2数学（试题卷）2024届高三第六次月水平检测_2024届湖南省常德市第一中学高三上学期第六次月考_湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第六次月考数学

8.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲 常德市一中 2024 届高三第六次月水平检测 1 线。人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y = x+ 的 x 数 学 图象与性质”，经探究它的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究 （时量：120分钟 满分：150分 命题人：高二数学组) b 可以发现对勾函数 y =ax+ ,(a0,b0)的图象是以直线 y =ax,x=0为渐近线的双曲线. 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 每小题只有一个选项符合题目要求） x  x−8  1 1.全集U=R 集合A=x −2,则 ∁ U A =( ) 现将函数y=2x+ x 的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心  x−2  率是（ ） A. B. 10−2 5 5− 5 2.已知复数z 满足 z(1−i)2 =(a−i)2 ,aR,若z 为纯虚数，则a=（ ） A． B． C．10−4 5 D． 10−4 5 2 2 A.0 B.-1 C.1 D.2 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的给5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 3.直角梯形 中，角 为直角， 若 ，则 9.下列命题是真命题的有（ ） 1 A. 若 0a1,则lna+ −2. B.若2a 2b(a,bN*),则a−b−1 1 10 lna A. B. C. 1 D.2 2 9 x2 +3 B.若a+b+c=0且abc，则c b a b D.若函数y = ，y . 4.记S 为等差数列{a }前n项和，已知 S = 91  ，则cos(a +a )=（ ） x2 +2 n n 13 24 5 9 10．已知圆锥AO 的底面圆O 的半径与球O 的半径相等，且圆锥AO 的表面积与球O 的表 2+ 6 2− 6 6− 2 6+ 2 1 1 2 1 2 A． B． C． D．− 面积相等，则下列结论成立的有（ ） 4 4 4 4 1 2 5.《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无 A．圆锥AO 的母线与底面所成角的余弦值为 B．圆锥AO 的高与母线长之比为 1 3 1 3 广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽 3丈，长4丈，上 C．圆锥AO 的侧面积与底面积之比为3 D．球O 的体积与圆锥AO 的体积之比为 2 1 2 1 棱长2丈，高 1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（ ） 11．设A是抛物线C:x2 =4y上一点，F 是C的焦点，A在C的准线l上的射影为M ，M 关 于点A的对称点为N ，曲线C在A处的切线与准线l交于点P，直线NF交直线l于点Q， 则（ ） A．FM ⊥FN B． AP∥NQ C．△FPQ是等腰三角形 D．|MQ|的最小值为2 A．5立方丈 B．20立方丈 C．40立方丈 D．80立方丈  x− y  12．已知函数 f (x)的定义域为(−1,1)，且满足 f (x)− f (y)= f ，当x(−1,0)时，   6.毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排 1−xy 在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（ ） f (x)0，则（ ） A．66种 B．60种 C．36种 D．24种 1 1 2 1 1 1   A. f (x)是奇函数 B. f (x)是增函数 C. f   + f    f   D. f   + f    f   7．已知函数 f(x)=sinx+ (0)，对任意的xR，都有 f(x+1)= f(−x)，且 f(x)在区 3 4 3 3 4 2  6     间− , 上单调，则的值为（ ） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）  4 12 n   5 2  1 ( )n A． B． C． D． 13.3 x −  的展开式中所有项的二项式系数之和为 64，则 a2 +a+ b 的展开式中a5b 6 3 6 3  x 的系数为 2024届高三第6次月考数学试卷 第 1 页 共 2 页 {#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}14.某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25)。  8 x  8 y  8 x y  8 ( x −x )2 为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[67，n)内抽 i i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 取学生，且 P(67≤X≤n)＝0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到 20名学生的分值 600 592 43837.2 93.8 如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86， 88，93．则该班抽取学生分数在分数段[67，n)内的人数为 ______ 人 (1)求y关于x的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为84%，试估算2024年顾客 (附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－ 对火车站投诉的次数； 3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973) (2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这 8年中有6年被评为“优秀”，2 15.定义：各项均不为零的数列a 中，所有满足a a 0的正整数i的个数称为这个数 年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为X ，求X 的 n i i+1 分布列和数学期望. 5 列a 的变号数.已知数列b 的前n项和S =n2 −6n−2a（nN，a− ），令 附：经验回归直线yˆ =bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： n n n 2 n 4 xy −nxy a n =1− b （nN），若数列a n 的变号数为2，则实数a的取值范围是___________. bˆ= i=1 i i ,aˆ= y−bˆx n  n (x −x)2 16．已知函数 f(x)和g(x)的定义域分别为D 和D ，若对任意的x D 都恰有n个不同的实 i 1 2 0 1 i=1 数x,x ,x , x D ，使得g(x)= f(x )（其中i=1,2,3, n,nN+），则称g(x)为 f(x)的“n重 20．（本题12分）已知数列a 满足a =1,a =2a +3n. 1 2 3 n 2 i 0 n 1 n+1 n 覆盖函数”．(1) 若函数g(x)=cosx(0x4π)是 f (x)= 2x −1 （, 0 x4）的“n重覆盖函 (1)令b = a n ，求证：b −b 是等比数列； 2x +1 n 2n n+1 n 1 77 ax2+(2a−3)x+1,x1 2x−1 (2)令c = ，c 的前n项和为T ，求证：1T  . 数”,则n= ； (2) 若g(x)= 为 f(x)=log 的“2重覆盖函 n a n n n 60 log x,x1 1 2x+1 n 2 2 x2 y2 数”，记实数a的最大值为M ，则sin[(M +1)]= ． 21．（本题12分）已知椭圆E: + =1的上顶点为P，圆C:(x−1)2+ y2 =r2(r0)在椭圆 8 4 四．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） E内． 17．（本题 10分）在四棱锥 A−BCDE 中，AC，BC，CD两两垂直，AC=BC=BE=1，CD=2， BE∥CD. (1)求r的取值范围； (2)过点P作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB 与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求 ST 的 (1)求证：DE⊥平面ACE； (2)求直线BD与平面ACE 所成角的余弦值. 最大值，并计算出此时圆C的半径r． 18．（本题 12分）在 ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b2 =c(a+c). π sinC 22．（本题12分）已知函数y =sinx在x= x (x 0)处的切线方程为y =ax+b，且对任 (1)若B= ，求 的值； 0 0 4 sinA 意x0，都有sinxax+b恒成立。 (2)若 ABC是锐角三角形，求 3sinB+2cos2C的取值范围．  （1）求函数在点x= 处的切线与坐标轴围成的三角形面积； 4 19. （本题 12分）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许   多人都会打电话进行投诉。某市火车站为了解每年火车的正点率x%对每年顾客投诉次数 （2）求证：x 0    0, 2   ； y（单位：次）的影响，对近 8年（2015年～2022年）每年火车正点率x%和每年顾客投 （3）若10abm，求正整数m的最小值. 诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 2024届高三第6次月考数学试卷 第 2 页 共 2 页 {#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}