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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在空间直角坐标系中，B(−1,2,3)关于x轴的对称点为点B′，若点C(1,1,−2)关于Oxz平面的对称点为点C′，
则 B′C′ =（ ）
A． 2 B． 6 C． 14 D． 30
2．若直线l ：x+λy+8=0与直线l ：(λ−2)x+3y+3λ=0平行，则λ＝（ ）
1 2
1
A．−1 B．−1或3 C． D．3
2
3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已
1
知四棱锥P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且PE = PC，若AB=a,AD=b,AP=c，则
BE
=（ ）
4
5 1 5 5 1 5
A．− a− b+ c B． a+ b− c
4 4 4 4 4 4
3 1 3 3 1 3
C． a− b− c D．− a+ b+ c
4 4 4 4 4 4
4．直线y=kx+b经过点(1,8)，在两坐标轴上的截距互为相反数，则k的所有可能取值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
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学科网（北京）股份有限公司5．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x,y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
12 144
A． B． C．3 D．4
5 49
6．PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，A，B ，C 分别是射线PA，PB，
1 1 1
PC上的点，且PA =2，PB =4，PC =3，D，E，F分别为PA，PB ，BC 的中点，则点E到直线DF的
1 1 1 1 1 1 1
距离为（ ）．
15 21 33 39
A． B． C． D．
3 3 6 6
7．在等腰直角ABC中，AB= AC =3，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反
射后又回到点P，若光线QR经过ABC的重心，则�PQR的周长等于（ ）
A． 2 5 B．2 7 C．3 2 D．4 2
8．如图，在直三棱柱ABC−ABC 中，AC ⊥ AB，AC = AB=CC =1，E是线段AB的中点，在�ABC内
1 1 1 1 1
有一动点P（包括边界），则 PA + PE 的最小值是（ ）．
33 2 33 33 33
A． B． C． D．
2 3 6 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若两直线l,l 的倾斜角分别为α,α，斜率分别是k ,k ，则下列命题正确的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．若k =k ，则α =α B．若k <k ，则α <α
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若α <α ，则k <k D．若k <0<k ，则α <90°<α
1 2 1 2 2 1 1 2
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学科网（北京）股份有限公司10．已知正方体ABCD−ABCD 的棱长为4，动点P在正方体表面ABC D 上（不包括边界），则下列说法
1 1 1 1 1 1 1 1
正确的是（ ）
A．存在点P，使得CP∥面ABD
1
B．存在点P，使得AP⊥面ABD
1
π 2 3
C．若AP与CC 的夹角为 ，则点P的轨迹长度为 π
1 6 3
D．若M 为面CCDD 的中心，则AP＋PM的最小值为2 14
1 1
ax +by +c
11．定义点P(x ,y )到直线l:ax+by+c=0(a2 +b2 ≠0)的有向距离为d = 0 0 .已知点P,P 到直线l
0 0 a2+b2 1 2
的有向距离分别是d ,d 以下命题不正确的是（ ）
1 2
A．若d =d =1，则直线PP 与直线l平行
1 2 1 2
B．若d =1,d =−1，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
C．若d +d =0，则直线PP 与直线l垂直
1 2 1 2
D．若dd ≤0，则直线PP 与直线l相交
1 2 1 2
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若两条平行直线l ：x−2y+m=0与l ：2x+ny−6=0之间的距离是
2 5
，则直线l 在x轴上的截距为 ．
1 2 1
13．如图，二面角α−l−β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直
π
于棱l．若二面角α−l−β的平面角为 ，且AB=4，AC =6，BD=5，则CD= ．
3
14．棱长为2的正方体ABCD−ABCD 中，E为棱DD 的中点，F为正方形CCDD 内一个动点（包括边界），
1 1 1 1 1 1 1
且BF//平面ABE，则当三棱锥B −DDF体积取最大时，其外接球的表面积为 .
1 1 1 1
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
15．（13分）已知直线l过点(1,2)，且直线l的倾斜角比直线 3x−3y+1=0的倾斜角大 ．
12
(1)求直线l的方程；
y +2
(2)若点M(x,y )在直线l上，且x ∈[−2,1)，求 1 的取值范围．
1 1 1 x −1
1
16．（15分）如图，在几何体ABCDE中，平面ABC ⊥平面ACD，BE=2，AC =3，CD=4，∠ACD=90°，
BE∥CD.
(1)若F为AC的中点，求证：BF//平面AED；
(2)若ABC为等边三角形，求平面ABC与平面AED夹角的余弦值.
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学科网（北京）股份有限公司A(2,3),B(1,2),C(4,−4)
17．（15分）已知ABC的三个顶点是 ．
(1)若直线l 过点C，且点A，B到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；
1 1 1
(2)若直线l 过点A，且与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，O为坐标原点，求三角形OPQ面积取
2
最小值时直线l 的方程．
2
OO AACC, AC =2AA =2AC =4
18．（17分）如图，圆台 1 2的一个轴截面为等腰梯形 1 1 1 1 1 ，B为底面圆周上异
于A、C的点．
(1)求该圆台的侧面积S；
(2)若P是线段BC的中点，求证：直线CP//平面AAB；
1 1
(3)若AB=BC，设直线l为平面AAB与平面CCB的交线，设l平面AACC =D，点Q在线段BD上（不含
1 1 1 1
端点），直线BC 与平面QAC所成的角大小为α，求sinα的最大值．
1
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学科网（北京）股份有限公司19．（17分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平
移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信
息，解决下列问题：在三棱锥A−BCD中，若AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =0，则称这样的三棱锥为完美
三棱锥.
(1)在三棱锥A−BCD中，AB⊥ AC,AC ⊥ AD,AB⊥ AD，求证：该三棱锥是完美三棱锥；
(2)已知三棱锥中，△ABD为正三角形，AB= AC =2.
①若 CB=CD=2 2 ，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；
②若CB=3，且该三棱锥A−BCD为完美三棱锥，求二面角A−CD−B的余弦值.
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