文档内容
2026 届高三年级第二次学情调研测试
数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5 mm黑色笔迹签字笔
写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
5.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则集合
A. B. C. D.
2.已知复数 ， 为虚数单位，则
A.2 B. C. D.
3.首项为 的等差数列，从第5项起开始为正数，则公差的取值范围是
A. B. C. D.
4.已知向量 ， ，若 ，则实数 ， 满足的关系式为
A. B. C. D.
5.已知圆台的母线与底面所成的角为 ，上、下底面半径分别是1和2，则该圆台的表面积是
A. B. C. D.
6.若 ，则 的值为
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则
A. B. C. D.
8.已知向量 ，且 ，若向量 满足 ，则 的最大值为
A.3 B. C.1 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9.已知 ， 是空间中两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题正确的是
A.若 ， ，则 B.若 ， 且 ，则
C.若 ， 且 ，则 D.若 ， 且 ，则
10.若 ， ， ，则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
11.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列说法正确的是
A.当 时， B.函数 有2个零点
C. ， ，都有 D. 的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，其中 是 和 的等差中项，则
_______________.
13.已知定义在 上的函数 的图象关于 轴对称，且函数 在 上单调递增，则不等式
的解集为_______________.
学科网（北京）股份有限公司14.已知函数 ， ， ，
在区间 上单调，则正整数 的最大值为_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么 后物
体的温度 可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.
现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52℃.
（ ， ， ， ）
（1）求 的值（精确到0.01）；
（2）若要将物体的温度降为42℃，32℃，求分别需要冷却的时间（精确到0.1 min）
16.（15分）如图，在矩形甬道 中（假定甬道 ， 可以无限延伸）， ， ，
， 分别为边 ， 上的动点，且 ，设 .
（1）若 的面积记为 ，写出函数解析式 ；
（2）求 的最小值.
17.（15分）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，且 ， ，
， ，平面 平面 .
（1）求证： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若三棱锥 体积为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.（17分）设函数 .
（1）判断并说明函数 的零点个数；
（2）记 ，
①设 ，试讨论函数 的单调性；
②若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
19.（17分）已知数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 为 在区间 内的项的个数.
①求 ， ， ；
②求数列 的前 项的和 .
2026 届高三年级第二次学情调研教学质量监测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.答案：A
解析： ，即 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 .故选A.
2.答案：C
学科网（北京）股份有限公司解析：因为 ，所以 .故选C.
3.答案：B
解析：设该等差数列为 ，由题意得 ，即 ，所以 .故选B.
4.答案：D
解析：因为 ，所以 ，又 ，
，所以 .故选D.
5.答案：C
解析：设圆台的母线长为 ，则 ，所以
表面积 .故选C.
6.答案：B
解析： 可化为 ，即 ，
又 ，所以 .故选B.
7.答案：D
解析：由 得 ，当 时， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由 得 ，所以 ，解得 .故选D.
8.答案：A
解析：因为 ，所以 ，又 ，所以
所以 ，
所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 （ 是向量 与 的夹角）.
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的最大值为3.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9.答案：BC
解析：在 中，由 ， 可得 或 ，故A错误；
在 中，由 及 可知 ，又由于 ，所以 ，故B正确；
在 中，由 及 可知 ，又因 ，所以 ，故C正确；
在 中，由 ， ， 可得 或 ， 异面，故D错误.故选BC.
10.答案：ABD
解析：因为 ， ， ，且 ，所以 ，即 ，故A正确；
，故 ，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；故选ABD.
11.答案：ACD
解析：对于 ，设 ，则 ，故 ，因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，故A正确；
对于B，函数 是定义在 上的奇函数，所以 ；当 时，令 ，解
得 ；由奇函数性质可知当 时，函数有零点 ；故函数 有3个零点，故B错误；
对于C，如图所示，当 时， ，令 得 ，令 得
，所以 在 单调递减，在 单调递增，当 时，得 的极小值为
学科网（北京）股份有限公司，当 时， ，又 时， ，所以当 时， ，根据奇
函数的性质，当 时， ，综上所述， 的值域为 ，所以 ， ，都
有 ，故C正确；
对于D，由图像可得 的解集为 ，故D正确；故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：
解析：由题可知 ，即
所以 ，解得 或 （舍）
所以 .故答案为 .
13.答案：
解析：依题意，函数 是偶函数，且 在 上单调递减，所以 ，即
，即 解得 或 ，故不等式的解集为 .
学科网（北京）股份有限公司14.答案：11
解析：因为 ，所以 ， ，所以 ，又
，所以 是函数的对称中心，所以 ， ，所以
，所以 ，即 ，所以 是奇数，又函数在
区间 上单调，所以 即 ，所以 ，当 ， 时，满足 ，所
以 最大值为11.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）解析：（1）由题意可知 ， ，当 时， ，
于是 ，………………………………………………………………………………3分
解得 .…………………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知 ，
所以当 时， ，所以 ；……………………………………………………9分
当 时， ，所以 （4.3也可给分）.………………………………………12分
所以要将物体的温度降为42℃和32℃，
需要冷却的时间分别为2.3 min和4.2 min（或4.3 min）.…………………………………………………13分
16.（15分）解析：（1）由题图可知 ， ，所以 ，又 ，
……………………………………………………………………………………………………………………2分
所以 ，在 中， ，…………………………4分
在 中， ，………………………………………………………………………………6分
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
.………………………………………………………………………8分
（2） ，………………………………………………10分
因为 ，所以 ，………………………………………………………………11分
所以 的取值范围是 ，………………………………………………………………13分
所以当 时， 取得最小值 .…………………………………………………………………15分
17.（15分）解析：（1）取 的中点为 ，连接 ， ， .因为 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，……………………………………………………………………………………2分
在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，又 为平行四边形
所以 ，所以 ………………………………………………………………………………4分
在 中， 为 的中点，所以 …………………………………………………………5分
由于 平面 ，所以 ，
因此直角三角形 则 ………………………………………………………………7分
学科网（北京）股份有限公司（2）
，解得 ……………………………………………………9分
由（1）可知 ，又因为 为 的中点，
所以 ，所以以 为坐标原点，
以 ， ， 所在直线分别
为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得 ， ， ， ， ……………………………………10分
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，可得 ，………………………………………12分
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，可得 …………………………………………14分
所以
所以平面 与平面 夹角的余弦值是 .……………………………………………………………15分
18.（17分）解析：（1）因为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 在 ， 上单调递增.
又 ，而 ，………………………………………………2分
所以存在唯一实数 ，使得 ，
所以 在 有且只有一个零点.……………………………………………………………………3分
（2）① ，
则 ，……………………………………………………………………4分
当 时， ，故 在 单调递减，
当 时，令 ，得
所以当 时， 单调递减，
令 ，得 ，所以当 时， 单调递增.………………………………7分
综上所述，当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增.………………………………………………………………………………8分
②依题意得 ，即 在区间 恒成立
即 在 恒成立.………………………………………………………………9分
设 ， ，因 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 单调递增，所以 ，所以 .
若 ，由于 ，故 ，
即 在区间 不恒成立；………………………………………………………………12分
若 ，由①知 ，
当 即 时， 在 单调递减，在 单调递增.
故 ，而 ，即存在 ，使得 ，
所以 在区间 不恒成立；………………………………………………………………14分
当 即 时，记
则 ，其中 ，又 ，所以 ，
因此 ，
所以 在 . 单调递增，所以 ，即 时 .
综上所述，当 时， 在 恒成立.…………………………………………17分
19.（17分）解析：（1）在 中，令 ，得 ，即 ………1分
当 时， ①
②
①-②得 ，所以 …………………………………………………………………………4分
学科网（北京）股份有限公司检验当 时， 满足上式，所以 ……………………………………………5分
（2）①由已知 时， 为 中奇数的个数，所以
时， 为 中奇数的个数，所以
时， 为 中奇数的个数，所以 …………………………………………………………8分
②当 时， ，所以 ………………………………………10分
若 为奇数，
若 为偶数， …………………………………………………………12分
所以当 为奇数时，
当 为偶数时，
………………………………………………………………16分
综上 ……………………………………………………………………17分
学科网（北京）股份有限公司
