规题,但考生每年丢分不少，需重视.第-•部芬高等数学弄乡考研数学真题大全解(数学一)
E
专题二数列极限]
i
解题要点目
o数列极限的归结原则的使用(变量连续化)
若lim/(x) =A,则当仕,｝以血为极限时，有limy(x„) = A.
常考①当而,f。时，若lim/(x) = A, Ijjljlim/(x„) = A.
i-*-a
②当 z — O 时，取而，=4,即若 = A,贝！Jlimr(4) = A.
【注】 事实上，当if。时，亦可取z” =*£等，即只要而L。就可满足,考生见
n n
到相应的题目时，要能够准确识别.
e数列极限的单调有界准则
若｛右｝单调增加(减少)且有上界(下界)，则lim而，=a(存在).
«~*8
(1) 证什么.
① 单调是证:工出与而,的大小关系.可考虑,a.作差xM-xn,与。比大小;b.在同号时，亦
可考虑作商或，与1比大小;c.当 而由—Xn与Z” 一 Xn-i同号时，｛xn ｝单调等.
② 有界是证：3M>0, | % | O,z— 1 2 In z,如考 = In 而,+ 1 xn , ｛xn｝单调减少；
d・ q,A > 0, W 件凿，如考 = /^n(3 — x„) W 冬土*一— = *,｛%｝有上界.
② 题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值，均可能会有不等关系产生，从
而得出单调或有界的结论.
❸数列极限的夹逼准则
若①;y” W 了” W ；② limy” = a, limz„ = a,贝！jlimz” = a.
n~*oo n-*°o
这里,a.①中不需要验证等号;b.②中a可为O,c(c尹0),8.
(1)证什么.0
第一部分高等数学
① 对了”放缩：V" W Z. W z„.
② 取极限.
【注】石的放缩是难点，只要证明了 取极限很容易.
（2）怎么证.
主要有两种证法.
① '用基本放缩方法.
Jn • Wmin < »1 + «2 H------ U" • "max，
[u{ 2 ° 日寸，1 * "max W % + "2 +…+ . "max.
② 题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值.这一点与“2”的情形一样.
❹数列极限的相关综合题
数列极限的存在性与计算问题可与很多经典知识综合，故常作为压轴题出现在试卷中，考
生应多做总结，看看这些综合的点在哪里，打通它们，建立知识结构，便有思路了，比如可
做如下总结.
（1） 用导数综合.
（2） 用积分综合.
（3） 用中值定理综合.
（4） 用方程（列）综合.
（5） 用区间（列）综合.
（6） 用极限综合.乡考研数学真题大全解（数学一）
▲▲ §第-•部分高等数学
艮4专题三一元函数微分学的概念;
贤解题要点多
o
导数定义（导数在一点处的问题）
fj） = lim 六工。+ 顼）一—*。）= lim
Ai^O /\-T x-*Xq JC JCq
【注】（1），&。）=# 是指/•对Z在z。处的（瞬时）变化率.
ar x=x0
（2） f （工0）存在 <=>A（Xo） = f+Mo）・
（3） 高阶导数 疔）（工。）=lim产
a% x — x0
（4） 常考题型：
① 分段函数（含绝对值函数）在分段点；
特指点工0，
② 抽象函数在一点,
I泛指点XJ
,九心 J. j/= /1 +为，
f太复杂的点］
③ 四则运算中的特殊点 l/=/l ' f2..... fn,
'不成立的点.
g
学习笔记§
'整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思电 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
9 —弄乡考研数学真题大全解（数学一）
—— — — — — ————————————— — — — — ———_ —— — — — — — — ――- — — — - - — —— — — — — 1 —— — — — ————— — — — —
考研电子版网站： www. pdf2book. com第一部分高等数学
.专题四一元函数微分学的计算日
咨解题要点W
o反函数求导
（1）设;y = fS 可导，且/（z）夭0,则存在反函数z =甲3），且
冬=志啊3 =在.
dz
(2)在y = /(x)二阶可导的情况下，记f(z)=搭,妒(丁)= 丰0),则有
All 12 日(乎)d(』)日(4) i 〃
Al / = ― dV = --- 1 - - -- -- 1 r \) / / - -(-1 工V TT" --- \ - C -- lZ -- / - -- -----O,”Gr）养1）,可以先化成指数函数
心）心=e心"心,
然后对x求导得［it （了）心丁 =［泌工山心］‘ =u（z）”” ［"（工）In w（x）+ v（x'） •
【注】u（h）心 是命题热点，比如zr,（l — z）i等.
O参数方程确定的函数求导
设函数、=«*）由参数方程『确定，且甲（。心）均二阶可导,#"）夭o,其中'
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[[▲芹考研数学真题大全解（数学一）
(迪 日侏）_
, d
是参数，则半 djy/ck =。(t) <}2 、= \dz 故 t) =3工(In 3)',n = 0,1,2,・".
(2) 用莱布尼茨公式.
设"=u(:r)两=v(x),均n阶可导，则
(u 士 0)3> = u(n) 士 t/"> ,
(wu)(n> = U—u + CN'lDt/+Cft/I>p"+•••+ C£t?f 0(*> + + C^~1u，v(n~1) + UVM
=2日1＞俨＞.
k=0
（3）用展开式（十个）.
展开为麦克劳林公式，通过比较系数来获得护 6 ）.
①任何一个无穷阶可导的函数都可写成丁 =六*）= E，"：＜°）（工一工。）”，或者
汨
,=0
A、 V .产（。）“
y = y（工）= Zj ~i—£'•
n=Q 71 •
② 题目给出一个具体的无穷阶可导函数J=，（了），可以通过已知公式展开成幕级数.这些
已知公式见“专题一的3".
③ 根据函数展开式的唯一性，比较①，②中公式的系数，就可以得到/"＞（工。）或者
疔 ＞（0）.
\整理错题，总结经验，查漏补缺,完善思路以 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
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q第一部分高等数学醉彳考研数学真题大全解（数学一）
G专题五一元函数微分学的应用（一） 几何应用 :
❶切线、法线、截距
设v = ;y（i）可导且J&）丰0,则
（1） 在&，少处的切线斜率为k = ；
（2） 法线斜率为一十=一点；
（3） 切线方程为 Y —v = J（z）（X — Q；
（4） 法线方程为Y- j =- 击 （X 一 了）；
⑸令X = 0,则切线在 > 轴上的截距为v —巧'（力，法线在v轴上的截距为V +无y ；
（6）令丫 = 0,则切线在工轴上的截距为工一矿渣,法线在了轴上的截距为工+可'（了）.
【注】以上结论要熟练掌握，是常考点.
e单调性与极值的判别
（1） 单调性的判别.
若J = fdx）在区间I上有f'（H）> 0,则V = /（X）在I上严格单调增加；
若> =f（H）在区间I上有/（X）< 0,则V = /（X）在I上严格单调减少.
（2） 一阶可导点是极值点的必要条件.
设/（x）在I = x0处可导，且在点工0处取得极值，则必有f （工0）= 0.
（3） 判别极值的第一充分条件.
设fS）在工=血处连续，且在孔的某去心邻域U（^o，的内可导.
① 若Z £ （工0 — 3,工0）时,f'（H）V 0,而工 £ （了0 ,Zo +3）时,r （*） >0,则 /（x）在工=x0
处取得极小值；
② 若z £ （xo — 3,io）时,（工）>0,而工 £ （孔 ,jcq +3）时,f，（.x'） VO,则 在工=t0
处取得极大值；
③ 若/（Z）在（工0 —3,工0）和（工0，血+3）内不变号，则点血不是极值点.
（4） 判别极值的第二充分条件.
设技工）在I = x0处二阶可导，且f （工。）=0, f”（工。）尹0.
① 若f”3）V 0,则f（x）在Xo处取得极大值；
② 若f 3） > 0,则在xo处取得极小值.
（5） 判别极值的第三充分条件.
设 fG）在 *0 处”阶可导,且 fE （工o） = 0（m = 1,2,…，”一1） ,y<"> （工o）丰 0（n 2）.
考研电子版网站：www. pdf2book. com
14第一部分高等数学
① 当〃为偶数且/ 0时，则六丁）在工。处取得极小值.
❸凹凸性与拐点的判别
（1） 判别凹凸性的充分条件.
设函数八工）在I上二阶可导.
① 若在I上/'（工）> o,则/'（工）在I上的图形是凹的；
② ，若在I上/'〃（工）V0,则/Xz）在I上的图形是凸的.
（2） 二阶可导点是拐点的必要条件.
设/'〃（工。）存在，且点6,ya。））为曲线上的拐点，则r（x0）= o.
（3） 判别拐点的第一充分条件.
设、=f（H）在点工=Xo处连续，在点工=工。的某去心邻域lj（zo,3）内二阶导数存在，且
在该点的左、右邻域内r（x）变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点危。,了（工。））为
曲线y = /（x）上的拐点.
【注】6,八瓦））为曲线、=六*）上的拐点时，并不要求尸（丁）在点a的导数存在，
如、=^［x在r == 0的情形.
（4） 判别拐点的第二充分条件.
设六Z）在r = x.的某邻域内三阶可导，且=0,尸3）尹0,则3/6））为拐点.
（5） 判别拐点的第三充分条件.
设 /（x）在了。处如阶可导，且 / 或［7（i）dz形式的研究对
J a
象,增加了考题的难度.
❹渐近线
（1） 铅垂渐近线.
若lim/■（］）= 8（或lim/（j：）= 8）,则x = x0是曲线y = _/&）的一条铅垂渐近线.
L希
【注】 此处的导一般是函数的无定义点.
（2） 水平渐近线.
若lim/（x） = vi，则y = yi是曲线y = /（x）的一条水平渐近线；
若lim/（x）= 丁2,则y = y2是曲线y = f（工）的一条水平渐近线；
X—>~oo
若lim/（x）= lim/（x）=丸，则y = yo是曲线y = fS 的一条水平渐近线.
x x
>-hoo »—oo
（3） 斜渐近线.
若 lim 亍 3） = kx, lim \_f{x）—kxx~\=缶，则 y = k^x + by 是曲线 y = /（z）的一条斜渐
工T 8 工 考研电子版网站：阴皿.pjfgbook. com
l+oq砰乡考研数学真题大全解(数学一)
近线；
若 lim= k2, lim ［/(了)一乩幻=b2，贝！I y = ^2^ + 62 是曲线 y = f(z)的一条斜渐
JC X
X »—oo »—00
近线；
若 lim』成〉=lim 丑心=A, lim ［/(z)—fcc］= lim ［/(z)—怂］=饥则;y = fcc+5是
JC JC
x > | OC !-*■■_00 X » I 00 X * 00
曲线疽 fM)的一条斜渐近线.
【注】 ①按顺序求渐近线：先(1)后(2)再(3),便可不重不漏.
②求渐近线本质上也是极限计算问题,近年来常出现w(x)^或「y(Qdz形式的研究
J a
对象,对考生计算能力提出了较高要求.
。最值(值域)
(1)求闭区间［a,们上连续函数/■(*)的最大值M和最小值
① 求出/(x)在(a,b)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求出端点的函数值f(a)和f(b).
③ 比较以上所求得的所有函数值,其中最大者为六工)在［a,5〕上的最大值M,最小者为
/(x)在［a,妇上的最小值Tn.
【注】有时这类问题也可命制为“求连续函数六Z)在闭区间［a,妇上的值域】
⑵求开区间(a,b)内连续函数/Xz)的最值或者取值范围.
① 求出/(x)在(a,b)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求(a0)两端的单侧极限:若a,b为有限常数测求lim/(^)与lim/(x);若a为一8,则
x-^b
求lim /(x);若6为+ 8,则求lim /(x).记以上所求左端极限为A,右端极限为B.
X X
*—oo >4-00
③ 比较①，②所得结果，确定最值或取值范围.
【注】这类问题有时没有最大值、最小值.
&曲率与曲率半径
〃
曲率卜云y加'曲率半径*=+•
【注】求出J/，套公式即可，是热门考点.
❼相关变化率
—v cLA dC z^u—p* cLA rn>i (IzA. cLA dC
题设告之矽画欲求时则而=无.丽•
【注】有时籍或殷要在题目中挖掘条件后才能得出，考生抓住一个关键信息，如"A
aC cLo
对C的变化率"，立即写出禁即可.
aC
与计旧厂•俄I叫站： www.pdf2book.com
160
第一部分高等数学
J
冬学习箸记
[V 反反复复扎扎实实V^y 1
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
L ~ ------ -----------"
念念不忘必有回响j弄乡考研数学真题大全解(数学一)
七
专题六一元函数微分学的应用(二)』
灯一中值定理、微芬尊式与微分不等式诚
❶介值定理
设在[a,5]上连续成< /(x) W M,当m<兴2.
【注】 关键是证/(a) = fCb).
❸拉格朗日中值定理
设/(X)满足(晋吁土警'则存在e e (仍),使得
f(b)_f(a) = g(b — a),
或者写成 /(?)=
b — a
常用于
(1) 题设中有/■与广的关系或W)-/(a)M.
(2) 证 r(e)>(或 v)o.
(3) 证 FM ($) > (或 V)0,偿 2.
(4) 证 F(/(7),/(t)) =0.
(5) /a)可考到单调性.
O泰勒公式及其应用
(1) 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
设六了)在点工。的某个邻域内n + 1阶导数存在，则对该邻域内的任一点z,有
/(X)= /(Xo ) + / 6 ) (z —工 0 ) + …+ 6 ) & —工0)" + S + 翌(工一工 0 )计 1,
其中S介于之间.
(2) 带佩亚诺余项的n阶泰勒公式二
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第一部分高等数学
设/(^r)在点工。处〃阶可导,则存在xo的一个邻域，对于该邻域中的任一点有
= /(^o) + (了o)(工一孔)十 + fM (工())(了一■工o). +o((j： —^0)")-
常用于
(1) 题设中有/■与/'3〉的关系m2 2.
(2) 证 FM (Q > (V 或=)0,n > 2.
⑶，(工)可考到凹凸性.
&微分等式问题
(1) 理论依据.
① 零点定理及其推广.
设/(x)在也,幻上连续，且f(a)f(b) < 0,则/(x) = 0在(a,b)内至少有一个根.
,.；j.;, , -.'r, I #•； \ *1 » 七
【注】 推广的零点定理：若/(T)在(a,b)内连续，lim/(^) = a, lim/(j：) = 0,且
x—a ' *6
jt
a "VO,则/XQ =。在(a,b)内至少有一个根，这里a,b,a*可以是有限数，也可以
是无穷大.
② 用导数工具研究函数性态.
③ 罗尔原话(罗尔定理的推论).
若/■>(*) = 0至多有优个根，则/(£)=0至多有k+n个根.
④ 实系数奇次方程了2心+a/2, + ••• +a2”z +俄+ = 0至少有一个实根.
(2) 考法.
① 证明恒等式.
② 函数的零点个数(方程根的个数、曲线交点的个数).
a. 至少几个.
b. 至多几个.
c. 恰有几个.
【注】常含参数讨论.
(1) 导数中不含参数，即辅助函数/(X)中不含参数，于是研究函数性态的过程中不
讨论参数，结果中讨论参数，即根据参数的取值不同，研究曲线与了轴的交点个数.
(2) 导数中含参数，即辅助函数f3 中含参数，于是研究过程中讨论参数，即根据参
数取值不同，研究曲线不同的性态，从而确定其与工轴的交点个数.
③ 方程(列)问题.
④ 区间(列)问题.
0微分不等式问题
(1)用单调性.
①如果 limFGr)式0,且当M (a,b)时F'Gr) 20,则在(a,6)内F(x)>0,若存在z = a
z+
的右侧一个小邻域有F'(z) > 0,则结论中的不等式是严格的(即F&) > 0).若在工=a
处F(z)右连续，则可用F(a) N。代替limFCr) 2 0.
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19 A_.弄乡考研数学真题大全解(数学一)
②如果 limFGr)三0,且当 M (a,b)时F'Cz) <0,则在(a,6)内F(x) >0.若存在工=b
的左侧二个小邻域有F'Cz)V0,则结论中的不等式是严格的(即F(x)>0).若在r = b处
FG)左连续,则可用F(b) >。代替limF(x) > 0.
上面讲的区间(a,5)改为半开区间、闭区间、无穷区间、半无穷区间，结论仍成立.
(2)用拉格朗日中值定理.
如果所给题中的F(z)在区间［a,b］上满足拉格朗日中值定理条件，并设当x G(a,b)时
F'G) 2 A(或 WA),则有
F(b) — F(a) >A(6-a)(或 F(6)-F(a) /(x)为偶函数.
(2) 六丁)为偶函数=>/(x)为奇函数.
(3) /(x)是以T为周期的周期函数ng)是以T为周期的周期函数.
[j“Q)曲为偶函数，
(4) /(x)为奇函数羽°
[J》。)曲为偶函数怎夭0).
「尸⑴出为奇函数，
(5/()x) 为偶函数7 ：
j /(«)dt 不确定(a 乂 0).
']>(泌是以T为周期的周期函数,
f (工)是以T为周期的周期函数，
(6){ fT A
/(x)dz = 0 &。)出是以T为周期的周期函数(a丰0).
IJ 0
CT
fa4-T
⑺/(x)是以T为周期的周期函数nJ。r(z)& = -，&)&, V常数a.
【注】考生要熟记以上七条，常考客观题或大题中的某一关键环节.
❷定积分定义
(1)基本形(能凑成三).
n
若数列通项中含下面四种形式：
①n + i(an + bi ,ab 乂 0);②疽+ V ；③疽+痴；④上.
n
则能凑成+,比如
① ” +£ = "1 + ')；②"2+?=必[]+(+)[；③必 +无=疽(1+；).
于是可直接写定积分定义
limg/(0 + ^)^=£/(x)dz,
或 史露，(° + 守')亨 =j：为)&.
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（2） 放缩形（凑不成Z）.
n
① 夹逼准则.
如通项中含n2+i,则凑不成Z,这时考虑对通项放缩,用夹逼准则.
n
② 放缩后再凑
n
如'通项中含虽凑不成#，但经过放缩（；）2〈耳」V （甲）2,则可凑成:.
（3） 变量形.
若通项中含兰i ,则考虑下面的式子：
n
回*（。+专勺十=打（泌.
:题，总结经验,-查漏补缺，完善思维
反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响乡考研数学真题大全解（数学一）第一部分高等数学
稣专题九-元函数积分学的计算,2
I
解题要点耳
,❶判别反常积分的敛散性
(1)判别时要求每个积分有且仅有一个奇点.
■p J_cb(0< 1 时，收敛，
f乒侦21时’发散’
仁J_仲> 1时,收敛，
J1工"侦W 1时,发散.
【注】考生应掌握各种变体形式，如『 土&£很—&等・
o
华氏公式(点火公式)大全
2 sinnxdr =「cosnxdz
J o J o
n — 1 --- n - - — -- . 3 -------- I - b 〃为大于1的奇数,
n n — 2
=Y
n — 1 n — 3 * •专，n为正偶数.
、n n~2
2 • -—- • -—|.........膏n为大于1的奇数，
成. n n — L 3
sin% dr = -s
2・ • -—|.........牛.奇，n为正偶数.
n n — L Z Z
ro, n为正奇数,
cos%dz = < n—\ n —3
…•号,考，n为正偶数・
Jo 2 . -------- • -------9
I n n — Z
(0, 〃为正奇数,
『cos'淄=.....咨.夸，〃为正偶数.
n n ——Z Z Z
、
【注】以上公式必须熟记，这是考试中命题频率极高的知识点.
❸对称性下的定积分问题
考生应能理解并解决
f2n
(1) x{x — 1) (x— 2) •••(□; — n)-,,(x — 2n)dr
J 0
(2) f xV4je — x2 dz.
J o 考研电子版网站：www.pdf2book.com考研数学真题大全解（数学一）
这两种典型问题均使用了对称性命题的手法.
o定积分分部积分法中的“升阶"“降阶"问题
（1） “升阶”问题:如已知/（x）,/（x）,则
J （工一l）2/（x）cLc = -y（x— 1）3/（j?） L —［（工一iViGdr.
（2） “降阶"问题：（1）的反向题.
❺求分段函数的变限积分
设心=切'* }:求 F&） = ［7（«）dz.
S（z），:c e 是， Ja
对于这种题目考生要熟练掌握两个要点:①分段讨论;②累积函数.
0变限积分的直接求导型
可直接用求导公式（I）,（ 口）求导的变限积分称为直接求导型.
/（r）drj =/"［pG）］ •伊'（工）.
（n）［［［ >六'）出］=兀例仔）］• "z（z）—/［。（工）］• (。)]2 十[/(一]2也.
❹旋转曲面的面积(旋转体的侧面积) -=
(1)曲线V = y(z)在区间[a,5〕上的曲线弧段绕工轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为
S = 2kJ |、(z) | -/I + [y (x)]2dr.
(2)曲线工== y(Z)(a<^f（x,y） —/（Xo,yo） = -j（Ar 3） +夫
2.
fyy.X0 3
记
（工 、
/L 0, 0）A,
记
IP
《沪（工0 = B.A—AC — B2.
：fzo ,3^0）= »3^0）
匕（飞 必）
0 =^=C,
a. 正定.
当制
X >0, ＞ 0,即△ ＞ 0 时,/&,、） ＞，（工。必），/&o，Vo）为极小值.
1 Ao X。
b. 负定.
L
已 <0, ＞0,即△＞（）时，八r，v）＜ 了（工。，/o），f（xo ,y°）为极大值.
当 以
x°
尤 以
当
了 以
V0,即
△＜（）
时，二次型变号，（工。,、
0）
非极值点.
c. X 。
d. 尤
当 代 =0,即△ = 0,（血点 0） 可能为极值点，也可能不是极值点.
X。
条件最值与拉格朗日乘数法.
（3）
求在约束条件甲（了,丁）= f（工的最值.
o T
①构造辅助函数 +标
F（z,y,Q = Gc,jO ；
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第一部分高等数学
716、） + 标;&,、） = o,
② 令Y （工,J） + 标;CT,、）= 0,
= 0；
③ 解方程组得到驻点，比较驻点处函数值的大小，取最大者为最大值，最小者为最小值.特
别地,只有一个值时,根据实际问题，其即为所求最值.
0已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z =
已01偏导数祭,寿或偏增量求z =
【注】 这种考题需注意在首次积分时，加的是一个函数而不是常数.
❸ 给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求/（«）
如给出f'q,y） +/（了,少=。，求/&,少.这是一道极为重要的题源.
R
反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验,■查漏补缺，完善思路。
念念不忘必有回响
39乡考研数学真题大全解（数学一）
,二----——........... --
SUOS
—
—....
............
---- ……
—
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第一部分高等数学
稣专题十四二重积分蠹
o二董积分比大小
（1） 用好对称性.
（2） 用好保号性.
【注】 这种题目常考客观题.
❷二重积分的计算
（1）直角坐标系与换序.
① X 型积分区域（如图（a））：f|/（x,y）cla= PcLr「七（w）dy
JJ J a J 览 符号函数
抽象函数 工
复合函数/
偏导函数
【注】以上的(4),(5)是各种题型的总结，考生需通过大量做题掌握各种积分区域D
与各种被积函数六/，少的命题.
J
备学习笔记
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
考胡'电干版 网站'：'谎而.'甘cff，T)o'ok「coiiF
42第一部分高等数学
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您g专题十五微分方程〃
g
解题要点弓
o一阶微分方程的求解
(1) 齐次型.
① 能写成；y' = 令.=妇■换元后分离变量，即、=虹 ="+工普。原方
程化为 平 + “ = /(«)=> 石律—=-=>[TFT— T -•
az j (u)—u x J j \u)—u J x
② 能写成｝=，(子)=令子=以》换元后分离变量，即x = = 〃 + 了段》原方
程化为 y^ + u = 7^—=亟>[=[四.
ay j (u) — u y J j (u) — u J y
(2) 一阶线性型(或可换元化为它).
能写成 y + 力(工)V = Q(x)=>y = eT""& [JeP*'"* • q(£)dr+ c].
e二阶可降阶微分方程的求解(能写成y= /■('，/))
(1) 缺£,令J = /»,则)”=殷=翠,尊=段,原方程变为一阶方程力* = /(>»/>);
(2) 若求得其解为力=P(J,G),则由P =尊得宗=p(：y，G),分离变量得= ir;
(3) 两边积分得[、= Z + G,即可求得原方程的通解.
J 中。,。1)
❸用变化率建微分方程的应用题
(1) 元素衰变问题.
(2) 人口增长问题.
(3) 曳物线问题(追踪问题).
(4) 冷却定律.
(5) 牛顿第二定律. b
【注】这是难点，综合性强，要求高.
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44第一部分高等数学
I
学习笔记肾
V 反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
念念不忘必有回响
-----亍二~
------------—
I ••-•-.T
-------—
............................................乡考研数学真题大全解(数学一)
如、专题十六无穷级数展
O数项级数的判敛法
OO
(1)正项级数>0.
n=l
oo
① 2",收敛0{S“}有界.
n=l
② 比较判别法.
oo oo
给出两个正项级数、".和如果从某项起有un W P”成立，则
”=1 n=l
8 8
a. 若、q收敛，则、〃〃也收敛.
n=l n=l
oo oo
b. 若、””发散，则、功也发散.
③比银判别法的极京形式.
OO 8
设»”和都是正项级数，则
n=l n=l
CXD 8
'若收敛，则、如收敛，
”=1 n=l
(0=>un是比vn高阶的无穷小A
oo oo
、若、么发散，贝！发散；
n=l n=l
uQ» 「［若总" 〃收敛，则"豆:1 3收敛,
lim —= <
n~*8 rVn 8=>P,是比“”高阶的无穷小
〔若发散，则发散;
n— n=
1 1
OO OQ
‘A尹0=>14“与vn是同阶无穷小=>、",与同敛散
n=l n==l
【注】(1)比较判别法及其极限形式实质上是跟"别人"比，故需要找到合适的尺M.
(2)四个重要的尺度.
oo "Vi，
①等比级数
ZJ=1 发散， "121.
②伊级数器常:片
〃=】n I发散，力W L
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C 六 V . ZU < V 1 J 收敛，力>1，
③ 广乂力级数约荷浏发散，XI.
④ 交错p级数吏（-"事?E修
小〔条件收敛，0V》〈l.
VI,收敛,
④'比值判别法（达朗贝尔），1而外 =0 > 1,发散,
n-^oo Un
-=1,失效.
<1,收敛，
⑤根值判别法 （柯西），四％厂=P （〉1,发散，
n-^oo
.=1,失效.
8
（2） 交错级数g （― 1）1佑心>0.
莱布尼茨判别法:①lim% = 0;②un uM （n = 1,2,…）.则级数收敛.
n-*oo
8
（3） 任意项级数^un,u„符号无限制.
n=l
8 OO
① 若、收敛,称、"，绝对收敛.
n=l n=l ~
8 8 8
② 若蚓I妇发散，、如收敛，称、么条件收敛.
n=l n=1 n=l
e数项级数的常用结论
OO
以兀2。时，、记收敛（lim“” = 0,从某项起必< < W„）,
n=l 18
OO
（1）设收敛，则V
OO OO OO
n=l un任意时，、/不定（反例：、（一1）' £收敛，但、■发散）.
、 n=l n—1 V Tl n=l ”
2 0 时，总 UnUM 收敛 3 . Wn+l W 了"E ），
n=l
8 1
Un任意时，2 Unu^不定（反例必=（—1）” ―,
（2）设觉皿收敛，则，
n=l Vn
n=l
1
UnUM = （— D" -p （— 1）计1 / ：. --- ，
4n +1 y n（n + 1J
、级数发散）.
8 8、
Un
2。时，、站，2咛1均蜘，
”=1 n=l
（3）设力为收敛，则< 任意时,Z "2" 'Z ”卜不定（反例：1_§ +§ +§ _
n=l
4+…=力（t）i -牍,成其奇数项和与和都觐）.
〔6 % n
⑷若、 OO 记收敛，则 > OO 性绝对收敛（ I Un w 冷何片））•
叶I 1 〃 考研电子版网 「.pdf2book.com
4Z ▲罗乡考研数学真题大全解（数学一）
（5）若»,收敛，收敛，则
n=l n—1
2 0，P, 三。时，W UnVn 收敛3 • Vn < % 子遴）'
< un 任意,2 o 时，，\ un | • v„ 收敛（四
3,•卫=lim
I un |=0）,
u„任意,q任意时疙不定（反例:"，=6, = （— 1）"
、
«= 1 Vn
【注】以上结论不要死记硬背，而应在做题中逐渐熟悉其分析过程.
❸关于幕级数的收敛域的抽象型问题
（1） 阿贝尔定理.
当籍级数吏a”:r”在点z =幻（工
1
尹0）处收敛时，对于满足|了|< |zi|的一切z,慕级数绝
n=0
对收敛；当蒂级数^anxn在点］=X2 （^2尹0）处发散时，对于满足01 > 02 |的一切Z,
n=0
蓦级数发散.
（2） 结论1.
OO
根据阿贝尔定理，已知、a,（工一zo）'在某点z =而6尹to）处的敛散性,确定该蓦级数
n=0
的收敛半径可分为以下三种情况.
① 若在工=而处收敛，则收敛半径R 2 01—血I.
② 若在工=而处发散，则收敛半径R<
③ 若在工=与处条件收敛，则R = 01 — *。|.【重要考点】
（3） 结论2.
已知—工1）"的敛散性信息，要讨论、3（工一工2）"的敛散性.
① （工一幻）”与（工一互）”的转化一般通过初等变形来完成，包括a. “平移”收敛区间；
b.提出或者乘以因式（z —工。）*等.
② a ,与 ' 的转化一般通过微积分变形来完成，包括a,对级数逐项求导;b.对级数逐项积
分等.
③ 以下三种情况,级数的收敛半径不变,收敛域要具体问题具体分析.
a. 对级数提出或者乘以因式（z —西）气或者作平移等变换，收敛半径不变.
b. 对级数逐项求导,收敛半径不变，收敛域可能缩小.
c. 对级数逐项积分,收敛半径不变，收敛域可能扩大.
O幕级数的展开问题
（］）考法
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48第一部分高等数学
'①函数展开六力=
② 积分展开，(l)dz = £dn ----r—・
,, J a Tl I 1
考法Y
③ 导数展开哮Q =、亿应I.
dr
、④无穷小比阶，工f 0时,f(z)=的无穷小比阶问题.
(2)工具.
①先积后导六工)=.
工具」②先导后积/(^)=尸6)+「X(r)dt
J和
'③重要展开公式.
❸级数的求和问题
(1) 直接套公式.
(2) 用先积后导或先导后积求和函数.
①习(an +b')xan先积后导.
②〉点先导后积•
G7Z十° ① ②
(3)用所给微分方程求和函数.
一
步骤:①验证y,寸,y满足所给微分方程
②求微分方程的通解；
③一般要根据初始条件定 G ,G，或求z =场时的数项级数的和(比如了 = 土，1等).
(4) 建立微分方程并求和函数.
步骤:①求/(或 W)，根据所给a,,a* ,ai的关系式建立微分方程；
② 求微分方程的通解；
③ 将通解展开并合并成即可求得a.的表达式.
(5) 综合题.
与导数(斜率)、积分(面积)、方程或数列极限等问题结合，亦可命制综合性大题.
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49弄彳考研数学真题大全解（数学一）
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思电 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响第一部分高等数学
专题十七多元函数积分学的预备知识忐』
❶空间曲面的切平面与法线
（1）用隐式方程给出曲面= 0.
其在 P°Cz。,％,标）处的法向量"=（F：|p ,F；L，F；L ）.
切平面方程:•& —Zo）+F；| ・（y —%）+F；| • （z — z0） = 0.
i p° . ，p 。
*0
法线方程:三产 7 — Vo _ N —Zo
叫 F；| 3
。
p 1 r0 po
（2）用显式函数给出曲面以=fa9y）=>f（x9y）~z = 0.
其在 Po（Zo,%,Zo）处的法向量〃 =（/'；&0设0），/“％0,丸），—1）.
切平面方程：/；（血，%）〔了一工0）+/；（%0,丁0）3 —丁0）— （z — Zo） = 0.
z —Zo ?―北 =N — No
法线方程:
/\&0，、0) —1
X = Z(“，P)9
(3)用参数方程给出曲面:v y = y(u9v)9
u
曲线在Po（Zo，y），Zo）处的切向量为Ti = （£,我，乂）|
固定u =
Uq=>v
曲线在P0（x0,yQ,z0）处的切向量为r2 = （了：，我，匕）|
曲面法向量与幻,72均垂直，取
n =工：y'u = （A,B,C）.
/ / /
J yV Zp Pq
切平面方程:A（z — «Zo）+B（J； —J/O） +C（Z —Zo） = o.
法线方程:十=厅=亍.
A D C
❷旋转曲面：曲线「绕一条定直线旋转一周所形成的曲面
曲线「： = °’绕直线如=^ = 乂二电=十旋转 软
】 G（w，n） =0 m n p 工^
形成一个旋转曲面,旋转曲面方程的求法如下. /
如图所示，设Mo（Wo，Zo）,s = 在母线「上任取一点
Mi 3 ,之］），则过Mi的纬圆止斑网点丽rpf?蚣满足条件
51步乡考研数学真题大全解（数学一）
±s,\M^P\ = ，
IW^Tl
(m(x — xi) + n(y — yi) +/>(z — Zi) = 0,
即 l(x —x0)2 + (' —Ao)，+ (z —z0)2 =(*i ~Xo)2 + (>i — Vo)，+ (zi — zo)2,
与方程F(xi顽，i) = 0和GUi, w ) = 0联立消去zi 5 ,1，便可得到旋转曲面的方程.
❸场论初步
（1）方向导数.
①定义，为从F°S 仍，％）出发的射线,P（工,、,z）为其
上一点，以t = 7（Az）2 + （^）2 + （Az）2表示P与P。之间
的距离，如图所示,若极限
].U（P） —u（P0）
lim------------------
=临 〃（zo +lcos。，为 +tcos 缶
zq
+）cos》）—以（以泌,zp）
7+ t
存在，则称此极限为函数u = ”愆以保）在点Po沿方向I的方向导数,记作券 ・
dl Po
②定理（方向导数的计算公式）设三元函数u = u{x,y,z）在点Po （了0 ,北,名0）处可微分,
则以=u（x,j/,z）在点PQ处沿任一方向I的方向导数都存在，且
du = ]jm "(Zo +Ax，Vo +△",?()+Az)—以(zo ,)o ,名0)
31 乌 _ 嚣 /(Ar)2 + (A>)2 + (Az)2
=lim 以;(P0)M + i4(F0)3 + £(Po)A；g + 0Q)
_胃 7(Ax)2 + (Aj/)2 + (Az)2
=ux (Po)cos a + £ (Po)cos (Pq)cos /.
以上公式中出现的cos a,cos /J,cos /为方向l的方向余弦.
【注】 对于二元函数f（x,y）的情况与三元函数类似.
（2） 梯度.
设三元函数队=u（x9y,z）在点「0（血，丸，切）处具有一阶偏导数，则
grad u I = （Q（Po）,u；（Po），K（Po））
'po
为函数u = u（x,y,z）在点Po处的梯度.
（3） 方向导数与梯度的关系.
a就 |
号 =（d（Po），亿（Po）,Z（Po）） • （cos q,cos/?,cos y）= grad “I p
=J grad u J J I I0 I cos 0 = | grad u | | cos 们
其中。为gradu|与/°的夹角，当cos9=l时，咨 有最大值.
dl Po
1 po
【注】函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而
它的模为方向导数的最大值，这是命题的重点.
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52第-•部分高等数学
(4)散度.
设向量场 A(x9y9z) = PCx,y9z)i + Q(x9y9z)j +R(x,y9z')k,则
div4 =雾+写+零
ox dy dz
叫散度.
（5）旋度.
设＞ 向量场 = P（x,;y,z）i + Q（z,；y,z）j+R（工，v，z）上，则
P Q R
叫旋度.
1
|学习笔记
\整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
53乡考研数学真题大全解（数学一）0
第-•部分高等数学
i
#、专题十八多元函数积分先
3 I
解题要点
o三'重积分的计算
（1） 直角坐标系.
① 先一后二法（先Z后可法，也叫投影穿线法）.
(.x,y)
W'&,V,z）dN =
f(x9y,z)dz.
n (x»>)
② 先二后一法（先巧后z法,也叫定限截面法）.
M，（z，；y，N）dp = j
（2） 柱面坐标系=极坐标下二重积分与定积分.
在直角坐标系的先一后二法中，若JJ也适用于极坐标系，则令• x = rcos
v = rsin 9,便有
%
JJrG'jy’Qdzdj/dz = jjj/（rcos 0,rsin 09z）rdrd0dz.
n
q
（3）球面坐标系.
① 适用场合.
/（x2+y+z2）,
a.被积函数中含•
球或球的部分，
b.积分区域为•
锥或锥的部分.
② 计算方法.
先碰到。，记r\（（p,6）,
a.从原点出发画一条半射线（取值范围（0, +8））
后离开记厂2（甲，。）・
先碰到。，记（f>g），
b.顶点在原点，以z轴为中心轴的圆锥面半顶角（取值范围［0,招）
后离开。，记（pz（0）.
先碰到〃，记01，m
C.过Z轴的半平面与zCfe面正向夹角（取值范围［0,2兀］） 则
后离开。，记。2.
= jjjy(rsin(pcos。，厂sin 归sin 0,rcos ^r2sin(pdrd(pdd
Q a
(平,。) . . .
/(rsin ©cos 0,rsin(psln。，厂cos 甲)r2 sin cpdr.
J 0] J 啊(.O') (甲,ff)
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辣▲号考研数学真题大全解(数学一)
【注】⑴关于积分区域Q
这是考试的难点所在，读者需多画多练，方能提高画图能力•
(2)关于被积函数r(W，z).
由于积分区域O较复杂，被积函数一般较为简单，以利于题目的命制与求解.
❷三重积分的应用(重心)
对空间物体。，其体积密度为p(z,j；,z),则重心G,公I)的计算公式为
jjjj/p(z，y，z)dp Jjzp(z,;y,z)d?7
。, jy -- &____________，/ =卫------------ .
X JJp(z,j/,z)dR JJp(z，v，z)d77
n n a
【注】从工以江)为常数时，即为形心.
尊，蹴褫愁燃渝io；破农电
❸第一型曲线积分的计算
(>1) = ;y(z) ,q < z W 们则 £/(x,j^)ds = J ^1 +(,yxY Ax.
(2) 「_ [:'(a W t W0),则[r&，：y)ds =『rCrQ) MQ]』(了)+ (顶 Vd 力
(3) 若平面曲线L由极坐标厂=r(0)(aWB)给出，有
d5 = + [厂'(。)]2(1°,，
且 J f(j：9y)ds =[厂(0)cos 0,厂(9)sin 6] 厂(0) — + [/(9)了曲
❹第一型曲面积分的计算
J]y(z，y，z)dS =。，队，)，2&，30] J1 + (£)2 + (£)2(lzdy
2 %
❺第一型曲面积分的应用(曲面面积)
令“4"中式子中 = 1,即 S = JJdS =。J\ + (NV + Ojdzdy
£ %
。第二型曲线积分的计算
(1)基本方法------ 投二代三计算(化为定积分).
{•37
~
— -
,
(七
、
)
'(捉ag给出，其中t = a对应着起点A,t =
y = y(t)
£对应着终点B,则可以将平面第二型曲线积分化为定积分：
J P(j?,>)dr+ Q(^,y)dj^ = J {F[z(£),、Q)]z'Q)+QCrQ)，v(£)]j/(t) }dz,
这里的a谄谁大谁小无关紧要,关键是分别和起点与终点对应.
(2)格林公式.
设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成,PGr，v),QCr,y)在D上具有一阶连续偏导
数,L取正向，则
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扣修一幻也.
如图所示，所谓l取正向，是指当一个人沿着l的这个方向前进时佐手始 / 己）」
终在 所围成的D内.
l
匕正向
① 曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式.
② 曲线封闭但有奇点在其内部.若奇点外II =役，则换路径.（一般令分母等于常数作为
路径，路径的起点和终点无需与原路径重合）
③ 非封闭曲线若II 三弱,则换路径.（换简单路径，路径的起点和终点需与原路径重合）
④ 非封闭曲线，可补线使其封闭（加线减线）.
⑤ 积分与路径无关问题.
设在单连通区域D内P ,Q具有一阶连续偏导数,则下述4个问题等价.
a. [ P（j7,3/）dz + Q（x,^）dj/ 与路径无关.
Jlab
b. P& + Q心为某二元函数”（了,少的全微分.
c. F& + Qdy = 0为全微分方程.
d. Pi+Qj为某二元函数u（x,y）的梯度.
它们还与下面两句话等价.
e. 沿D内任意分段光滑闭曲线L都有+ Qdj; = 0.
f. =隼在D内处处成立.
dy ox
一般说来,“f"是解题的关键点.
若F,Q已知，则考正问题:“验证零三磐”,于是a至d成立，再求[或
oy dx
Jl
若P，Q中含有未知函数（或未知参数）,则考反问题:“已知a至d成立”，于是有乎=I9,
dy djc
用此式子求出未知量，再进一步求L或".
接下来，如何求U?
第一种方法.用可变终点（工,少的曲线积分求出u（x,y）:
f（x,y）
u（x9y） = P（j：9y）dz + Q（j：9y）dy + u（j：o 9yo）-
J （工o5）
第二种方法.用凑微分法写出血（工,少（当然这需要一些技巧）,在积分与路径无关条件下，
有
[Pdz + Qd;y=| du（x,y） = u（x9y） = u（B） — u（A）.
（3）两类曲线积分的关系.
j Pdz + Qdj/ = J （Pcos a + Qsin a）ds,
其中（COS a, si" 为L上点（考研电子版网站：www.pdf2book.com
57&乡考研数学真题大全解(数学一)
(4)空间问题.
①一投二代三计算.(参数方程简单或曲线不在同一平面上)
X = zQ),
设* y = y(t) 则有
、之=z(E)9
J Pdz + Qdy + Rdz = [{PLz(7)%(Z)+Q[x(z) ,yQ) /(Qb’Q) +
R[j：Q) ,nQ)]z'(/) }d/.
②曲线封闭且在同一平面上，可用斯托克斯(Stokes)公式.
斯托克斯公式 设。为空间某区域,2为C内的分片光滑有向曲面片,「为分段光滑的》
的边界，它的方向与》的法向量成右手系，函数P(z,;y,z) ,Q(:c,y,z)与在。内
具有连续的一阶偏导数，则有斯托克斯公式：
d;y& dzdx djcAy
> PcLr + Qdy + Rdz = jj 3 d_ d
(此为第二型曲面积分形式)
dx dz
P Q R
cos a COS P cos y
4 d d d
dS(此为第一型曲面积分形式).
dx dz
P Q R
③rot F = 0(无旋场)，可换路径.
❼第二型曲面积分的计算
(1) 基本方法一 投二代三计算(化为二重积分).
(2) 转换投影法.
若 > 投影到My平面上不是一条线,并且2上任意两点到xOy平面上的投影点不重合，则
可将W投影到rOy平面，设投影域为。叫，曲面方程写成z = 2(*,少的形式.则有
jjp (z,、，z) d^ydz + Q&, jy, z) dzdz + RG, v, z) drdy
s
=± J (PCr，v，z(z，v)](— ||)+QCr，v，z(:r,))](—|^)+RCr，v，z(H,、)]}dxdj.
其中，当7为上侧时，取;当2为下侧时，取“一”.
(3) 高斯公式.
设空间有界闭区域。由有向分片光滑闭曲面幺围成,P(x,y,z),Q(x,y,z), R(z,；,z)在
Q上具有一阶连续偏导数，其中2取外侧，则有公式
§Pdjdz + Qdzir + Rdxdy = jj (|£ + * + 奏
血
x n
① 曲面封闭且内部无奇点，直接用高斯公式.
② 曲面封闭但有奇点在其内部.若除奇点外div F = 0,则换个面积分.(边界无需与原曲面
重合)
③ 非封闭曲面，若div F = 0(^G») ?邓换个面积分.(边界需与原曲面重合)
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58第一部分高等数学
④ 非封闭曲面，补面使其封闭（加面减面）.
⑤ 由div F = 0,建方程求/（X）.
“已知对于单连通区域G内任意封闭曲面,此曲面积分为0”,可由高斯公式推知在G内祟+
dx
* +第三。.由此得到关于f （工）的一个微分方程，从而解出/（X）.
【注】以上各种题型与方法都要熟练掌握，考研中各种情形均可能考查到.
（4）两类曲面积分的关系.
jjp dydz + Qdzdx + Rdxdy
=(Pcos a + Qcos /3+Rcos y)dS,
2.
其中（cos a,cos p,cos y）为，上点（x9y9z）处与S同侧的单位法向量.
'整理错题，总结经验,.查漏补缺，完善思电 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响弄考研数学真题大全解（数学一）
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^>0第
二
部
分
线
性
代
数
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专题一行列式〃盘力
3
解题要点
❶行列式的计算
(1)化为“12 + 1”型行列式.
①主对角线行列式.
… o
Q11 Q12 … aln Qii 0 … 0 G11 0
0 知 2 … a2n = ^21 鬼 2 … 0 = 0 。 22 … 0 =U n a*
• : • • : • : • 1=1
0 0 … Q”2 0 0 … Qm
②副对角线行列式.
Gil ••• Qi,«—1 Qin 0 ••• 0 Qi〃 0 ••• 0
。 21 … G2,/r-l 0 0 ,・・ ^2,n-l ^2n 0 … 。 2,«—1 0
・ — • • • ( •
• , p • • • •
,・・ 0 0 ・・・ 一 1 Qnl ・・・ 0 0
=(—1) 2 ai„a2,^-vani.
③拉普拉斯展开式.
设A为m阶矩阵,B为〃阶矩阵，则
④范德蒙德行列式.
1 1 — 1
Xi x2 … xn
券 =U(Zj_ 务)
X2 …
・ ・ ・
・ ・ •
工「 尸 … 工厂 、
1 z 1
(2)用递推法(高阶-低阶)计算行列式.
① 找出递推公式,即找出D,与Di的关系.
② Di与Dn的元素要有完全相同的分布规律，只是Di比Dn少了一阶.
【注】递推法是考试的一个难点，也是重点，考生需要重视.
(3)用行列式性质计算行列n著研电子版网站：
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63乡考研数学真题大全解(数学一)
用行列式性质将要求的行列式进一步化成已知行列式.
(4) 用矩阵知识计算行列式.
① 设C = AB,4,B为同阶方阵，则|C|= I期1= |A| \B\.
② 设C = A+B,4,B为同阶方阵，则IC| = \A+B\，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式.
③ 设 A 为壮阶矩阵，则 | A* |=国",| (A-)* | = | |A|-2A | = | A |(-1,2..
【注】③极为重要.
(5) 用相似理论计算行列式.
① ⑷=Ha；.
1 = 1
② 若A相似于B,则|A|= \B\.
【注】以上关于行列式计算的公式易记，好用，考生应熟知.
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
L -------- - ~~~ -
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鼻小专题二 余子式和代数余子式的计算，刃
O余子式和代数余子式的计算
（1） 用矩阵计算代数余子式.
当国尹0时,4* = lAlA-1 .由于A，由A寸组成，求出A，,即得到所有的& ,但要注意,
此方法要求IA |尹0,这是前提,也是一种限制.
（2） 用特征值计算代数余子式.
设A为3阶矩阵,当A为可逆矩阵时，记其特征值为Ai ,AZ，捕.则A"1的特征值为A?1，芯1,
京，且由A* = \A\A~1 =人以2人34-1,可知4*的特征值为
Ai* = A1A2A3 •义 1' = A2A3 ，人； =A1A2A3 • A21 = A1A3 = A1A2A3 • A31 =4i 义 2,
-An A21 a31-
故由 A* =A12 A22 A32 9
_A13 A23 人33_
知 Ah + A22 + A33 = trCA* ) — AT + Az + A3 = A2A3 + AiAs + AiAz.
V 反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
念念不忘必有回响
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p.q 66第二部分线性代数弄乡考研数学真题大全解(数学一)
稣专题三'矩阵运算云
❶求矩阵A的〃次精A"
(1M为方阵,r(A) = 1且
记 „T
—afiT
于是 An == (aflT)(aflT)・・・(aflT)= «(/jTa) (/JTa) (^Ta)jJT
3
一(元a必)iA = [tr(A)]iA.
i=i
⑵试算出(或童)，找规律.
①若 A2 = kA,则 A1 = k^lA.
A2n = /E(若 k =-l,则出=E),
②若A。= kE,则
E =足a.
亦有可能试算A’，如A3 = kA，这些次数不会太高.
(3)4 —B+C.
若 A = B + C,BC = CB,则
A" = (B + C)" = B"+ nB^C+ w(n ~ B^~2C2-\---- C".
乙！
① 若 B = E,则 A” = E + nC + n(in~VC2-\---- C\
z!
② 若 BC = CB =O,则 4” =B"+C”.
(4) 用初等矩阵知识求P?AP?.
若Pi, P2均为初等矩阵,5 为正整数，则PTAP?表示对A作了与P】相同的初等行变换,
且重复m次;再对PTA作了与R相同的初等列变换,且重复n次.
(5) 用相似理论求4”.
若A 〜A,即 PTAP=A,则A = R1PT,4” =Ri*pT. .
【注】 求A”是一类区分度很高的题目，未来很有可能在这五个方面命制考题.
e关于a*的公式
设A为〃(">2)阶可逆矩阵，则
① AA* =A'A = \A\E.
② \A'\ = |A|z.
③ (AT)* = (A，)T.
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j58④(M)* A' ,(-A)- =(—l)iA*.
®A-1 = wA，-
⑥ A* = | A|A-1.
⑦ "*）T =出4 =（妒'）*.
⑧ （A*）* = |A|^2A.
⑨ •〔（4*）*|= |4|2‘.
⑩ （AB）* = B'A*.
【注】这些公式要熟记并会用.
❸分块矩阵
■Ai a2- Bi B2- -A】+B】 a2 +b2 ~
（1）加法:同型，且分法一致，则 + —
-A3 A4 - -B3 Bl -A3 + b3 A4 + B4 -
-A B~ 'kA kB -
（2）数乘以八卜
LC D-i -kC kD-
北 y- AX+BZ AY + BW
⑶乘法 ，要可乘、可加.
W- -CX+DZ CY + DW
【注】 对于（3）的运算要注意，分块相乘后，左边的仍在左边，右边的仍在右边.
（4）求逆.
-jg 0-
①若A= ，其中B是r阶可逆矩阵,C是s阶可逆矩阵，且A可逆，则
—U L —
-矿 o -
1
C1-
②若
其中可逆，则
C-i -
-fi-'DC 1 '—C^DB1
A?1
C1 - 矿 -B-'DCT 一
i
A「
A2
③主对角线分块矩阵？= ，副对角线分块矩阵Q = .・
A. As
若AG = 1,2，…,s）均可逆，且P,Q均可逆，则
A；1'
.・
PT =
A?1
- 考研电子用^^：- www.pdf2bo(血Com -乡考研数学真题大全解(数学一)
【注】考研对分块矩阵的运算要求不太高，掌握以上四种运算公式即能达到要求.
o初等矩阵的性质
① \E,i\=-l,\Ei]以)I = 1, | E,.以)| = k.
② E* = E”E?以)=E]t (k)，甥(k) = E以).
③ Ey} = E[j ,E、' (k) — E,)(—(龙)=E；(£).
④ E'j = | Etj |=—Ey ,
Eg) = | E4 以)| E孑i (b) = Eij (- k),
E* (k) = \El(k)\E~1(k) =^E,(+).
【注】记住④，能很快解决问题.
。求解矩阵方程
根据题设条件和矩阵的运算规则,将方程进行恒等变形，使方程化成AX = B,XA =B或
AXB = C的形式.
(1) 若A或A且B可逆，则分别可得解为X = A~ B,X = BA1 ,X = A 'CB1.
(2) 对于AX = B,若A不可逆，则将X和B按列分块，得
A© =(执,"",，*)，即 A& =履3 = 1,2,
求解上述线性方程组，得解&,从而得X = (&，辱
(3) 若无法化成上述几种形式,则应该设未知矩阵为X =(与)，直接代入方程得到含未知
量为xit的线性方程组，求得X的元素祠，从而求得未知矩阵(即用待定元素法求X).
【注】(2)与(3)考查较多，若含参数，则易命制大题.
-任 7。第二部分线性代数
,子矿电）勺 I 以网站'「-WWW.iPTfTbOOkTOi ii
71弄乡考研数学真题大全解（数学一）
-------------- --------•----
—
--------------------------------- …… ----------- -------------
--------------—4 '
"IK
考研电子版网站：www. pdf2book. com幻专题四矩阵的秩顼
I 1
解题要点
❶矩藤的秩的15个公式
(1) 设 A是 mXn 矩阵，则 0 W r(A) W min(?n,n}(由定义).
(2) 设A是mXn矩阵，则r(M) = r(A)a # 0)(由定义).
(3) 设A是mXn矩阵,P,Q分别是⑺阶、〃阶可逆矩阵，则
r(A) = r(B4) = r(AQ) = r(PAQ).
【注】 若r(AB) 1)阶方阵，则
(1) 当 〃 =2 时,(A* )* = A；
(2) 当〃>2,且A是可逆矩阵时,(A*)* = | A r 2A；
(3) 当〃>2,且A是不可逆矩阵时，(A*)* =。・
^^hhnhhhhhhhhhhhhhhhhhihhhhhhhbhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhmhhmmhhhhhh
(11) 设 A 是〃阶方阵,A2 =A，则 r(A)+r(A-E) = n.
(12) 设 A 是〃阶方阵,室=£，则 r(A + E)+r(A-E) = n.
(13) Ar = 0,其基础解系所含向量的个数5 = n —r(A).
(14) 若A〜A,则ni = n —r(AtE—A),其中A是s重特征根.
(15) 若A〜A,则心)等于考研电子版网站：Epdf2bo0k.com
7邑▲苧成弩乡考研数学真题大全解（数学一）
【注】秩是必考点，考生应多做训练,反复运用以上公式与结论.
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74弄乡考研数学真题大全解(数学一)
E
专题五线性方程组项
o解含参数的具体型线性方程组
(1) 将系数矩阵(齐次方程组)或增广矩阵(非齐次方程组)先用初等行变换化为阶梯形,
再用方程组理论判别、求解.
(2) 对“方形”(方程个数=未知数个数)的方程组.
① | A |尹00方程组有唯一解0A不是/(A)的零点.此时可用克拉默法则求解.
② |出=00；是了⑴ 的零点.得出这些零点后，逐个代入方程组，再求解.
③ 注意这个知识点的变体形式:含参数的向量之间的关系.
e求解两个具体型方程组的公共解与同解问题
(1)求两个方程组的公共解.
①齐次线性方程组4眦/ = 0和B^nx = 0的公共解是满足方程组= 0的解，即联立
求解.同理，可求Ax = a与Bx = 0的公共解.这里对读者的计算能力提出较高要求，理论
上没有什么难点.
② 求出=。的通解砒1+处& ----雄“代入BmXnX = 0,求出ki(i = 1,2，…,s)之
间的关系，代回A„x„x = 0的通解，即得公共解.
③ 若给出4汕应=0的基础解系争，…，攵与BniXnX =0的基础解系1J1 ,1|2，…，华,则公
共解
y =
+k2^2 4---- ks^s
= Ziiji
+z2i/2
H----------
艮 心 如2 — — lt1]t = 0,
P §1 +^2^2 + ,,, — Am —
解此式子，求出ki或Ig = 1,2，…,s；j = 1,2,•••,$),即可写出y.
(2)同解方程组.
若两个方程组A^x = 0和Bgx = 0有完全相同的解，则称为同解方程组.于是，
Ax = 0,Bx = 0是同解方程组
0仙=0的解满足Bx =0,且Br = 0的解满足Ax = 0(互相把解代入求出结果即可)
<=^r(A) = r(B)，且 Ax = 0 的解满足 Bx = 0(或 Bx = 0 的解满足 Ax = 0)
='(:])(三秩相同，此方法较方便)•
<=>r(A) = r(B)
❸抽象型方程组的解的判定
主要有以下三条.
(1) Ac =0： 总有解，至少有零解.
(2) A„x„x = 0： r(A)= 〃，只有零解；
KA) 不能表示.
② rCA) = r(A : fl) = n<=>唯一解G唯一表示法.
③ r(4) = r(A ! /J) < n<=>无穷多解■无穷多种表示法.
【注】含未知参数是常考题.
❸山，血，…,a”的向量个数与维数的关系
(1) 若向量个数大于维数，则必相关.
(2) 若向量个数等于维数，则
I ai,a2,・・・,&〃 1 = 00线性相关；I。1血，…，a” 1尹。0线性无关.
(3) 若向量个数小于维数，则
化阶梯形A=(垢血，…,a“)主丝冬
① r(A) < 线性相关.
② y(A) = n<=^线性无关.
③ 若线性相关，问与a】，穹时肝粳响<膈知的表示茉系，贝!1回到“2”即可.
79穴乡考研数学真题大全解（数学一）
【注】含参数亦常考.
* * ' * r * * * * * • ' . > ' ' *. . ' ' ' • - ■ •- ' '
O求极大线性无关组
给出向量组ai ,a2
（1） 初等行变换不改变列向量组的线性相关性.
（2） 求此极大线性无关组.
① 构造 A = （ai 02
② 4--------> B （阶梯形）.
③ 算出台阶数广，按列找出一个秩为r的子矩阵即可.
❸向量组等价
给出向量组（I ）：ai ,，2，…,a“向量组（II）:Pi
在a,（i = 1,2，…,s）与flj（j = 1,2,…，t）同维的条件下，若a；均可由pi，…，&线性表
示，且0均可由a,,a2, •,«.线性表示，则称（I）与（U）等价.
【注】（1）向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列
数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.
（2） 4,B 同型时,AMB0r（A） = r（B）^PAQ = B（P,Q 是可逆矩阵）.
（3） a, 0（/ = L2.・・・,s。= 1,2,…“）同维，则
…，垢｝三S，闻…或｝
0｛。1，。2，・・・皿｝与®,fit，…，时可以相互表出
<^r（ai ,a2,a、）=厂（四，，2，…,我），且可单方向表出，即只需知02，…，垢与，
…q这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出
<=>r（ai 血，…，％）=广（A …,fit） = r（ai 02,…,亿；P1，发，…,A）（三秩相同）.
❸过渡矩阵
设R"的两个基m，%,•••,〃”；&,如，…,&,有
…，争）—
则C称为由基&&,•••,&到基心，华，…，华的过渡矩阵（注意C的位置）.
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专题七特征值与特征向量蠹
O用特征值命题
（1瓜是A的特征值<=> MoE-A| = O（建方程求参数或证行列式|AoE-A| = O）；
义。不是A的特征值0 |AoE-A|#O（矩阵可逆，满秩）.
【注】这里常见的命题手法：若\aA+bE\ = O（或oA+feE不可逆）,a^0,则一#是
A的特征值.
⑵若义"，…，兀是4的〃个特征值，则
[tr(A)=义1 十人 2 --------A„.
（3）重要结论.
①记住下表.
矩阵 A kA A* /(A) AT A* P'AP
3 J W
特征值 A kX A
p*
对应的特征向量 £ & & &
表中人在分母上的，设义尹0.
② 六上）为多项式,若矩阵A满足/（A） =O,A是A的任一特征值，则人满足=0.
③ 虽然4丁的特征值与A相同，但特征向量不再是g,要单独计算才能得出.
e用特征向量命题
（1） ^（# 0）是A的属于特征值义0的特征向量eg是（义oE —A）x = 0的非零解.
（2） 重要结论.
① 互重特征值义至多只有&个线性无关的特征向量.
② 若&，晶分别是A的属于不同特征值兀的特征向量，则包线性无关. =
③ 若旨，&是A的属于同一特征值义的线性无关的特征向量，则勿&+奶包（加以2不同时
为零）仍是A的属于特征值人的特征向量.（常考其中一个系数（如&2）等于0的情形）
④ 若窗，岳分别是A的属于不同特征值,义2的特征向量，则当kl丰0,为2尹。时，妇& +
岫2不是4的特征向量.（常考知=船=1的情形）
&用矩阵方程命题
（DAB = O =>A（Pi，夕2 ,•••,“”） = （0,0,•••,©）, HP Api = Ofl, （i = 1,2,•,,»«）,若其中艮均为
非零向量，则每一个0均为4的属于特征值人=0的特征向量.
（2）AB = C =>A（/fc ,&,•",&） = （，，¥，■•.•，为） =^= （Aift ,义2#2，…，人/.）,即 Afii = =
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82第二部分线性代数
1,2,“・,如),其中Yi =雄,&为非零向量，则0为A的属于特征值n的特征向量.
(A3P) = PB ,P 可逆=>P~lAP = B=>A 〜Bn人a = AB.
1
1
(4)若A的每行元素之和均为妇则A 是A的属于特征值
1
龙的特征向量.
工 O用秩命题
若r(A) = 1,则-1 =…=A^i = 0,A„ tr(A),且&，…,Ji是n — 1重特征值义=0的
线性无关的特征向量.弄乡考研数学真题大全解（数学一）
-------
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---------*----—--------
------------------ -------
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... ....... .....■ f...........
— —— -- — 1 —--------- -6, -- ---------
——〜――— ————— ——
- - ------------------- --~-
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第二部分线性代数
幻专题八相似理论哉
冬解「题虹司
❶A’的相似对角化
设A为如阶矩阵.
(1) 充要条件.
① A有n个线性无关的特征向量04〜A.
② A 是 rii 重根，则 rii = n~ r(XiE — A)<=>A 〜A.
(2) 充分条件.
① A是实对称矩阵〜A.
② A有&个互异特征值〜A.
®A2 = A=>A 〜A.
©A2 = E=>A 〜A.
⑤r(A) = 1 且 tr(A) # 0=>A 〜A.
(3) 必要条件.
A~A^r(A)=非零特征值的个数(重根按重数算).
(4) 否定条件.
① 4丰O,Ak = O(k为大于1的整数)。4不可相似对角化.
② 4的特征值全为妇但A # kE^A不可相似对角化.
❷A相似于B
设A,B是两个n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P,使得P^ AP = B,则称A相似于B,记成
A〜B.
【注】 若•〜B,B〜C,则A〜C.这个性质(传递性)以后常用.
(1) 四个性质.
若A〜B,则
① I A H|B I.
② 心)=r(B).
③ tr(A) = tr(B).
©Aa =扁(或 |AE-A|= lAE-Bl).
(2) 重要结论.
① A〜B=>AT〜BT ,A-1〜矿1 ,A*〜B*.(后面两个要求A可逆)
② ，—考研电字版网站： www.pdf2book.com
85考研数学真题大全解（数学一）
【注】 由 P AmP = B ,P ' f(A)P = f(B),有 A* =PB"'PT,f(4) =W(B)PT.
若 B = B,则 4"，= PA"'P-l,f(A) = W)PT.
③ A〜B, B〜〜A.
【注】 P AP = B,Q 'BQ = A=>Q： P APQ = A=>(Pg) lAPQ = A,
令PQ = C,则CT«? = a,考试可求C.
④ A〜A ,B〜〜B.
【注】 P = A Q IBQ = a AP = Q ^BQ^QP APQ 1 = B
=>(PQ |)a(PQ 1)= B.
令PQ = C,则C AC = B,考试可求C.
❸实对称矩阵与正交矩阵
（1） 若4为实对称矩阵，则
① 特征值均为实数，特征向量均为实向量.
② 不同特征值对应的特征向量正交.
（即人1 尹人2=*&1 J_ ，&2）=0）
③ 可用正交矩阵相似对角化.
（即存在正交矩阵P,使P^'AP = PTAP = A）
（2） 若P为正交矩阵，则
PTP = E 0PT = PT
0P由规范正交基组成
0PT是正交矩阵
<=>PT是正交矩阵
<=>P*是正交矩阵
<=> —P是正交矩阵.
（3） 若P,Q为同阶正交矩阵，则PQ为正交矩阵.（P + Q不一定）
【注】（2）,（3）结合，若p,。为同阶正交矩阵，则pTe，P2 ,-p e等均为正交矩阵.
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念念不忘必有回响&乡考研数学真题大全解（数学一）
£专题九二次型孩
/解题要点场
❶配方法化二次型
（1） 含平方项.
将某个变量的平方项及与其有关的混合项合并在一起，配成一个完全平方项.如法炮制,
直到配完.
（2） 不含平方项.
创造平方项,如含有©互项，令
J-T1 = >1 + >2 >
I工2 =少—孩，
使刀工2 ="—晃，出现平方项，再按（1）的方法配方.
（3） 常用场合.
① 仅要求求出正、负惯性指数P，q及其反问题.
② 判断A的正定性.
③ 小题居多.
（4） 矩阵语言.
对于实对称矩阵A,必存在可逆矩阵C,使得CTAC = A，其中A是对角矩阵.
【注】（1）4（标准形）不唯一，视C而定.
（2） 正、负惯性指数"q唯一.
（3） r（A） = p + q.
❷正交变换法
对于，=x1 Ax.
① 求A的特征值人1，义2，•••，“；
② 求A的对应于特征值人1，人2,…,”的特征向量•••，&； <
③ 将&，&2，…，晶正交化（若需要的话）、单位化为fjl，邛2，..・*”；
④ 令。=3】，华，・・・，职），则Q为正交矩阵，且QT'AQ = 2TA0 = A.
于是
f = xTAr - （2y）TA（Qy） = y^Q^AQy = yTAy.
❺实对称矩阵的合同
（DA,B是同阶实对称矩阵，则
A,B合同0存在可逆矩阵C,使CTAC = B0& = =如・
Pb^a
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88第二部分线性代数
【注】 要区分4,B合同与4,B的等价、相似.
(1) 4,B同型，则等价0心)=r(B).
(2) 4,B为同阶方阵，则f'B相似©存在可逆矩阵P，使—P 5,
〜〜A^A〜B.
(2) 已知 A,B,求 C,使得(5AC = B.
(3) 4合同于B ,B合同于C,则4合同于C.
【注】PTAP = B,Q^BQ = C^P^APQ = C=>(PQ^A(PQ) = C.
令D = PQ,则DrAD = C,考试可求D.
❹正定二次型
n元二次型/'(zi,工z,…，而,)=xTAc,若对任意的x = (xi ,工2,z.)t尹0,均有xTAr >
0,则称为正定二次型，称二次型的对应矩阵A为正定矩阵.
(1) 前提.
A = AT(A是对称矩阵).
(2) 二次型正定的充要条件.
〃元二次型，=xTAx正定
0对任意x尹0,有xTAx > 0(定义)
<=>A 的特征值“ >0(/ = 1,2,•••,〃)
<=>/的正惯性指数p = n
0存在可逆矩阵D,使A = DTD
04与E合同
瑚的全部顺序主子式均大于0.
(3) 二次型正定的必要条件.
① S > 0(z = 1,2,•••,«).
② |A|>0.
(4) 重要结论.
①若A正定，则kA,AT\A' ,4",CTAC正定(k>0,m为正整数，|C|#0).
A O
②若A,B正定，则A+B正定, 正定.
-O B
【注】 ①与②结合，若A正定，则寮+2/+3E + 44T+54,正定，正
定等.
③ 若A,B正定且AB =BA,则AB正定.
④ 若A正定且是正交矩阵，则A = E.
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89考研数学真题大全解（数学一）第
三
部
分
概
率
论
与
数
理
统
计
'考研电于版网站:' www/'pdT2bbok?c6m第二部分概率论与数理统
厂魂一随机事件和概率
O重星公式求概率
(1)用对立.
① T\jb = a n b,ab =a\jb. (对偶律)
② P(A) = l-P(A).(逆事件概率公式)
【注】①常用于抽象事件，②常用于具体复杂事件而其对立事件简单的情形.
(2) 用互斥.
\J B = A \JAB = B \J AB = AB ]J AB \JAB.
②Bi ,B2 ,B3为完备事件组,A = AB】U您2 U ab3.
®P(AB) = P(A-B) = P(A)-P(AB).
④ a. P(A + B) = P(A)+P(B)—F(AB).
b. P(A + B + C) = P(A)十 P(B) + P(C) 一 P(AB) - P(BC) 一 P(AC) + P(ABC).
c. 若Ai ,A2，…,A” (ti > 3)两两互斥，则
F(Cl A,)=史P(A,).
«=1 i=l
【注】①与②很重要，在做题中要注意总结心得.
(3) 用独立.
① 若A】,A2,・”,An相互独立，则
P(A1A2-A„) = P(A)P(A)“P(A,).
② 若A1,A2,-,A„(zi> 3)相互独立，则
P(U A,)=1-P(U A)= 1-P(Q A)
i=l i=l 1=1
=1 — JJ P(AQ = 1 — H [1 — P(A,)]・
i=l i=l
(4) 用条件.
① P(A | B)=号瓮)(P(B) > 0).
② P(AB) = P(B)F(A | B)(P(B) > 0)
=P(A)F(B | A)(F(A) >0)
=P(A) + P(B)—P(A + B)
—P(A)—尸(.A B)考研电子版网站： www.pdf2book.com
9§ ▲三M少考研数学真题大全解(数学一)
【注】 当 P(A1A2)> 0 时,P(AiAzA3)= P(A1)P(A2 I AOP(A3 I A1A2).
③ A,A,,…,A“ 为完备事件组,P(A,) >0G = 1,2,•••/),则
P(B)=史P(A；)P(B I A,).
t=l
④ 承接③,若已知B发生了，执果索因
c,a 3、 P(A,B) P(A,)P(B|A,) …
P(A, | B)=-祯号= ----------- —>J = 1,2,…，"•
史P(A；)P(B | A,)
1=1
(5)用不等式或包含.
① O〈P(A)《1.
② 若 A [ B,则 P(A) < P(B).
③ 由于 AB^ACA + B,故 P(AB) < P(A) < F(A 十 B).
【注】不等关系或包含关系会产生不等式，是考研命题的重点.
协冷菱'京}X尸学悟二E a提求；璀 e典域"：遗,督笋、投整斜岬技
(6)用最值.
当遇到与max{X,Y},min{X,Y}有关的事件时，下面一些关系式是经常要用到的.
{max{X,Y} Wa} = {X a} = {X>a} U {V>a};
{min{X,y} a} = {X>a} Q {Y>a};
{max{X,Y} < a} U {min{X,Y} < a} ； {min{X,Y}〉a} U {max{X,Y}〉a}.
【注】最值问题一宜是命题重点.
e事件独立性的判定
① A与B相互独立0A与百相互独立如与B相互独立如与E相互独立.
【注】将相互独立的事件组中的任何几个事件换成各自的对立事件，所得的新事件
组仍相互独立.
② 对独立事件组不含相同事件作运算，得到的新事件组仍独立，如A,B,C,D相互独立,则
AB与CD相互独立,A与BC-D相互独立. *
③ 若P(A)>0,则A与B相互独立0P(B | A) = P(B). •
④ 若0 V F(A) V 1,则A与B相互独立吕P(B | A) = P(B | A)
<=>P(B I A)+P(B I A) =1.
⑤ 若P(A) = 0或F(A) = 1,则A与任意事件B相互独立.
⑥ 若0P{X = e}.
(3) X 〜_y(z)，则 P{X e 1} = J/CQclr.
(4) 反问题：已知概率反求参数.
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第三部分概率论与数理统
<■----- -—--------------------------------------
V
反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
>--------- ---------------------------——------- 念念不忘必有回响
J nRnjjitJ； www. p'dfSbook com1考研数学真题大全解（数学一）
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第二部分概率论与数理统
稣专题三-维随机变量函数的分布二
O随机变量X的函数Y = g(X)的分布
设X为连续型随机变量，其分布函数、概率密度分别为Fx(z)与fx(x),随机变量Y =
g(x)是x的函数，则y的分布函数或概率密度可用下面两种方法求得.
(1) 分布函数法.
直接由定义求Y的分布函数
Fy(v)= P{Y< y} = P{g(X) w '} = [ /x(x)dx.
如果Fy(y)连续，且除有限个点外,殆(少存在且连续，则丫的概率密度片3)=玲3).
(2) 公式法.
根据上面的分布函数法，若V = g(z)在(a0)上是关于Z的严格单调可导函数，则存在
X =入3)是;y = g(x)在(a,》)上的可导反函数.
...• I 入'(、)I， a),则z = |的概率密度为
/z(z) = [ | y I fCyz,y)dy^^ f | y \ /x(yr)/y(>)dy.
J ―oo J —oo
③最值函数的分布.
a. max{X,Y}分布.
设(X,Y) F(工，少，则Z = max{X,y}的分布函数为
FmJz) = P(max(X,y} (Z)；
Fmin(z)= 1 — [1 — FX1 (z)][l — Fx； (z)] —[1 — FX,(Z)]. *
特别地，当X,G = 1,2,•••,〃)相互独立且有相同的分布函数FGr)与概率密度/(^)时，
FmaxG) = EF(J：)]n,/max(J：)= nEFCx)]"-1 /(x)；
FjninCx) = 1 — El — FGr)]'，/min(z) = ”[1 — F(x)]^1 f(x).
这些结果极为重要.
((3) 离散型，连续型)一连续型.
X 〜P.,Y 〜片3),则 Z = g(X,Y)(常考 X 士 Y,XY 等)，则
① X,Y独立时，可用分布函数法及全概率公式求Fz(z).
② X,Y不独立时，用分布函数法.
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104K
第二部分概率论勺数加兖
【注】常见分布的可加性.
有些相互独立且服从同类型分布的随机变量，其和的分布也是同类型的，它们分别是
二项分布、泊松分布、正态分布与X2分布.
设随机变量X与Y相互独立，则：
若 则 X + Y~ B(n + m,/>)(注意 0 相同)；
若 X〜心),丫〜心),则 X + Y~P(Ai+A2)j
若 X 〜N(“i )»y ~ N(“z ,oi),则 X + Y 〜N(“i + “2+澎)；
若 X 〜,("),y 〜于(m),则 X + Y 〜,(” + 〃).
上述结果对兀个相互独立的随机变量也成立.
§学习笔记§
•整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路工 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
105研数学真题大全解 （数学一）
106第三部分概率论与数理统泥
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107乡考研数学真题大全解（数学-）
［专题六数字特征：｝
❶数学期望
⑴X.
有限项相加,
①X〜P.^EX =目，"无穷项相加（无穷级数）.
'+°° 有限区间积分（定积分），
②X 〜f(x)=>EX = xy(x)dz
无穷区间积分（反常积分）.
—OO
(2)g(X).
g为连续函数(或分段连续函数).
① x 〜p,,y = g(x)=>Ey=泠 g3)M
② x 〜y(x),y = g(x)=>EY = pga)y(x)ck.
J ―OO
(3) g(X,Y).
① (X,y)〜贝，z = g(x,y)=>EZ =习
* i -
② (X,Y)〜f(x,y),Z = g(X,Y)=>EZ = g(x,y)f(x,y)dxdy.
J — J —OO
(4) 性质.
①玖=a,E(EX) = EX.
② E(aX+6Y) =oEX + 3EY,E(、a；Xj)= \a；EX,(无条件).
z = l i = l
③ 若X,Y相互独立，则E(XY) = EXEY.
g方差
(1) 用公式求DX.
DX —EE(X-EX)2] = E(X2)-(EX)2.
(2) 用定义求DX.
X 〜畛DX = E[(X —EX*]=、(而一EX)，仑，
X 〜/'(z)nDX = E[(X-EX)2] = (x - EXV fCx^dx.
J ―OO
❸协方差
Cov(X,y)= E(XY) -EXEY.
。相关系数
△ Cov(X,Y) = oex,y不相关
g ===--------------
标府以0嘻偏噱站：『dfgem
咚灰J08第二部分 概率论’J数理统il
&协方差与相关系数的性质
① Cov(X,Y) = Cov(Y,X).
② Cov(aX,6Y)=泌 Cov(X,V).
③ Cov(x + x2 ,y)= Cov(Xi ,y)+ Cov(x2 ,y).
④ I PXY I W 1.
⑤ pxy = 10P{y = aX +b} = l(a > 0)；
flxY =— 1<=>P{Y = aX +6} = l(a V 0).
考试时，丫 = aX +b,a > 0=>pxy = 1;
Y = aX +b,a V 0=>pxy =— 1.
⑥ x,y 独立=>|Oxy = o.
&独立性与不相关性的判定
(1) 用分布判独立.
随机变量X与Y相互独立，指对任意实数了点，事件(XP{Y = yj}.
(2) 用数字特征判不相关.
随机蓼量X与V不相关，意指X与丫之间不存在线性相依性，即pxy = 0.
pxv — o <=)Cov(x,y)= o<=>e(xy)= ex • ey
0D(X + Y) =DX + DY0D(X - V) = DX + DY.
(3)程序.
先计算c°v(x,y),而后按下列程序进行判断或再计算：
O0X与V相关=>x与丫不独立.
x,v独立，
Cov(X,y)= E(XY) - EXEY< 分布推断
=o<=>x与y不相关，通过< x,v不独立.
〔反证法.
(4)重要结论.
① 如果X与Y独立，则X,V不相关，反之不然.
② 由①知，如果X与丫相关，则X,丫不独立.
③ 如果(x,y)服从二维正态分布，则x,y独立ex,y不相关.
④ 如果X与Y均服从0 — 1分布，则X,Y独立0X,Y不相关.
【注】上述讨论均假设方差存在并且不为零.
。切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望与方差存在，则对任意e > 0,
P{|X-EXIM〈辱或 P (I X-EX | 0,有
limP{ | Xn—a |>e} = 0 或 limF{ | X, — a | Ve} = 1,
则称随机变量序列{X"}依概率收敛于a,记为
limX〃 = a(P)或 Xn —~^a
@辛钦大数定律
设{X,}是独立同分布的随机变量序列，如果EX, =〃(£ = 1,2，…)存在测
71 1=1
即对任意£>0,有
❸中心极限定理
、一 Q I 碰 ,gX, —亨-8
设Xi〜F(F，j),R = EXi,£=DXi=>£Xi〜N(wm2')n —— 〜N(0,l),即
t=i
［史Xi —砂
limP< B- >=中(z).
n-»oo /— 工
1
&学习笔话
［、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思电
反反复复扎扎实实
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「电 以网站：www.pdf2book.comIE
第三部分概率论与数理统
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113It
传^亨 乡研数学真题大全解（数学一）
Ox2分布
（i）典型模式.
若随机变量X】，Xz，…,X,相互独立，且都服从标准正态分布，则随机变量X =史X?服从
自由度为〃的％2分布，记为X〜％2 （笈）.其概率密度/（X）的图形如图（a）所奈.特别地,
X?〜，⑴.
对给定的a（0%：（"）}=1（"）/（工）& = a
的］：（”）为％2（〃）分布的上a分位点（如图（b））.对于不同的a,n,^2（n）分布上a分位点可
通、查表求得.
（2顼分布的性质.
① 若 X1 〜U s ） ,Xz 〜Z2（n2） ,Xi 与 Xz 相互独立，则 X1 + x2 Ts + ”2）.
一般地，若X,〜,3）（£= 1,2，…,m）,Xi,Xz，…,X”相互独立，则
m m
2x,〜寸（、您）.
3=1 i=l
② 若 X 〜f （〃），则 EX = n,DX = 2.n.
❷t分布
（1） 典型模式. “° 1
f（x）
设随机变量X〜N（0,1）,Y〜％2（”），x与V相互独立,则随机 /正态）
变量t = 服从自由度为〃的8分布，记为t〜£（“）.
VY/n / n=l\
£分布概率密度r（z）的图形关于工=0对称（如图），因此
。
Et = 0（" 2 2）.
（2） 1分布的性质.
由［分布概率密度尸（Q图形的对称性知
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q4第三部分概率论与数理纸计
P{t>— Z„(n) } = P{t> },
故 ri-o(n) =— taM.
当a值在表中没有时，可用此式求得上a分位点.
❸F分布
(1) 典型模式.
设随机变量X〜％"外),丫〜％2(&),且X与丫相互独立，则F =
涔服从自由度为S理)的F分布，记为F〜FS，橇)，其中
丫/〃
2
m称为第一自由度，龙称为第二自由度.F分布的概率密度 3
的图形如图所示.
(2) F分布的性质.
① 若 F 〜F(〃i,〃2),则*〜FS,〃i).
r
② F—aOi ,〃2)= T / 1-------・
孔(〃2 ，)
第2个性质常用来求F分布表中未列出的上a分位点.
O正态总体的常用结论
设X.Xz,…,X,是取自正态总体N")的一个样本，下,S2分别是样本均值和样本方
差，则
① 次〜即〜N(0,1)；
4n
② (X, -#)2 〜％2(几)；
b i = l
③ 也二平=史(圣二gy J — 1)("未知，在②中用下替代G；
(5 J
j = i ' ■
®x与S，相互独立，加％— Q 〜t(n — 1)(。未知，在①中用S替代a).进一步有
〃(弋Q2
〜F(1,如一］).
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响贝乡考研数学真题大全解（数学一）第三部分概率论与数理统乡考研数学真题大全解（数学一）
[ 专题九 参数估计与假设检验*』
岂解题要点多
o矩估计
'①用一阶矩建方程:令X = EX,
（]）对干一个参数
J[ ②若①不能用，用二阶矩建方-1 程n:令=E（X2）.
I n J=1
一个方程解出一个参数即可作为矩估计.
（2）对于两个参数,用一阶矩与二阶矩建两个方程，即①X = EX与②工、X? = E（X，）,
n i=l
两个方程解出两个参数即可作为矩估计.
e最大似然估计
（1） 写似然函数.
IT力（而；。）（这是离散型总体x取，…,工”的概率），
1 = 1
L（JT1 ,72，…，1,
= 5 M
.n （这是连续型总体x取门e ,…，石的联合概率密度）.
:=1 ,
若似然函数有驻点,则令务=0或辿哥 =0,解出0,
（2） 求参数]若似然函数无驻点（单调），则用定义求6,
、若似然函数为常数，则用定义求0，此时0不唯一.
（3） 最大似然估计量的不变性原则.
设3是总体分布中未知参数。的最大似然估计，函数u = u（0）具有单值反函数。=Ku）,
则"=uQ）是w（0）的最大似然估计.
❸估计量的评价
（1） 无偏性.
对于估计量礼若曲=仞称0为。的无偏估计量.
（2） 有效性. •
若用| = 9,E92 = 0,即布，&均是。的无偏估计量，当Ddy 0,有
limP{ | d-e |>e） 0,
或 limP{ | 0 — 0 |
