广东省四校2026届高三上学期10月教学质量检测试题数学Word版含解析_2025年10月_251011广东省四校2026届高三上学期10月教学质量检测

2025－2026 学年四校普通高中教学质量检测（01） 高三数学 2025 年 10 月 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、试室、座位号和准考证 号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不 按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】已知集合 ， 则 ，则 . 故选：B 2. “ 成立”是“ 成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因为 ，所以 ，解得 . 因为 ，所以解得 . 由此可以看出，“ 成立”推不出“ 成立”， 而“ 成立”能推出“ 成立”. 所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为 ，所以 ，化简得 ， 即 ，解得 ． 故选：C 4. 设集合 ， ，则下列图象能表示集合 到集合 的函数关系的是（ ） A. B.C. D. 【答案】A 【详解】集合 到集合 的函数即集合 中的任意元素，在对应关系作用下，集合 中都有唯一元素与之 对应， 对于A，由图象可知符合函数的定义，即A正确； 对于B，显然定义域没有取尽集合 中的元素，不符合函数定义，即B错误； 对于C，显然对于 中的元素， 中与之对应的元素并不唯一， 如 时，对应 值有2个，即C错误； 对于D，由图象，显然 时， 或 ，也不符函数定义，即D错误. 故选：A 5. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】令 ，则 ， 因为函数 在区间 上单调递减， 在 且 定义域内递增， 所以 ，解得 ， 故选：C 6. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 （ 为常数），其中 表示每一轮优化时使 用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中 ，当 时，学习率为0.25；当 时，学习率为0.0625，则学 习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知 ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【详解】因为衰减学习率模型为 ， 所以根据已知条件可得： ① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得： . 将 代入①式中可得： . 所以衰减学习率模型为 . 当学习率衰减到0.05以下时，即 . 化简上述不等式得： ，所以 . 因为 为正数，所以最小值取34. 故选：D. 7. 已知函数 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 由 的图象（如图所示）知，①当 时，只有 时才能满足 . ②当 时， . 故由 ，得 . 当 时，不等式为 成立； 当 时，不等式等价为 . ， ， 综上可知， . 故选：D. 8. 若负实数 满足：对于任意 ，总存在 ，使得 ，则 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题可知：对于任意 ，总存在 ， 使得 ， 所以 的取值范围是 的子集即可，， 注意到 ， ， 因为 ，所以 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知 ，则（ ） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 【答案】BD 【详解】对于A，由 ，得 ，当且仅当 时取等号，A错误； 对于B， ，当且仅当 时取等号，B正确； 对于C，取 ，则 ，C错误； 对于D， ，当且仅当 时取等号，D正确.故选：BD 10. 已知不等式 的解集是 ，则下列四个结论中正确的是（ ）. A. B. 若不等式 的解集为 ，则 C. 若不等式 的解集为 ，则 D. 若不等式 的解集为 ，且 ，则 【答案】ABD 【详解】由题意，不等式 的解集是 ， 所以 ， ，所以A正确； 对于B： 变形为 ，其解集为 ， 所以 ，得 ，故 成立，所以B正确； 对于C：若不等式 的解集为 ，由韦达定理知： ，所以C错误； 对于D：若不等式 的解集为 ， 即 的解集为 ，由韦达定理知： ， 则 ，解得 ， 所以D正确.故选：ABD. 11. 已知对任意 ， ， ，且 ，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线 对称 D. 【答案】BCD 【详解】对于A，令 ，则 ，所以 ，即A错误； 对于B，令 ，则 ，即B正确； 对于C，令 ，则 恒成立， 所以 的图象关于直线 对称，即C正确； 对于D，由上知 ，令 ， 则 ， 易知 不恒为0，所以 恒成立， 即 ，所以 ， 的一个正周期为2， ， 所以 ，所以 ，即D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 ，则 ______． 【答案】 ## 【详解】由 ， 可得： ， ， 故答案为： 13. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为______． 【答案】 【详解】由函数 的定义域为 ， 知 ，所以 ，这意味着函数 的定义域为 ； 现在考虑函数 定义域，其自变量 需同时满足以下条件： ，解得： . 故答案为： 14. 设 表示实数 中的最小值，若函数 ，函数有六个不同的零点，则 的取值范围是 ________． 【答案】 【详解】令 ，可得 ，则 或 ， 结合一次函数、二次函数性质，易知 ，大致图象如下， 令 ，则 ，要使原函数有六个不同的零点， 结合图象知 在区间 上有两个解，所以 在 上有两个解， 根据对勾函数的性质知 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 时 趋向正无穷， 所以 . 故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集 ，集合 ，集合 ． （1）求 ； （2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围； （3）若命题“ ，则 ”是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【小问1详解】 因为 ，所以 或 . 【小问2详解】 由“ ”是“ ”的充分不必要条件，得 是 的真子集， 又 ， ， 因此 或 ， 解得: . 所以实数 的取值范围为 . 【小问3详解】 命题“ ，则 ”是真命题，则有 , 当 时， ，解得 ，符合题意，因此 当 时，而 ，则 ，无解， 综上所述，实数 的取值范围 . 16. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为 .已知输入的问题表达不清晰的概率 为 . （1）求智能客服 的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布列、期望及方差. 【答案】（1） ； （2）分布列见解析，期望为 ，方差为 . 【小问1详解】 设 “智能客服的回答被采纳”， “输入的问题表达不清晰”， 依题意， ， ， 因此 ， 所以智能客服的回答被采纳的概率为 . 【小问2详解】 依题意， 的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 ； . 17. 如图，圆柱 中， 是底面圆 上的一条直径， 分别是底面 ， 圆周上的一点， ，且点 不与 两点重合. （1）证明：平面 平面 ； （2）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【小问1详解】 因为 是底面圆 上的一条直径，所以 ， 又因为 底面 ，由 ，所以 底面 ，又 平面 ，所以 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ； 【小问2详解】 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，所以 为二面角 的平面角， 所以 ，又 ，所以 为等边三角形， 以 为原点，分别以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 由 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ， 所以 ，令 ，得 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .18. 已知抛物线 的焦点 在直线 上， 是 上的三个点. （1）求 的方程； （2）已知 ，且直线 经过点 ， ，求直线 的方程； （3）已知 在 轴的两侧，过点 分别作抛物线 的切线 ，且 与 交于点 ，直线 与 和 分别交于点 ，求 面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 由题可知 ，所以 ，解得 ， 所以 的方程为 ； 【小问2详解】 设 ，由题可知 ， 依题意知直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 . 由 整理得 ，则 ， ， ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ， ， 解得 ，所以直线 的方程为 ； 【小问3详解】 设 ， 因为 在 轴的两侧，所以直线 的斜率一定存在， 不妨设 ，直线 的方程为 ， 由 整理得 ， 则 ， ， 由 得 . 设切线 的斜率分别为 ，又 ，所以 ，则 ， ， 所以 方的程为 ，即 ， 同理可得 的方程为 . 由 解得 即 . 令 ，可得 ， ， . 点 到直线 的距离为 ， 故 的面积为 ，（当 时，等号成立） 令 ，记 ，则 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递增； 令 ，则 ，在 上单调递减，所以 ， 故 面积的最小值为 . 19. 已知 ． （1）若 时，求 在 上的最大值和最小值； （2）若 恒成立，求 的取值范围； （3）设 ，证明： ． 【答案】（1） ， （2） （3）证明见解析 【小问1详解】 因为 ， 当 时，令 ， 因为函数 定义域为 ，所以 ； 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 所以 为 的一个极大值点，也为最大值点，所以 而 ， 又因为 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 若 时，因为 ，不满足题目要求， 若 时， ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 所以 为 的一个极大值点，也为最大值点， 所以 即可，令 ， 因为 单调递减，且 ， 所以 ； 【小问3详解】 证明：由（2）知，当 时， 恒成立， 即 ，等号成立当且仅当 时取得． 所以 . 令 ，代入化简即得 ， 又因为 时， ． 即得 ， 累加即得 ．