温州中学2024级新生暑期综合素质测试卷答案详解（数学）_1多考区联考试卷_08272024年秋季高一入学分班考试模拟卷（word解析含答题卡）_新高一入学分班考试名校试卷+答案（14套）

2024 级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明: 1. 试卷分值：100分；建议时长：90分钟； 2. 请将答案正确填写到相应的答题区域。 一、单选题（本题共8小题，共32分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 试卷第1页，共10页 A =  1 ， 2 ， 3  ， B =  − 3 ， − 1  ，那么集合 A B = （ ） A．−3，−1，1，3 B．−3，−1，1，2，3 C．  − 1 ， 1  D． 【答案】D 【解析】因为集合 A 和集合 B 没有公共元素，故A B=． 故选：D． 2．下图中可表示函数 y = f ( x ) 图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义，可知一个 x 只能对应一个y值，故答案为B． 故选：B． 3．下列函数中，既是奇函数又在(0，+)上单调递减的函数是（ ） A． y = | x | + 1 B． y = − x 3 C． y = − x 2 + 1 D． y = − 2 x 【答案】B 【解析】A选项， f ( x ) = | x | + 1 的定义域为(−，+)， 且 f ( − x ) = | − x | + 1 = | x | + 1 = f ( x ) ，故 f(x)=|x|+1为偶函数，A错误； B选项，画出y=−x3的图象，满足既是奇函数又在 ( 0 ， +  ) 上单调递减，B正确； C选项，g(x)=−x2 +1的定义域为R，且g(−x)=−(−x)2+1=−x2+1=g(x)， {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}故 试卷第2页，共10页 g ( x ) = − x 2 + 1 为偶函数，C错误； D选项， y = − 2 x 在 ( 0 ， +  ) 上单调递增，D错误． 故选：B． 4．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当 时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中，“破楼兰”是“终还”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“破楼兰”不一定“终还”，但“终还”一定是“破楼兰”， 由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件， 故选：B． 5．已知不等式 a x 2 + b x + c  0 的解集为  x | − 2  x  1  ，则不等式 c x 2 − b x + a  0 的解集为（ ） A． ( − 1 ， 1 2 ) B． ( − 1 2 ， 1 ) C． ( 1 2 ， 1 ) D． ( − 2 ， 1 ) 【答案】A 【解析】∵关于 x 的不等式 a x 2 + b x + c  0 的解集为  x | − 2  x  1  ， ∴ a  0 ，且 − 2 和1是方程 a x 2 + b x + c = 0 的两个根， 则  4 a a + − b 2 + b + c = c = 0 0 ，∴ b = a ， c = − 2 a ， 则关于 x 的不等式cx2 −bx+a0，即−2ax2 −ax+a0， ∴ 2 x 2 + x − 1  0 1 ，解得−1 x ， 2 故不等式的解集为 ( − 1 ， 1 2 ) ， 故选：A． 6．关于x的一元二次方程x2 +2mx+m2 −m=0的两实数根x ， 1 x 2 ，满足xx =2，则(x2 +2)(x2 +2)的值是 1 2 1 2 （ ） A．8 B．32 C．20或68 D．16或40 【答案】B 【解析】由题意可知Δ=4m2 −4(m2 −m)=4m0，可得m0， 由韦达定理可得 x 1 x 2 = m 2 − m = 2 ，因为 m  0 ，则 m = 2 ， 故原方程为x2 +4x+2=0，所以x +x =−4， 1 2 {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}故 试卷第3页，共10页 x 21 + x 22 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 1 6 − 2  2 = 1 2 ， 因此， ( x 21 + 2 ) ( x 22 + 2 ) = ( x 1 x 2 ) 2 + 2 ( x 21 + x 22 ) + 4 = 4 + 2  1 2 + 4 = 3 2 ． 故选：B． 7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC 与 B D 相交于点O，点 P 是 B D 上的一个动点，过点P 作𝐸𝐹//𝐴𝐶，分别交正方形的两条边于点E，F ，连接OE， O F ，设 B P = x ， △ O E F 的面积为y，则能 大致反映 y 与 x 之间的函数关系的图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当点P在 O B 上时， ∵四边形 A B C D 是正方形，边长为2， ∴ A B = B C = 2 ， A C ⊥ B D ，  A C B =  C A B = 4 5  ， ∴ A C = 2 2 ， B O = D O = A O = C O = 2 ， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐶， ∴  B A C =  B E F = 4 5  ，BFE=BCA=45，  A O B =  E P B = 9 0  ， ∴  B E F =  B F E ，∴ B E = B F ， ∵BPE=90， ∴ B P = E P = F P = x ， ∴ O P = 2 − x ， ∴ y = 1 2  E F  O P = 1 2  2 x  ( 2 − x ) = − x 2 + 2 x （0≤x≤ 2）， 当点 P 在DO上时，同理可得 y = − x 2 + 3 2 x − 4 （ 2  x ≤ 2 2 ）， 故选：B． 8．若对任意实数x0，y0，不等式x+ xy≤a(x+ y)恒成立，则实数a的最小值为（ ） {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}A． 试卷第4页，共10页 2 2 − 1 B． 2 − 1 C． 2+1 D． 2 2 + 1 【答案】D x+ xy 【解析】由题意可得，a≥ 对于任意实数 x+ y x  0 x+ xy ，y0恒成立，则只需求 的最大值即可， x+ y x + x + x y y = 1 + 1 + y xy x y ，设 =t（t 0），则 x 1 + 1 + y xy x = 1 1 + + t 2 t ，再设1+t=m（m1），则 y 1+ x 1+t m = = = y 1+t2 1+(m−1)2 1+ x m 2 − m 2 m + 2 = m + 1 2 m − 2 ≤ 2 m 1  2 m − 2 = 2 1 2 − 2 = 2 2 + 1 ，当且仅当 2 y m=  = 2−1时等号成立， m x 所以 a ≥ 2 2 + 1 ，即实数a的最小值为 2 2 + 1 ． 故选：D． 二、多选题（本题共4小题，共16分） 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9．若 a  0 ， b  0 ，且 a + b = 4 ，则下列不等式恒成立的是（ ） A． 0  1 a b ≤ 1 4 B． ab 2 C． 1 a + 1 b ≥ 1 D． a 2 1 + b 2 ≤ 1 8 【答案】C D 【解析】 a b ≤ ( a + 2 b ) 2 ≤ a 2 + 2 b 2 ，当且仅当 a = b = 2 时等号成立， 4 4 a2 +b2 则ab≤( )2 =4且( )2 ≤ ， 2 2 2 1 1 则 ≥ ， ab≤2， ab 4 a 2 + b 2 ≥ 8 ， a 2 1 + b 2 ≤ 1 8 ， 即AB错误，D正确， 1 1 a+b 4 1 对于C选项， + = = ≥4 =1，C选项正确， a b ab ab 4 故选：CD． 10．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ） A．若ab，则acbc B．若 a  b  0 ，则 a 2  a b  b 2 C．若 c  a  b  0 a b ，则  D．若 c−a c−b a  b 1 1 ，  ，则 a b a  0 ，b0 【答案】B D 【解析】A：当c=0时，acbc不成立，错误； B：由ab0，有|a||b|0，则a2 abb2，正确； {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}a b c(a−b) C：由 − = 0，则 c−a c−b (c−a)(c−b) 试卷第5页，共10页 c a − a  c b − b ，错误； D：若 a  b  0 或 b  a  0 ，有 1 a  1 b ，与题设矛盾，故 a  0 ， b  0 ，正确． 故选：BD． 11．已知函数y=ax2 +bx−3，则下列结论正确的是（ ） A．关于 x 的不等式 a x 2 + b x − 3  0 的解集可以是  x | x  3  B．关于 x 的不等式 a x 2 + b x − 3  0 的解集可以是  C．函数y=ax2 +bx−3在(0，+)上可以有两个零点 D．“关于x的方程 a x 2 + b x − 3 = 0 有一个正根和一个负根”的充要条件是“ a  0 ” 【答案】B C D 【解析】若不等式 a x 2 + b x − 3  0 的解集是  x | x  3  ，则 a = 0 且 3 b − 3 = 0 ，得 b = 1 ， 而当 a = 0 ，b=1时，不等式ax2 +bx−30，即 x − 3  0 ，得x3，与x3矛盾，故A错误； 取 a = − 1 ， b = 0 ，此时不等式 − x 2 − 3  0 的解集为  ，故B正确； 取 a = − 1 ， b = 4 ，则由y=−x2 +4x−3=0，得 x = 1 或3，故C正确； 若关于 x 的方程ax2 +bx−3=0有一个正根和一个负根，则  a −  3 a 0  0 ，得 a  0 ， 若 a  0 ，则Δ=b2 +12a0，故关于 x 的方程ax2 +bx−3=0有两个不等的实根 x 1 ， x 2 ， 且 x 1 x 2 = − 3 a  0 ，即关于 x 的方程ax2 +bx−3=0有一个正根和一个负根． 因此“关于 x 的方程ax2 +bx−3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a0”，故D正确． 故选：BCD． 12．已知二次函数y=−x2+mx+m（ m 为常数），当 − 2 ≤ x ≤ 4 时， y 的最大值是15，则m的值是（ ） A． − 1 9 31 B． C．6 D． 5 − 1 0 【答案】A C m 【解析】二次函数y=−x2+mx+m图象的对称轴为直线x= ． 2 m ①当 ≤−2时，即当 2 m ≤ − 4 时，当−2≤x≤4时，y随着x的增大而减小， 所以当 x = − 2 时，y取得最大值，即 y m ax = − 4 − 2 m + m = − m − 4 = 1 5 ，解得m=−19，合乎题意； ②当 − 2  m 2  4 时，即当 − 4  m  8 时，当 x = m 2 时，y取得最大值， m2 即y = +m=15，即m2 +4m−60=0，解得m=6或m=−10（舍）； max 4 m ③当 ≥4时，即当m≥8时，当−2≤x≤4时，y随着x的增大而增大， 2 {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}所以当 试卷第6页，共10页 x = 4 时，y取得最大值，即 y m ax = − 1 6 + 4 m + m = 5 m − 1 6 = 1 5 ，解得 m = 3 1 5 （舍）． 综上所述， m = − 1 9 或6． 故选：AC． 三、填空题（本题共4小题，共16分）  |a| b  13．用列举法表示集合x|x= + ，ab0为________．  a |b|  【答案】  − 2 ， 0 ， 2  【解析】分以下几种情况讨论： ①当 a  0 ， b  0 |a| b 时，x= + =−1−1=−2； a |b| ②当 a  0 ，b0时， x = | a a | + | b b | = − 1 + 1 = 0 ； ③当 a  0 ， b  0 |a| b 时，x= + =1−1=0； a |b| ④当 a  0 ，b0时， x = | a a | + | b b | = 1 + 1 = 2 ． 综上所述，  x | x = | a a | + | b b | ， a b  0  =  − 2 ， 0 ， 2  ． 故答案为：  − 2 ， 0 ， 2  ． 14．分解因式 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = ________． 【答案】 ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) 【解析】 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 =x3+4x2 +4x+x+2 = x ( x 2 + 4 x + 4 ) + x + 2 = x ( x + 2 ) 2 + x + 2 = ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 1 ) =(x+1)2(x+2)． 故答案为：(x+1)2(x+2)． ax+1 15．若函数y= 的定义域为R，则实数a的取值范围是________． ax2 −4ax+2 1 【答案】[0，) 2 ax+1 【解析】y= 的定义域为R，是使ax2 −4ax+20在R上恒成立． ax2 −4ax+2 {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}若 试卷第7页，共10页 a  0 时，要使ax2 −4ax+20恒成立，则有 a  0 且 Δ  0 ， 即 Δ = ( − 4 a ) 2 − 4  2 a  0 1 ，解得0a ； 2 若 a = 0 时， a x 2 − 4 a x + 2  0 可化为20，恒成立，所以 a = 0 满足题意， 所以 0 ≤ a  1 2 ． 故答案为： [ 0 ， 1 2 ) ． 16．设函数 f ( x ) = 4 a x 2 + b x − 6 a + 1 ，当x[−4，4]时，恒有 f ( x ) ≥ 0 成立，则10𝑎+𝑏的最小值为________． 1 【答案】− 3 【解析】由题意得 f ( x ) = ( 4 x 2 − 6 ) a + b x + 1 ， 令 4 x 2 1 − 0 6 = x 1 ，解得 x = 3 或 x = − 1 2 ， 当 x = 3 时， f ( 3 ) = 3 0 a + 3 b + 1 ≥ 0 ，即 1 0 a + b ≥ − 1 3 ， 当 x = − 1 2 时， f ( − 1 2 ) = − 5 a − 1 2 b + 1 ≥ 0 ，则 1 0 a + b ≤ 2 ， 验证： x = 3 时， − b 8 a = 3 ， 1 0 a + b = − 1 3 ，即 a = 1 4 2 ， b = − 1 2 2 1 时， 1 0 a + b 1 取到最小值− ， 3 故答案为： − 1 3 ． 四、解答题（本题共3小题，共36分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）集合 A =  x | a − 1 ≤ x ≤ 3 a − 7  ， B =  x | x 7 + 2  1  ． （1）若a=4，求 ( R A ) B ； （2）若 A B = A ，求实数a的取值范围． 【答案】（1）  x | − 2  x  3  ；（2）(−，4) 【解析】（1）若a=4，则A=x|3≤x≤5， 7 由 1，得0x+27，得−2x5，则 x+2 B =  x | − 2  x  5  ， 所以( A) B=x|x3或x5 x|−2x5=x|−2x3． R （2）因为A B= A，所以AB， 当 A =  时， a − 1  3 a − 7 ，得a3，此时满足 A  B ； a≥3  当A时，a−1−2，解得3≤a4，  3a−75 {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}综上所述： 试卷第8页，共10页 a 的取值范围为 ( −  ， 4 ) ． 18．（12分）某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益．通过市场分析，每 月需投入固定成本5000元，每月生产 x 台该设备另需投入成本 C ( x ) 元，且 C ( x ) =  1 1 0 0 x 0 2 4 + x 4 + 0 1 0 0 x 0 x ， 0 0 0  − x 9 0 ≤ 0 3 0 0 ， x  3 0 ，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售 完． （1）求厂商由该设备所获的月利润 L ( x ) 关于月产量x台的函数关系式；（利润 = 销售额 − 成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润． 【答案】（1） L ( x ) =  − 4 1 0 0 0 x 0 2 − + ( 6 4 0 x 0 + x 1 − 0 5 0 x 0 0 0 0 0 ) ， ， 0 x   x 3 0 ≤ 3 0 ； （2）当x=30时，获得的月利润最大，且最大月利润为4000元 【解析】（1）当0x≤30时， L ( x ) = 1 0 0 0 x − 1 0 x 2 − 4 0 0 x − 5 0 0 0 = − 1 0 x 2 + 6 0 0 x − 5 0 0 0 ； 当 x  3 0 10000 10000 时，L(x)=1000x−1004x− +9000−5000=4000−(4x+ )． x x ∴ L ( x ) =  − 4 1 0 0 0 x 0 2 − + ( 6 4 0 x 0 + x 1 − 0 5 0 x 0 0 0 0 0 ) ， ， 0 x   x 3 0 ≤ 3 0 ； （2）当 0  x ≤ 3 0 时， L ( x ) = − 1 0 ( x − 3 0 ) 2 + 4 0 0 0 ， ∴当 x = 3 0 时，L(x) =L(30)=4000． max 当 x  3 0 时， L ( x ) = 4 0 0 0 − ( 4 x + 1 0 0 x 0 0 ) ≤ 4 0 0 0 − 2 4 x  1 0 0 x 0 0 = 3 6 0 0 ， 当且仅当 4 x = 1 0 0 x 0 0 ，即 x = 5 0 时等号成立，故L(x) =L(50)=36004000． max ∴当 x = 3 0 时，获得的月利润最大，且最大月利润为4000元． 19．（12分）已知函数 f(x)=x2 +(a−1)2， g ( x ) = | x + a − 1 | ，h(x)=|x−1|+|x−4|． （1）若 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 为偶函数，求实数a的值； （2）对任意的 x 1  R ，都存在 x 2  R ，使得 h ( x 2 ) ≤ f ( x 1 ) − g ( x 1 ) ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） a = 1 ；（2） a  ( −  ， 1 − 2 1 4 ] [ 3 + 2 1 4 ， +  ) 【解析】（1）因为 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 为偶函数， 所以F(−x)=F(x)，即 f ( − x ) + g ( − x ) = f ( x ) + g ( x ) ， 因为 f(x)=x2 +(a−1)2，所以 f(−x)=(−x)2 +(a−1)2 =x2 +(a−1)2 = f(x)， 所以 g ( − x ) = g ( x ) ， 因为 g ( x ) = | x + a − 1 | ，所以|−x+a−1|=|x+a−1|，解得−x+a−1=(x+a−1)， 当−x+a−1=x+a−1时，得x=0，由于x不恒为0，故不满足题意； 当−x+a−1=−(x+a−1)时，得a=1； 经检验，当a=1时，g(x)=|x+a−1|=|x|， {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}所以 试卷第9页，共10页 F ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = x 2 + ( a − 1 ) 2 + | x | ，易知 F ( x ) 的定义域为 R ，关于原点对称， 又易得 F ( − x ) = F ( x ) ，所以 F ( x ) 为偶函数， 综上： a = 1 ． （2）因为对任意的x R，都存在 1 x 2  R ，使得 h ( x 2 ) ≤ f ( x 1 ) − g ( x 1 ) ， 所以 h ( x ) m in ≤ [ f ( x ) − g ( x ) ] m in ， 因为 h ( x ) = | x − 1 | + | x − 4 |≥ | x − 1 − x + 4 |= 3 ，所以 h ( x ) m in = 3 ，则 [ f ( x ) − g ( x ) ] m in ≥ 3 ， 令 G ( x ) = f ( x ) − g ( x ) ，则G(x)=x2 +(a−1)2−|x+a−1|，G(x) ≥3， min 当x≥−a+1时， G ( x ) = x 2 + ( a − 1 ) 2 − ( x + a − 1 ) = x 2 − x + a 2 − 3 a + 2 ， 则 G ( x ) 开口向上，对称轴为 x = 1 2 ， 当 − a + 1 ≥ 1 2 ，即 a ≤ 1 2 时， G ( x ) 在[−a+1，+)上单调递增， 则 G ( x ) m in = G ( − a + 1 ) = 2 a 2 − 4 a + 2 ； 当 − a + 1  1 2 1 ，即a 时， 2 G ( x ) 在 [ − a + 1 ， 1 2 ) 上单调递减，在 ( 1 2 ， +  ) 上单调递增， 1 7 则G(x) =G( )=a2 −3a+ ； min 2 4 当x−a+1时，G(x)=x2 +(a−1)2 +(x+a−1)=x2 +x+a2 −a， 则 G ( x ) 1 开口向上，对称轴为x=− ， 2 当 − a + 1 ≤ − 1 2 ，即 a ≥ 3 2 时， G ( x ) 在(−，−a+1)上单调递减， 则 G ( x ) m in = G ( − a + 1 ) = 2 a 2 − 4 a + 2 ； 当 − a + 1  − 1 2 ，即 a  3 2 时，G(x)在 ( −  ， − 1 2 ) 上单调递减，在 ( − 1 2 ， − a + 1 ) 上单调递增， 1 1 则G(x) =G(− )=a2 −a− ； min 2 4 1 综上：当a≤ 时，G(x)在 2 ( −  ， − 1 2 ) 1 上单调递减，在(− ，−a+1)上单调递增，在 2 [ − a + 1 ， +  ) 上单调递 1 1 增，故G(x) =G(− )=a2 −a− ； min 2 4 当 a ≥ 3 2 时， G ( x ) 在 ( −  ， − a + 1 ) 1 1 上单调递减，在[−a+1，)上单调递减，在( ，+)上单调递增，故 2 2 1 7 G(x) =G( )=a2 −3a+ ； min 2 4 {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}当 试卷第10页，共10页 1 2  a  3 2 时， G ( x ) 在 ( −  ， − 1 2 ) 上单调递减，在 ( − 1 2 ， − a + 1 ) 上单调递增，在 [ − a + 1 ， 1 2 ) 上单调递减， 在 ( 1 2 ， +  ) 上单调递增， 因为 G ( − 1 2 ) − G ( 1 2 ) = a 2 − a − 1 4 − ( a 2 − 3 a + 7 4 ) = 2 a − 2 ， 所以当 1 2  a ≤ 1 时， a 2 − a − 1 4 ≤ a 2 − 3 a + 7 4 ，则 G ( x ) m in = a 2 − a − 1 4 ， 当 1  a  3 2 时， a 2 − a − 1 4  a 2 − 3 a + 7 4 ，则 G ( x ) m in = a 2 − 3 a + 7 4 ， 综上：当 a ≤ 1 1 时，G(x) =a2 −a− ；当 min 4 a  1 7 时，G(x) =a2 −3a+ ， min 4 1 所以当a≤1时，有a2 −a− ≥3，解得 4 a ≤ 1 − 2 1 4 或 a ≥ 1 + 2 1 4 ，故 a ≤ 1 − 2 1 4 ； 当 a  1 时，有 a 2 − 3 a + 7 4 ≥ 3 ，解得 a ≤ 3 − 2 1 4 或 a ≥ 3 + 2 1 4 ，故 a ≥ 3 + 2 1 4 ； 所以 a ≤ 1 − 2 1 4 或 a ≥ 3 + 2 1 4 ，即 a  ( −  ， 1 − 2 1 4 ] [ 3 + 2 1 4 ， +  ) ． {#{QQABAQAEggCgAIJAABgCQQn4CAIQkBECCSgOAEAAoAAAwRNABCA=}#}