2023届新高考数学金榜猜题卷（2）_2023高考押题卷_正确教育金榜猜题卷_（新高考）正确教育丨金榜猜题卷_新高考数学

2023 届新高考数学金榜猜题卷（2） 【满分：150分】 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.复数z满足 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是( ) A. B. C. D. 3.已知 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 4.函数 的大致图象为( ) A. B. C. D. 版权所有©正确教育 侵权必究！5.已知函数 f(x) 3sinxcosx(0)的最小正周期为π，将函数 的图象沿 π x轴向右平移3个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是( ) A.函数g(x)在 上是增函数 B.函数g(x)的图象关于直线 对称 C.函数g(x)是奇函数 D.函数 的图象关于点 中心对称 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点， 则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.已知 且 ， 且 ， 且 ，则( ) A. B. C. D. 8.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，A是椭圆的上顶点， 过点A且斜率为 的直线上有一点P，满足 是以 为顶角的等腰三 角形， ，则该椭圆的离心率为( ) 版权所有©正确教育 侵权必究！A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视 为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的 是( ) A.成绩在 内的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1000 C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75分 10.已知平面向量 ， ，则下列说法正确的是( ) A. B.b在a方向上的投影向量为 C.与b垂直的单位向量的坐标为 版权所有©正确教育 侵权必究！D.若向量 与向量 共线，则 11.在某市商业区有一个圆形的广场，称为“阿氏圆广场”.阿氏圆是古希腊著名 数学家阿波罗尼斯的发现：“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.从广场的外圆周的任意一点P，以同样的速度，到达A商场 的所用时间是到达B商场所用时间的2倍.建立平面直角坐标系 ， ，点P满足 ，广场外圆周即点P的轨迹设为C，下列结论 正确的是( ) A.C的方程为 B.居民经过商场B，从广场一侧直线到达另一侧，需走的最短路程为 C.过A做广场的切线，切点为M和N，则 过点B D.一条市政公路所在直线为 ，则从广场到公路的最短距离为4 12.已知三棱柱 的六个顶点都在球O的球面上， .若 点O到三棱柱 的所有面的距离都相等，则( ) A. 平面 B. C.平面 截球O所得截面圆的周长为 D.球O的表面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 版权所有©正确教育 侵权必究！13.在二项式 的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数 项的值为___________. 14.已知直线 与抛物线 交于A，B两点，O为坐标原点，且 ，则 _____________. 15.已知等比数列 的公比 ，其前n项和为 ，且 ，则数列 的前2021项和为___________. 16.已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，给出 以下三个结论：① ；② ；③ .其中所有正确结 论的序号为________. 四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， . (1)求角A； (2)若 的外接圆半径 ， ，求 的面积. 18.（12分）已知数列 的前n项和为 . (1)记 ，证明： 是等差数列，并求 的通项公式； (2)记数列 的前n项和为 ，求 ，并求使不等式 成立的最大正整数 n. 19.（12分）在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， ， . 版权所有©正确教育 侵权必究！（1）证明： ； （2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 20.（12分）医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7 厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一.关老师随机调查了高三(满19岁)100 名学生的身高情况，并将统计结果整理如表. 末达到平均身高 达到平均身高 女 10 45 男 15 30 (1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有 关? (2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取 10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生 的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附： ， . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21.（12分）双曲线 经过点 ，且虚轴的一个顶点到 一条渐近线的距离为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！(1)求双曲线C的方程； (2)过点P的两条直线 ， 与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点 重合)，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，证明：直线AB过定点. 22.（12分）已知函数 为 的导函数. (1)讨论 的极值； (2)若存在t[2,e]，使得不等式 成立，求a的取值范围. 版权所有©正确教育 侵权必究！答案以及解析 1.答案：B 解析：集合 或 ，则 .又 ，所以 .故选B. 2.答案：B 解析：由题知，复数 ，则复数z的共轭复数是 ，故选B. 3.答案：C 解析： ， ， . 4.答案：A 解析：本题考查函数的图象.根据函数解析式，因为 ，所以该函数为偶函数，其图象关于y轴对 称，且 恒成立，当 时，函数值为0，只有选项A符合题意. 5.答案：A 解析： ， ，得 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！因此 ， ， 对于A，由 ，得 ，此时 单调递减，则函数 单调 递增，故A正确；对于B，令 ， ，得 ， ，故B错误；对 于C， ，则函数 是偶函数，故C错误；对 于D，令 ， ，得 ， ，当 时， ，故D 错误.故选A. 6.答案：A 解析：如图，取AC的中点为N，连接MN，BN，则 且 ，所 以 即异面直线BM与CD的夹角或其补角.因为 平面BCD， 平 面BCD，所以 ，又 ， ，所以CD平面ABC， 所以 平面ABC，所以MN  BN .设 ，则MN 1， MN 3 cosBMN   ， BM  3 ，在 中， BM 3 ，所以异面直 线BM与CD夹角的余弦值为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！7.答案：D eb e4  解析：由ae5 5ea ， ，ce3 3ec 得 ， b 4 ， .构造函 ex (x1)ex f(x) f(x) 数 x ， ，则 x2 .由 得x1，由 得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，因为 ， ， ，所以 .画出函数 的大致图象，如图所示，故 ， 故选D. 8.答案：B 版权所有©正确教育 侵权必究！解析：由题意易知直线AP的方程为 ①，因为 为等腰三角形， ，所以直线 的方程为 ②，联立①②可得 . 如图，过点P向x轴引垂线，垂足为H，则 ，所以 ，即 ， ，所以 ， ，故选B. 9.答案：ABC 解析：由频率分布直方图可得，成绩在 内的频率最高，因此考生人数最 多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在 内的频率为 ，因此不及格的人数为 ，故B正确；C选 项，由频率分布直方图可得，平均分约为 （分），故C正确；因为 版权所有©正确教育 侵权必究！成绩在 内的频率为 ，在 内的频率为 0.3，所以中位数为 ，故D错误.故选ABC. 10.答案：AD 解析：选项A：由题意知 ， ， ，则 ，A正确； 选项B：b在a方向上的投影向量为 ，B 错误； 选项C：与b垂直的单位向量的坐标为 或 ，C错误； 选项D：因为向量 与向量 共线，所以若存在 ，使得 ，则 ， 所以 ，D正确. 11.答案：ABC 解析：设点P的坐标为 ，由 得 ，则 ，整理得曲线C的方程为 ，故选项 A正确；若过B的路程最短，即需求过点B的最短弦长，即当B与圆心C的连 线和弦垂直时弦长最短，由勾股定理得最短弦长为 ，故选项B正确；由题 版权所有©正确教育 侵权必究！意可知 四点共圆且在以 为直径的圆上，圆的方程为 .又 在 上，联立两个方程化简得直线 的方程为 ，则点 B在 上，所以 过点B，故选项C正确；当圆心C与直线垂直时，距离最 短，圆心C到直线的距离为 .因为圆的半径为2，所以最短距离为 ，故选项D错误，故选ABC. 12.答案：AC 解析：三棱柱 的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知 三棱柱 为直棱柱，所以 平面 ，因此A正确.因为 ，所以 .因为点O到三棱柱 的所有面的 距离都相等，所以三棱柱 的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱 的内切球的半径为r，则 ，所以 ，因此B错误.由 ，可知 ，解得 (负值已舍去)，则 .易得 的外接圆的半径 ，所以平面 截球O所 得截面圆的周长为 ，因此C正确.三棱柱 外接球的半径 版权所有©正确教育 侵权必究！，所以球O的表面积 ，因此D错误.故 选AC. 13.答案：135 解析：因为二项式 的展开式中，各项的系数之和为512，所以令 ，得 ，解得 .又因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，所以展开 式中常数项为 . 故答案为：135. 14.答案：2 解析：设 ， ，联立方程，得 ， 即 ， ， ， ， 又 ， ，解得 . 15.答案： 解析：因为 ， 所以 ，所以 ，得 或 （舍去），所以 ，故 版权所有©正确教育 侵权必究！. 因为 ， 所以 . 故答案为： 16.答案：①③ 解析：由题意得 ，则 ， 易知 在R上单调递增， 在R上有且仅有一个零点， ，易知 ，①正确； 又 ， ，②错误； ，则 ， 易知 ，故 ，③正确. 综上，所有正确结论的序号为①③. 17.答案：(1) . (2) . 版权所有©正确教育 侵权必究！解析：(1)因为 ，所以由正弦定理，得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 即 ，又 ， 所以 . 又 ，故 . (2)由题意知 . 由余弦定理 ，得 ， 所以 ，则 ， 故 . 18.答案：(1)证明过程见解析， . (2)n为5. 解析：(1)由 ，得 ， 即 ， . 即 ， 又 ， 数列 是以1为首项，2为公差的等差数列， 版权所有©正确教育 侵权必究！. (2)由(1)知 . ，① ，② ①-②，得 ， ， 是递增数列， ， 使不等式 成立的最大正整数n为5. 19.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：解：（1）如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则 . 版权所有©正确教育 侵权必究！又 ，所以四边形DCBO为平行四边形. 又 ， 所以四边形DCBO为菱形，所以 . 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以 ， 所以 . 因为 底面ABCD， 底面ABCD，所以 ， 又 ， 平面ADP，所以 平面ADP. 因为 平面ADP，所以 . （2）由（1）知 ，又 ，所以 ， 所以三角形ADO为正三角形. 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 版权所有©正确教育 侵权必究！则 ， ， ， . 则 ， ， . 设平面PAB的法向量为 ， 则 . 令 ，则 ， ，所以 . 设直线PD与平面PAB所成的角为 ， 则 ， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为 . 20.答案：(1)在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高 版权所有©正确教育 侵权必究！与性别有关 (2) 解析：(1)补全 列联表如下： 末达到平均身高 达到平均身高 合计 女 10 45 55 男 15 30 45 合计 25 75 100 则 ， 所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别 有关. (2)利用分层抽样的方法可得，在10人中，达到平均身高的女生有6人，男生有 4人.所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以数学期望 . 21.答案：(1) . (2)证明过程见解析. 解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为 ，虚轴的一个顶点为 版权所有©正确教育 侵权必究！， 依题意得 ，即 ， 即 ，① 又点 在双曲线C上， 4 1 所以  1，即 ，② a2 b2 a2 2 由①②解得 ， ， 所以双曲线C的方程为 . (2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称， 设 ， ， 则由 ，解得 ， 即 ，解得 ，不符合题意，所以直线AB的斜率存在. 不妨设直线AB的方程为 ，代入 ， 整理得 ， ， 版权所有©正确教育 侵权必究！设 ， ， 则 ， ， 由 ，得 ， 即 ， 整理得 ， 所以 ， 整理得 ，即 ， 所以 或 . 当 时，直线AB的方程为 ，经过定点 ； 当 时，直线AB的方程为 ，经过定点 ，不符合题意. 综上，直线AB过定点 . 22.答案：(1)当 时， 没有极值；当 时， 的极小值为 ， 无极大值. (2)取值范围为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！解析：(1)由题意知， 的定义域为 ， ， 设 ，则 ， ①当 时， 在 上单调递增， 没有极值； ②当 时，若 ，则 在 上单调递减， 若 ，则 在 上单调递增， 在 处取得极小值，且极小值为 在 上没有极大 值. 综上，当 时， 没有极值；当 时， 的极小值为 ，无极大 值. (2)由题意知，存在 ，使得 ， 即存在 ，使得 ， 构造函数 ， 则 ， 当 ，即 时， 在 上恒成立， 单调递增，所以 ，得 ，与 矛盾，不满足题意. 当 ，即 时，若 ，则 单调递减， 版权所有©正确教育 侵权必究！若 ，则 ， 单调递增，此时 ， 由 ，得 ， 所以 ，因为 ，所以不等式 不成立. 当 ，即 时， 在 上恒成立， 单调递减， 所以 ，得 ，满足题意. 综上，实数a的取值范围为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！版权所有©正确教育 侵权必究！