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高三数学考试参考答案
!!#!!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
由"$!#"%###&"#得$$"$$!#&%!
’!(!!解析"本题考查复数的运算$共轭复数$复平面#考查数学运算的核心素养!
因为%$’)*#所以*%%$*$’+*%$)!+’*#则*%%在复平面内对应的点位于第二象限!
&!(!!解析"本题考查等比数列的定义#考查逻辑推理的核心素养!
! ! ! ! !
因为&+& $$) %’+$) %’+!$$) %’$!) %$)$) %’+!#所以!&+& "的首
’ ’+! ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’+!
! & +& ! !
项为) #且 ’+! ’+’$) #所以!&+& "是公比为) 的等比数列!
, &+& ’ ’ ’+! ’
’ ’+!
,!-!!解析"本题考查二项式定理#考查数学运算的核心素养!
$’#)(%.的展开式中##’(&的系数为-&/’’/$)!%&$),%!
.
.!-!!解析"本题考查台体的体积#考查应用意识!
依题意可得该牛皮鼓的体积可视为两个相同的圆台$上底面半径为’.01#下底面半径为
!
&%01#高为&%01%的体积之和#所以该牛皮鼓的体积为’/ !/&%/$’.’+’./&%+&%’%
&
$,..%%!01&!
2!3!!解析"本题考查对数大小的比较#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
& ! &
因为
’
$456
&
&槡&#&$456
&
2#456
&
7$’#)$456!
,8
$456
,
8$456 ’’’&$
’
#所以*&&&)!
"!3!!解析"本题考查导数的几何意义及直线的倾斜角#考查数学运算与逻辑推理的核心
素养!
(+$&#’),##则,的斜率为&-’),-!因为,的倾斜角小于!&.9#所以,的斜率小于)!或不
! ,
小于%#则&-’),-#)!或&-’),-’%#解得-($):#%&)$ #!%)’ #+:%!
& &
8!3!!解析"本题考查椭圆的定义与性质#考查直观想象的核心素养!
++* ++*
如图#连接./#由$.$’./#得"0."$,"./"#设"./"$1#
! ’ ’ ’ ’ ’
则"0."$,1#"0."$’&),1#"/."$’&)1!由余弦定理得
’ ! !
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! ! ! !
’&),1 .
$$’&),1%’+$.1%’)’$’&),1%/.1/ #整理得1$ &#则
,1 !,
’槡’! ’) ".." 槡’!
".."$槡$,1%’)$’&),1%’$槡!2&1),&’$ &#故2$ $ ! ’ $ !
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7!(-3!!解析"本题考查三角函数的图象及其性质$三角恒等变换#考查逻辑推理与数学运算
的核心素养!
! .! &! .!
因为3$#%$;*<$#+ %#所以3$#%的最小正周期为’!!因为3$ %$;*< $)!#3$) %
, , ’ ,
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
书书书.! .!
$;*<$)!%$%#所以3$#%的图象关于直线#$ 对称#3$#%的图象关于点$) #%%对称!
, ,
! !
3$#%+3$)#%$;*<$#+ %+;*<$)#+ %$槡’05;#!
, ,
!%!#-3!!解析"本题考查统计中的极差$中位数$平均数$方差$百分位数#考查数据处理能力
与推理论证能力!
对于#选项#如果删去的不是最大值或最小值#那么极差不变#所以#正确!
对于(选项#删除前有2个数据#中位数是按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数#
因为任何两个数据都不相等#所以中位数不会等于2个数据中的任何一个#而删除后有.个
数据#中位数是2个数据中的某一个#所以(错误!
对于-选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在方差公式中#分子不变#分
母变小#所以方差变大#所以-正确!
对于3选项#平均数不变意味着删去的数据刚好等于平均数#在按从小到大的顺序排列的2
个数据中#因为2/’%=$!>’#./’%=$!#所以原数据的’%=分位数是第’个数#新数据
的’%=分位数是前’个数的平均数#且该数值小于第’个数#所以3正确!
!!!(-!!解析"本题考查抽象函数与具体函数的奇偶性#考查逻辑推理与数学抽象的核心
素养!
令#$($%#得3$%%$%#令($%#得3$#%$#3$%%$%#则3$)#%$3$#%$)3$#%$%#所
以3$#%既是奇函数又是偶函数!由4$#+!%$$#+!%$#’+’#%$$#+!%’$#+!%’)!&#得
4$#%$#&)##因为4$)#%$)4$#%#所以4$#%是奇函数!
!’!#-3!!解析"本题考查立体几何初步中的体积$距离$二面角#考查空间想象能力与运算求
解能力!
如图#取56的中点7#连接87#因为平面568-平面569#且平面
568$平面569$56#所以87-平面569!取59的中点:#连接
6:#因为56$69#所以6:-59#则6:$槡56’)5:’$’槡’!因为
槡& &槡&
87$&/ $ #
’ ’
! &槡& !
所以; $ / / /’/’槡’$槡2##正确!取5:的中点.#连接.7#8.#则.7
9)568 & ’ ’
.6:#所以.7-59!因为87-平面569#所以87-59#又87$.7$7#所以59-平
槡&.
面8.7#则59-8.#则8.$槡87’+.7’$ #,8.7为二面角6)59)8的平面角#
’
87 &槡2
且?@<,8.7$ $ #(错误#-正确!设/569#/568的外心分别为<#$#则7<-
.7 ,
56#又平面569-平面568#所以7<-平面568!设三棱锥9)568外接球的球心为
!
=#则=<-平面569#=$-平面568#所以四边形=$7<为矩形#则=<$$7$ 87$
&
!高三数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$%槡& 槡&
!故三棱锥9)568外接球的球心到平面569的距离为 #3正确!
’ ’
!&!,槡’!!解析"本题考查双曲线的性质#考查数学运算的核心素养!
依题意可得’)$2#’&$’#则)$&#&$!#所以该双曲线的虚轴长为’*$’槡)’)&’$,槡’!
’
!,! !!解析"本题考查投影向量与平面向量的基本定理#考查直观想象的核心素养!
&
++* ++* !++* ++* ++* !++*
在矩形5689中#因为向量5:在向量59上的投影向量为 59#所以5:$56+ 59#又
& &
++* !++* !++* ++* ++* ++* !++* !++* ! ! ’
5=$ 56+ 59#所以=:$5:)5=$ 56) 59#所以!)"$ + $ !
’ ’ ’ 2 ’ 2 &
!.!(’$!)’#!!解析"本题考查圆与圆的位置关系$直线与圆的位
置关系#考查直观想象与数学运算的核心素养!
设$$##(%#点$到直线#$’的距离为>#如图#$只能在直线
#$’的左侧#则>$’)##依题意可得"$="+!$>#即槡#’+(’
$$’)#%)!#化简可得(’$!)’##故圆$的圆心的轨迹方程
为(’$!)’#!
!)槡.
!2! !!解析"本题考查三角恒等变换与导数的应用#考查数学建模与数学运算的核心
’
素养!
’# #+#&
设?@<#$##则#&!#?@<’#)?@<#$ )#$ !
!)#’ !)#’
#+#& )#,+,#’+! $#’)槡.)’%$#’+槡.)’%
设函数3$#%$ $#&!%#则3+$#%$ $) $#&!%!
!)#’ $!)#’%’ $!)#’%’
当!##’#槡.+’时#3+$#%&%(当#’&槡.+’时#3+$#%#%!
所以当#’$槡.+’时#3$#%取得最大值#即?@<’#)?@<#取得最大值#
?@<’# ’ ’ !)槡.
此时 $ $ $ !
?@<# !)#’ !)$槡.+’% ’
++* ++* ++* ++* :9 .6
!"!$!%证明)因为:9$’8:#.6$’8.#所以 !$ !$’#
! ! ! ! 8: 8.
! !
所以:..69#…………………………………………………’分
! !
因为690平面8:.#:.1平面8:.#所以69.平面8:.!
! ! ! !
…………………………………………………………………,分
$’%解)如图#以9为坐标原点建立空间直角坐标系9#(%#设56$&#
& &
则5$&#%#%%#8$%#&#%%#=$ # #&%#:$%#’#&%#.$!#&#&%#…………………………….分
’ ’
++* ++*
8:$$%#)!#&%#:.$$!#!#%%!……………………………………………………………2分
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%++*
38:*!$)(+&%$%#
设平面8:.的法向量为!$$##(#%%#则2 ……………………"分
++*
4:.*!$#+($%#
令#$&#得!$$&#)&#)!%# ……………………………………………………………8分
++*
++* & & ++* 5=*! )!’ 8
因为5=$$) # #&%#所以05;+5=#!,$ ++* $ $) ! ……7分
’ ’ "5=""!" &槡2 槡!!,
/槡!7
’
8 2, &’
所以直线5=与平面8:.所成角的正弦值为 #其平方为 $ !……………!%分
槡!!, !!, ."
评分细则)
-!.第$!%问中#未写/690平面8:.#:.1平面8:.0扣!分!
! !
-’.第$’%问中#建系方式不唯一#平面8:.的法向量不唯一#如果建系的方式相同#那么只
要所求法向量与!$$&#)&#)!%共线即可!
!
!8!解)$!%在/568中#5+6+8$!#因为5+6$!!8#所以8$ #……………………!分
!’
! ! 槡’ 槡& ! 槡2)槡’
则;*<8$;*<$ ) %$ /$ ) %$ ! ……………………………………&分
& , ’ ’ ’ ,
, &
因为05;5$ #所以;*<5$ #…………………………………………………………,分
. .
68 56 56;*<5 !’
由正弦定理得 $ #则68$ $ !……………………………………2分
;*<5 ;*<8 ;*<8 .
! !
$’%由$!%知8$ #则5$’8$ #………………………………………………………"分
!’ 2
在/59:中#由余弦定理得9:’$5:’+59’)’5:*5905;5#……………………8分
槡&
代入数据#得"$&+59’)’槡&59/ #解得59$,$59$)!舍去%#……………!%分
’
! ! 槡& !
所以/69:的面积为 5:*59*;*<5) 5:*56*;*<5$ / /’,)$槡2)槡’%&
’ ’ ’ ’
,槡&)&槡’+槡2
$ !…………………………………………………………………………!’分
,
评分细则)
56;*<5
-!.第$!%问中#若68最后的结果计算错误#但得到68$ #只扣!分!
;*<8
&槡’)槡2
-’.第$’%问中#最后的结果写为槡&) #不扣分!
,
!7!解)$!%用$表示事件/测试者提出的两个问题相同0#"表示事件/测试者对机器产生误
判0#则0$"%$0$"$%+0$"$5%$0$$%0$""$%+0$$5%0$""$5% ………………&分
$%>2/%>!+$!)%>2%/%>&.$%>’! …………………………………………………….分
$’%设?为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?"6$,#%>’%#…………………"分
若机器通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有’名产生误判# …………………8分
!高三数学"参考答案!第!!!!,页#共"页$%所以机器5通过图灵测试的概率0$!)0$?$%%)0$?$!%$!)-%/%>’%/$!)%>’%,
,
)-!/%>’/$!)%>’%&$%>!8%8! ………………………………………………………!’分
,
评分细则)
-!.第$!%问中#得到/0$"%$0$$%0$""$%+0$$5%0$""$5%0#但未写/0$"%$0$"$%
+0$"$5%0#不扣分!
-’.第$’%问中#得到/0$!)-%/%>’%/$!)%>’%,)-!/%>’/$!)%>’%&$%>!8%80#但未
, ,
写/,名测试者中至少有’名产生误判0#不扣分!第$’%问还可以用直接法求解#解析如下)
设?为,名测试者中产生误判的人数#由$!%可知#?"6$,#%>’%#……………………"分
若机器5通过本轮的图灵测试#则,名测试者中至少有’名产生误判#………………8分
所以机器5通过图灵测试的概率0$0$?$’%+0$?$&%+0$?$,%$-’/%>’’/$!)
,
%>’%’+-&/%>’&/$!)%>’%+-,/%>’,$%>!8%8!……………………………………!’分
, ,
’%!$!%证明)当’$!时#@+@$,#则&+’&$,#因为&$!#所以&$’! ……………!分
’ ! ’ ! ! ’
当’’’时#由@ +@$$’+!%’#得@+@ $’’#两式相减得& +&$’’+!!………
’+! ’ ’ ’)! ’+! ’
……………………………………………………………………………………………’分
又&+&$&$’/!+!#所以当’(!6时#& +&$’’+!! …………………………&分
! ’ ’+! ’
$’%解)& )&$$& +& %)$& +&%$$’’+&%)$’’+!%$’# ………………,分
’+’ ’ ’+’ ’+! ’+! ’
所以!&"的奇数项是以!为首项#’为公差的等差数列#偶数项是以’为首项#’为公差的等
’
差数列#……………………………………………………………………………………….分
所以!&"是以!为首项#!为公差的等差数列#故&$’! ………………………………2分
’ ’
! ’ ’)!
$&%解)A$%) ) )1) #………………………………………………………"分
’ ’& ’, ’’+!
! ! ’ ’)!
则 A$) ) )1) #……………………………………………………………8分
’ ’ ’, ’. ’’+’
! ! ! ! ’)!
则A) A$)$ + +1+ %+ # …………………………………………7分
’ ’ ’ ’& ’, ’’+! ’’+’
! !
)
! 8 ’’+’ ’)! ’+! !
所以 A$) + $ ) #……………………………………………!!分
’ ’ ! ’’+’ ’’+’ ,
!)
’
’+! !
故A$ ) !…………………………………………………………………………!’分
’ ’’+! ’
评分细则)
-!.第$’%问中#得到& +&$’’+!后#还可以通过下面的方法得到数列!&"的通项公式)
’+! ’ ’
由& +&$’’+!#得& )$’+!%$)$&)’%#因为&)!$%#所以&)’$%#即&$’!
’+! ’ ’+! ’ ! ’ ’
-’.第$&%问还可以用裂项相消法求解#过程如下)
!)& ’+!)’’ ’+! ’
因为*$ ’$ $ ) #…………………………………………………7分
’ ’’+! ’’+! ’’+! ’’
’ ! & ’ ’+! ’ ’+! !
所以A$ ) + ) +1+ ) $ ) !………………………………!’分
’ ’’ ’ ’& ’’ ’’+! ’’ ’’+! ’
!高三数学"参考答案!第!!!!.页#共"页$%’!!$!%证明)将点$’#)’槡2%代入(’$’B##得’,$,B#即B$2! …………………………!分
3(’$!’##
联立2 得-(’)!’(+!’C$%#…………………………………………’分
4($-#+C$-7%%#
!’C
设5$##(%#6$##(%#则(($ #…………………………………………………&分
! ! ’ ’ ! ’ -
(’ (’ $((%’ C’
##$ !* ’$ ! ’ $ !……………………………………………………………,分
! ’ !’ !’ !,, -’
++* ++* C’ !’C
因为=5*=6$%#所以 + $%恒成立#则C$)!’-#…………………………….分
-’ -
所以,的方程为($-$#)!’%#故直线,过定点$!’#%%!………………………………2分
! !
3(’$!’##
$’%解)联立2 得,#’+$,C)!’%#+C’$%#
4($’#+C#
3#
!
+#
’
$)C+&#
则2
C’
………………………………………………………………………"分
##$ #
4! ’ ,
&
且$$$,C)!’%’)!2C’$,8$&)’C%&%#即C# # …………………………………8分
’
"56"$槡!+’’"#)#"$槡!+’’槡$#+#%’),##$槡.*槡7)2C#……………7分
! ’ ! ’ ! ’
设,)($’#+’#同理可得"$""$槡.*槡7)2’!………………………………………!%分
’
C)’
因为直线,在,的右侧#所以’#C#则>$ $槡.#即’$C).! ………………!!分
’ !
槡.
所以"$"")"56"$槡.’槡7)2$C).%)槡7)2C&$!%#
&!
即槡&7)2C$’槡.+槡7)2C#解得C$ #
’,
&! & &!
因为 # #所以C$ !…………………………………………………………………!’分
’, ’ ’,
评分细则)
3(’$!’##
-!.第$!%问中#联立2 消去(得-’#’+$’-C)!’%#+C’$%#也可以求得
4($-#+C$-7%%#
C$)!’-#从而得到直线,过定点$!’#%%!
!
! 槡.
-’.第$’%问中#还可以用"56"$槡!+$ %’"()("$ 槡$(+(%’),((#得到"56"
’ ! ’ ’ ! ’ ! ’
&! & &!
$槡.*槡7)2C!解析中#未写 # #但是得到C$ #不扣分!
’, ’ ’,
!
’’!解)$!%当&$!时#3$#%$05;#+ #’)!#则3+$#%$#);*<#!………………………!分
’
令函数4$#%$#);*<##则4+$#%$!)05;#’%#可得4$#%单调递增!………………’分
又4$%%$%#所以当#($%#+:%时#4$#%&%#当#($):#%%时#4$#%#%!…………&分
!高三数学"参考答案!第!!!!2页#共"页$%所以3$#%的单调递减区间为$):#%%#单调递增区间为$%#+:%!……………………,分
!
$’%若&$%#则3$#%$ #’#此时#$%是3$#%的极小值点#故&7%!………………….分
’
3+$#%$#)&;*<&##令函数D$#%$#)&;*<&##则D+$#%$!)&’05;&#$!)&’05;"&"#!
……………………………………………………………………………………………2分
!
令函数
%
$#%$!)&’05;"&"#$&7%%#可知
%
$#%在区间’%# %上单调递增!…………"分
"&"
#当
%
$%%$!)&’’%且&7%#即)!8&8!且&7%时#
%
$#%’% $%%’%#此时D$#%在区间
!
’%# %上单调递增#则D$#%’D$%%$%#此时#$%不可能是3$#%的极大值点! ……8分
"&"
!
$当
%
$%%$!)&’#%#即&#)!或&&!时#由
%
$#%在区间’%# %上单调递增#可知存在
"&"
!
C($%# %#使得当#(’%#C%时#
%
$#%#%#则D$#%在’%#C%上单调递减# …………7分
"&"
从而D$#%8D$%%$%#即3+$#%8%#3$#%在’%#C%上单调递减!………………………!%分
! !
由3$)#%$05;$)&#%+ $)#%’)!$05;&#+ #’)!$3$#%#可得3$#%为偶函数#
’ ’
3$#%的图象关于(轴对称#此时#$%是3$#%的极大值点!……………………………!!分
综上#&的取值范围为$):#)!%)$!#+:%!…………………………………………!’分
评分细则)
-!.第$!%问中#最后没有回答函数的单调区间#而是写为/3$#%在$):#%%上单调递减#在
$%#+:%上单调递增0不扣分!
-’.第$’%问中#在说明&7%后#也可以先讨论&&%#再根据函数的奇偶性#确定&#%中满
足条件的&的范围#最后求两种情况的&的取值集合的并集#即得满足题意的&的取值
范围!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
