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年高考模拟考试
2025
数学试题参考答案
.
202504
一、单项选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。
8 5 40
1.C 2.D 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.A
二、多项选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。
3 6 18
9.ACD 10.ABD 11.ACD
三、填空题:本题共 小题,每小题 分,共 分。
3 5 15
1- 5 11
13.-2 14. 15.
2 30
四、解答题:本题共 小题,共 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
5 77
证明 由正弦定理得 A B B A 分
15.(1) : sin (2-cos )=sin (1+cos ),…………………………… 2
即 A A B B B A
2sin -sin cos =sin +sin cos ,
所以 A B A B A B
2sin =sin +sin cos +cos sin ,
所以 A B C 分
2sin =sin +sin ,………………………………………………………………… 4
由正弦定理得 a b c. 分
2 = + ………………………………………………………………… 6
证明 因为1bc A 3bc 所以 A 3 分
(2) : sin = , sin = ,………………………………………… 8
2 4 2
因为 a b c 所以A为锐角 所以A π. 分
2 = + , , = …………………………………………… 9
3
由余弦定理得a2 b2 c2 bc 分
= + - , ………………………………………………………… 10
b c
又a + 代入化简得b c 分
= , = ,…………………………………………………………… 12
2
所以a b c
= = ,
所以 ABC为等边三角形. 分
△ ……………………………………………………………… 13
. 证明 设F为PD的中点 连接AFEF
16 (1) : , , ,
因为E为PC的中点 所以EF CDEF 1CD
, // , = ,
2
又AB CDAB CD 所以EF ABEF 1AB
// , = , // , = ,
2
所以AF与BE必相交. 分
…………………………………………………………………… 2
因为PA AD 所以AF PD
= , ⊥ ,
又PD BE 所以PD 平面ABEF 分
⊥ , ⊥ ,…………………………………………………… 3
所以PD AB 分
⊥ , …………………………………………………………………………… 4
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1 ( 5 )又AD ABPD AD D 所以AB 平面PAD 分
⊥ , ∩ = , ⊥ ,…………………………………… 5
又AB 平面ABCD 所以平面PAD 平面ABCD. 分
⊂ , ⊥ …………………………………… 6
解 设OG分别为ADBC的中点 因为PA AD PD 所以PO AD
(2) : , , , = = , ⊥ ,
又平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD
⊥ , ∩ = ,
所以PO 平面ABCD 所以PO OAPO OG 又OA OG
⊥ , ⊥ , ⊥ , ⊥ ,
所以 以O为坐标原点 OAOGOP所在直线分别为x轴y轴z轴
, , , , , , ,
建立空间直角坐标系. 分
……………………………………………………………………… 8
由 知AB 平面PAD 所以 APB即为直线PB与平面PDA所成的角 分
(1) ⊥ , ∠ , ……… 9
AB
所以 APB 设AP 则AB
tan∠ =AP=2, =2, =4,
所以A B C D P . 分
(1,0,0), (1,4,0), (-1,4,0), (-1,0,0), (0,0,3) ………………… 10
因为PD 平面ABEF 所以平面ABE的法向量为m PD→ . 分
⊥ , = =(-1,0,- 3) …… 11
设平面PBC的法向量为n xyz
=(,,),
又BC→ PB→
=(-2,0,0), =(1,4,- 3),
n BC→ x
所以 · =-2 =0
,
n PB→ x y z
· = +4 - 3 =0
取n 分
=(0,3,4), ……………………………………… 13
所以平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为
m n
mn | · | 43 2 57. 分
|cos< ,>|= m n = = …………………………………………… 15
| ||| 2× 19 19
. 解 由题意得
17 (1) :
c
7
a=
2
16 9
a2-b2=1
c2 a2 b2
= +
分
………………………………………………………………………………… 3
解得a2 b2
=4, =3
x2 y2
所以C的方程为 . 分
- =1 ……………………………………………………………… 4
4 3
证明 由题意知l的斜率必存在 设ly kx mPx y Qx y .
(2) : , := + , (1,1), (2,2)
y kx m
= +
联立
x2 y2
- =1
4 3
得 k2x2 kmx m2 分
(3-4 ) -8 -4 -12=0,………………………………… 5
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2 ( 5 )km m2
所以x x 8 xx -4 -12. 分
1+ 2= k2 ,1 2= k2 ……………………………………………… 7
3-4 3-4
y y
因为 PAQ的平分线与x轴垂直 所以k k 1-3 2-3 分
∠ , AP+ AQ=x +x =0,……………… 9
1-4 2-4
即x y x y
(2-4)(1-3)+(1-4)(2-3)=0,
亦即x kx m x kx m
(2-4)( 1+ -3)+(1-4)( 2+ -3)=0,
展开得 kxx m k x x m 分
2 1 2+( -4 -3)(1+ 2)-8( -3)=0,……………………………… 11
m2 km
所以 k -4 -12 m k 8 m
2 × k2 +( -4 -3)× k2-8( -3)=0,
3-4 3-4
化简得k k m . 分
(+1)(4 + -3)=0 ………………………………………………………… 13
由题意知直线ly kx m不过点A 所以 k m
:= + (4,3), 4 + -3≠0,
所以k 故l的倾斜角为定值3π. 分
=-1, ………………………………………………… 15
4
.解 fx 时a xx
18 :(1)()=0 ,= e
令gx xx 则g'x x x 分
()= e, ()=(+1)e …………………………………………………… 1
所以x 时g'x gx 单调递减x 时g'x gx 单调递增 分
,<-1 , ()<0,() ,>-1 , ()>0,() … 2
又x 时gx x 时gx x 时gx 1
<0 ,()<0,→-∞ ,()→0;=-1 ,()=- ,
e
x 时gx 分
→+∞ ,()→+∞ …………………………………………………………………… 3
所以 当a 1时fx 无零点 分
,① <- ,() ……………………………………………………… 4
e
a 1或a 时fx 有 个零点 分
② =- ≥0 ,() 1 …………………………………………… 5
e
当 1 a 时fx 有 个零点 分
③ - < <0 ,() 2 ……………………………………………… 6
e
当a 时 由x 得fx
(2) ≤0 , >0 ()>0
所以 fx ax x 等价于xx a ax x 对x 恒成立 分
,| ()|> (ln +1) e- > (ln +1) ∈(0,+∞) …… 7
即 x a x 1 对x 恒成立 分
,e> (ln +x+1) ∈(0,+∞) ………………………………………… 8
x
令hx x 1 x 则h'x -1
()=ln +x+1,>0, ()= x2
hx 在 内单调递减 在 内单调递增
∴ () (0,1) , (1,+∞)
hx h 又 x 分
∴ ()≥ (1)=2, e>0 ……………………………………………………………… 9
x a x 1 对x 恒成立
∴e> (ln +x+1) ∈(0,+∞)
所以a 时成立 分
,≤0 ………………………………………………………………………… 10
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3 ( 5 )当a x 1 时ax x 显然成立.
>0,∈(0, ) , (ln +1)<0,
e
当a x 1 时
>0,∈[ ,+∞) ,
e
fx ax x 等价于xx a ax x 或xx a ax x
| ()|> (ln +1) e- > (ln +1) e- <- (ln +1)
x x
即e x 1 或e x 1 分
a>ln +x+1 a<-ln +x-1 ……………………………………………… 11
x
对于 e x 1 取x 得e 与a 矛盾 故不成立 分
,a<-ln +x-1, =1, a<0, >0 , ………………… 13
x 1
x ln +x+1
对于e x 1 即1 对x 1 恒成立 分
a>ln +x+1, a> x , ∈[ ,+∞) ………………… 14
e e
x 1 1 x
ln +x+1 -x2-ln -1
令tx x 1 则t'x 分
()= x ,∈[ ,+∞), ()= x <0………………… 15
e e e
tx 在 1 内单调递减
∴ () [ ,+∞)
e
1
tx t1 1-e
∴ ()≤ ( )=e
e
所以 a 1 e-1 分
,0< 2 , +1 n +1 +1 :
个位数字不等于 时 个位数字有 种取法 前面n位数有b 种取法 这时n 位正整
① 2 , 9 , n , +1
数中有 b 个 分
9n ; …………………………………………………………………………… 10
个位数字等于 时 前面n位数有b 种取法 但这b 个n 位正整数中十位数字等于
② 2 , n , n +1 1
的b 个正整数要去掉.故个位数字等于 且十位数字不等于 的n 位正整数有b
n -1 2 1 +1 n-
b 个. 分
n -1 …………………………………………………………………………………… 11
综上 由加法原理知b b b . 分
, n +1=10n- n -1 ………………………………………………… 12
设b xb x b 1 b
n +1- n= 10- n- xn -1 ,
10-
所以x 1 即x2 x
,= x, -10 +1=0,
10-
解得x 分
=5±26,………………………………………………………………………… 13
所以 b b 是首项为b b 公比为 的等比数列
, n +1- 5+26 n 2- 5+26 1=44-186, 5-26 ;
b b 是首项为b b 公比为 的等比数列
n +1- 5-26 n 2- 5-26 1=44+186, 5+26 ;
所以b b n -1
,n +1- 5+26 n= 44-186 5-26 ,
b b n -1
n +1- 5-26 n= 44+186 5+26 ,
n n
-1 -1
所以 当n 时b 116+27 5+26 - 116-27 5-26 分
, >2 ,n= ,……… 15
6
经检验 当n 时b 也成立
, =1 ,1=9
当n 时b 也成立. 分
=2 ,2=89 ……………………………………………………………… 16
n n
-1 -1
综上b 116+27 5+26 - 116-27 5-26 . 分
,n= …………………… 17
6
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