文档内容
蚌埠市 2025 届高三年级第二次教学质量检查考试
高三数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.小胡同学测得连续10天的最低气温分别为 （单位： ），则这组数据的
分位数为（ ）
A.8 B.8.5 C.12 D.13
4.已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则正整数 的值为
（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
5.“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知函数 在区间 上单调递减，直线 和 为函数 的
图象的两条对称轴，则 （ ）A.1 B. C. D.
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为 的直线与
的右支交于 两点，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8.函数 的定义域为 ，且对任意的实数 ，都有 ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在棱长为2的正方体 中，点 分别为棱 的中点，则下列说法正
确的是（ ）
A. 平面
B.直线 与 所成角的余弦值为
C.点 到平面 的距离为
D.三棱锥 的外接球的表面积为11.在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 为 上的任
意三点（异于 点），且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
.存在点 ，使得
C.若直线 的斜率分别为 ，则
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在 的展开式中，常数项为__________.
13.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式
表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形 与六边形 为全等的正六边
形，且 ，点 为正六边形 内的一点（包含边界），则 的取值范围是
__________.
14.柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在
数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式： ，当且仅当
时等号成立.已知 ，直线 与曲线 相切，则
的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）记 的内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 边上的高为 ，求 的周长.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，
点 是棱 上的一点，且满足 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）若 ，求 的极值；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数
据：
排球
性别
喜欢 不喜欢
男生 78 122
女生 112 88
（1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？
（2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记 次传球后球在乙手中的概率为 .
（i）求 ；
（ii）若随机变量 服从两点分布，且 ，则
.记前 次（即从第1次到第 次传球）中球在乙手中的次数为随机变量 ，求 的数
学期望.
附： ，其中 .
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分17分）
椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆 的“特征三角
形”为 ，椭圆 的“特征三角形”为 ，若 ，则称椭圆 与 相似，并将 与 的相
似比称为椭圆 与 的相似比.已知椭圆 与椭圆 相似，且
与 的相似比为2.
（1）求 的方程；
（2）已知点 是 的右焦点，过点 的直线 与 交于 两点，直线 与 交于 两点，其中点
在 轴上方.
（i）求证： ；
（ii）若过点 与直线 垂直的直线交 于 两点，其中点 在 轴上方， 分别为 ，
的中点，设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值.蚌埠市 2025 届高三年级第二次教学质量检查考试·高三数学
参考答案､提示及评分细则
1.D 因为 ，所以
.故选D.
2.A 因为复数 满足 ，所以 ，所以 在
复平面内对应的点为 ，位于第一象限.故选A.
3.D 将这组数据从小到大排列为： ，又 ，所以这组数据的 分
位数为 13.故选D.
4.B 设等差数列 的公差为 ，由 ，得，所以 ，又 ，所以 .故
选B.
5.A 若函数 为奇函数，则 ，即 ，
解得 或 .当 时， ，由 ，解得 ，此时函数 的定
义域为 关于原点对称，且 ，故函数
为奇函数，符合题意；当 时， ，此时函数 的定义域为 关于原点对称，
且 ，故函数 为奇函数，符合题意.所以“
”是“函数 为奇函数”的充分不必要条件.故选A.
6.C 因为函数 在区间 上单调递减，直线 和 为函数
的图象的两条对称轴，所以 ，所以 ，即 ，所以 或 .又
，所以 或 ，所以
或 ，解得 或
，所以 或 ，所以或 .故选C.
7.B 如图，因为直线 的斜率为 ，所以 ，所以 ，
.设 ，则 ，又 ，所以
，在 中，由余弦定理得
，即
，整理得 .在 中，由余弦定理得
，即 ，整理
得 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
.故选B.
8.C 因为 ，所以 ，令 ，得
；令 ，得 ） ，所以 ；用
替换 ，可得 ，所以 ，所以函数 为偶函数.令 ，得 ，所以 ；用 替换 ，可
得 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
所以 ，故 是以6为周期的周期函数，又
，所以
.故选C.
9.ABD 因为随机变量 ，所以 ，故A正确；
，故B正确；随机变量
，所以 ，所以
，故C错误，D正确.故选ABD.
10.AC 在棱长为2的正方体 中，点 分别为棱 的中点，所以
，又 平面 平面 ，所以 平面 ，故A正确；连接 ，易
得 ，所以 为直线 与 所成的角或补角，又易得 ，
由余弦定理得 ，所以直线 与 所成
角的余弦值为 ，故B错误；在 中， ，所以
，设点 到平面 的距离为 ，又 ，所以，解得 ，即点 到平面 的距离为 ，故C正确；易得
，所以 为直角三角形，所以 在底面 的射影为 的
中点，设为 ，设外接球半径为 ，球心为 ，由 ，
解得 ，所以外接球的表面积为 ，故D错误.故选AC.
11.ACD 因为 为 上的任意三点，且 ，所以 为 的重心， ，
所以 ， ，所以 ，故A正确；
，所以 ，解得 ，所以 ，故B
错误；因为 两式相减，得 ，所以 ，
同理可得 ，所以
，故C正确；不妨设 ，则 ，代
入 0，得 ，所以 ，由 得
，所以
，故D正确.故选ACD.12.672 由题意得 ，令 ，解得 ，故常数项为
.
13. 过点 作直线 的垂线，垂足为 ，所以 ，当点 与点 重合
时， ，当点 与点 重合时， ，所以 的取
值范围是 .
14.10 由 ，所以 ，设切点为 ，则 ，故 ，又
，所以 ，所以 ，所以
，当且仅当 ，即 时等号成
立，所以 的最小值为10.
15.解：（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，又 ，所以 ，又
，所以 .
（2）因为 边上的高为 ，
所以 的面积 ，解得 ，由余弦定理得 ，即 ，解得
.
所以 的周长 .
16.（1）证明：取 的中点 ，连接 ，如图所示，
又 ，所以 ，
因为 是边长为2的等边三角形，点 是 的中点，所以 ，又
平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：由（1）知 平面 ，又 平面 ，所以 ，又 ，
所以 .
取 的中点 ，连接 ，则 ，由（1）可知，平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，又，所以
令 ，解得 ，所以平面 的法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，又 ，所以
令 ，解得 ，所以平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，所以 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17.解：（1）若 ，则 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在
上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ，无极小值.
（2） 对任意的 恒成立，即 对任意的
恒成立，令 ，所以 ，
令 ，所以
，当 时， ，又 ，所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 即 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 ，符合题意；
当 时，令 ，解得 ，
则 即 在区间 上单调递减；
所以当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
所以当 时， ，不符合题意；
当 时，又 ，所以 ，所以 即 在区间 上单调递减，
所以 ，所以 在区间 上单调递减，所以 ，不符合题意.
综上， 的取值范围为 .
18.解：（1）零假设为 ：是否喜欢排球与性别无关联.
根据表中的数据，经计算得到
所以依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.
（2）（i）由题意知 ，
设 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，即第 次传球后球在乙手中的概率为 .
（ii）因为 ，
所以当 时， 的数学期望
，即 的数学期望为 .
19.（1）解：由题意知椭圆 的长轴长为 ，短轴长为4，椭圆
的长轴长为 ，短轴长为 ，又 与 的相似比为2，所以
，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）（i）证明：由（1）知 ，显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
由 得 ，设 ，所以 ，故中点的纵坐标为 中点的横坐标为 ，即 中点的坐
标为 .
由 得 ，设 ，所以 ，故
中点的纵坐标为 中点的横坐标为 ，即 中点的坐标为
.
所以 的中点与 的中点重合，所以 .
（ii）解：如图，连接 ，取 的中点 ，连接 ，又 分别为 的中点，所以
，所以 ， ，所以 的面积
.
显然直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，由
得 ，设 ，所
以 ，所以
同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 面积的最小值为 .
