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2024届新高考二轮复习第五讲：三角函数的图像及性质
1.（7）.已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：A
2.（9）（多选） 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 为偶函数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
B. 曲线 的对称轴为
C. 在区间 单调递增
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【详解】
，
即 ，
对于A， ，易知为偶函数，所以A正确；
对于B， 对称轴为 ，故B错误；
对于C， ， 单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D， ，则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：三角函数概念及诱导公式
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 的值是（ ）
A． B． C．12 D．13
【答案】B
【详解】根据任意角三角函数定义，
，所以 .
故选：B.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“ 为第一象限角”是“ 为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“ ， ”是“ ”的充要条件更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C．设 ， ，则“ ”是“ ”的充分不必要条
件
D．“ ”是“ ”的必要不充分条件
【答案】AC
【详解】对于A,因为 为第一象限角，
所以 ，
则 ,
当 为偶数时， 为第一象限角，
当 为奇数时， 为第三象限角，
所以充分性成立；
当 时， 为第一象限角，则 ，为第二象限角，
即必要性不成立，故A正确；
对于B，当 ， 时，
成立，则充分性成立；
当 时， 或 ， ,
故必要性不成立，则B错误；
对于C， ，
而 ，
则 ，故则“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D,当 时， ,
则 ，
则 ，故充分性成立，
当 时， ，
则 ，
则 成立，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D错误，
故选：AC.
2.（2024春·广东省揭阳市）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由于角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
3.（2024春·广东省）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4.（2024春·广西桂林）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
题型二：三角恒等变换
【典例例题】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
例1.（2024春·湖北省）已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，结合题设，
所以 ，而 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以
.
故选：D
【变式训练】
1.（2024春·江西省）（多选）下列等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】对A， ，A选项正确；
对B， ，B选项正确；
对C， ，C选项错误；
对D，
，所以D选项正确.
故选：ABD
2.（2024春·湖北省）（多选）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
C正确；
对于D： ，D错误.
故选：AC.
3.（2024春·惠州市）已知 ， ，则 等于（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，
所以 ．
两边除以 ，得 ．
故选：D．
4.（2024春·广东省东莞市）已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】 ，即 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 ，
故选：A.
题型三：三角函数的图像及性质
【典例例题】
例 1. （ 2024 春 · 新 疆 ） 已 知 函 数 满 足 ， 若
，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 满足 ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
得 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
因为 ，所以 .
故选：D.
【变式训练】
1.（2024春·广东省）关于函数 的性质，下列叙述正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 是偶函数
C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递增
【答案】BCD
【详解】做出函数 的图象，且函数 的定义域为 ，
由函数 的图象可知，最小正周期为π，A错误；
又 ，所以 是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数 的图象知， 的图象关于直线 对称，C正确；
根据 的图象知， 在区间 上单调递增，D正确．
故选：BCD．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2.（2024春·湖南长沙）设函数 ，已知方程 在 上有且仅有2
个根，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知， 的图象与直线 在 上仅有2个交点，
由 ，得 ，
所以 ，解得： .
故选：C
3.（2024春·广东省东莞市）（多选）已知函数 ， ， 是 的导函数，
则下列结论正确的是（ ）
A. 与 对称轴相同 B. 与 周期相同
C. 的最大值是 D. 不可能是奇函数
【答案】BC
【解析】
【详解】由题意知 ，所以 ，
对A： 的对称轴为 ， ，解得 ， ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
的对称轴为 ， ，解得 ， ，
所以 与 的对称轴不相同，故A错误；
对B： 的周期为 ， 的周期为 ，
所以 与 的周期相同，故B正确；
对C： ，
因为 ，所以 ，故C正确；
对D：当 ， ， ，
所以 ，此时 为奇函数，故D错误；
故选：BC.
4.（2024春·黑龙江）（多选）若 在 上仅有一个最值，且为最大值，
则 的值可能为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以由题意得 ， Z，
解得 ， Z,
为负整数时， 的范围时小于零的，与已知不符.
时， ； 时， .
因为 ，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.
故选：BD．
题型四：三角函数图像变换问题
【典例例题】
例1.（2024春·湖北武汉）若函数 的图象向左平移 个单位长度后，其图象
与函数 的图象重合，则 的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题可得 的图象与函数 的图象重合，
则 ，即 ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
解得 ， ，故 的值可以为 .
故选：D．
【变式训练】
1.（2024春·河南郑州）将函数 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 ，再向左平移 个
单位，得到函数 的图象，则 是（ ）
A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数
C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数
【答案】C
【解析】
【详解】将函数 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 ，可得 的图象，
再向左平移 个单位，得到函数 的图象，
故 是周期为 的奇函数.
故选：C.
2.（2024春·重庆）（多选）关于函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．函数 的最小正周期为
C． 在区间 上单调递增
D．将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再把图象向右平移 个单位长度得到的函数为
【答案】ACD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】由于 ，所以 ，
故 的图象关于点 对称，A正确，
函数 的最小正周期为 ，故B错误，
当 时， ，故C正确，
将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到 ，
再把图象向右平移 个单位长度得到的函数为 ，D正确，
故选：ACD
3.（2024春·浙江）（多选）函数 相邻两个最高点之间的距离为
为 的对称中心，将函数 的图象向左平移 后得到函数 的图象，则（ ）
A． 在 上存在极值点
B．方程 所有根的和为
C．若 为偶函数，则正数 的最小值为
D．若 在 上无零点，则正数 的取值范围为
【答案】AC
【详解】依题意， ，解得 ，由 ，得 ，
而 ，则 ， ， ，
对于A，当 时， ，显然当 时，函数 取得极大值，A正确；
对于B，由 ，得函数 的图象关于点 对称，直线 过点 ，
因此直线 与 的图象交点关于点 对称，共有 个交点，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
即方程 共有 个根，所有根的和为 ，不存在 使得 ，B错误；
对于C，函数 是偶函数，则 ，
，因此当 时，正数 取得最小值 ，C正确；
对于D，函数 ，当 时， ，
由 在 上无零点，得 ，
则 ，解得 ，显然 ，
即 ，于是 ，所以正数 的取值范围为 ，D错误.
故选：AC
题型五： 的图像及性质
【典例例题】
例1.（2024春·河北）函数 的部分图像如图所示，则 ， 的值分别
是（ ）
A．2， B．2， C．2， D．4，
【答案】B
【详解】设 的周期为 ，
则由图像知 ，
所以 ，则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
因为 在 处取得最大值，
所以 ，
得 ，
因为 ，
所以 .
故选：B
【变式训练】
1.（2024春·广西南宁）（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位
置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ，频率为 ，初相为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上的值域为
D．若把 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，则所得
函数是
【答案】BCD
【详解】由图象可得 ，
频率是 ，
即 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
对于A， ，初相是 ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
在 上的值域为 ，故C正确；
对于D，把 的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数为 ，
又向左平移 个单位，得到的函数为 ，故D正确；
故选：BCD.
2.（2024春·安徽省合肥）（多选）已知函数 的图象过点
， ，其部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线 对称更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C. 在区间 上单调递增
D. 将 的图象向右平移 个单位后所得图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】
【详解】由图象得， ，则 ，
由 ，因为 ，所以 或 ，
又函数 图象过点 ，由五点画图法知： ，
若 ，所以 ，解得： ；
若 ，所以 ，解得： ；
由图可知， ，则 ，解得： ，所以 ， ，
所以 ，
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
可得 在区间 上单调递增,故C正确.
对于D，将 图的象向右平移 个单位可得：
，不为奇函数，故D错误.
故选：BC.
3.（2024春·甘肃省）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，
则（ ）
A. 是 奇函数
B. ，
C. 若 在区间 上有且仅有 条对称轴，则
D. 若 在区间 上单调递减，则 或
【答案】BC
【解析】
【详解】依题意，点 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ，且 ①，B选项正确.
则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以
，
由于 是奇数，所以 是偶函数，
A选项错误.
C选项， ，
将 代入得：
，
整理得 ，
由于 在区间 上有且仅有 条对称轴，
所以 ，解得 ，由于 ，所以 ，
对应 ，所以C选项正确.
D选项， 在区间 上单调递减，
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将 代入得：
，
整理得 ，
则 ，解得 ，而 ，所以 或 ，
时， ，符合单调性，
时， ，不符合单调性，所以 舍去
所以 ，所以D选项错误.
故选：BC
4.（2024春·广东省）（多选）已知函数 的部分图象如图所
示，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的单调递增区间是
C. 在 上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】AC
【解析】
【详解】由图象得 ，周期 ，得 ，
所以 ，
．
令 ，解得 ，
故单调递增区间为 ．A正确，B错误；
令 ，解得 ，
令 得 ，解得 ，可知C选项正确；
函数图象关于直线 对称，向左平移3个单位长度，图象关于 轴对称，得到的函数为偶函数，故D
错误．
故选：AC．
一、单项选择
1.（2024春·广东深圳）若角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】因为角 的终边过点 ，所以 ，所以 .
故选：A
2．（2024春·湖南长沙）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：D
3.（2024春·江西）已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 为锐角，则 ，
则 ，
整理可得 ，解得 ，
所以，
.
故选：C.
4.（2024春·广州市）已知 ， ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D. 2更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】B
【解析】
【详解】 ，
，
，分子分母同时除以 得：
①，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，代入①得：
，解得 .
故选：B
5．（2024春·河北）已知函数 满足对于任意 都有 .若函数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
在区间 上有且仅有一个零点，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【详解】因为 ，则 在 取得最值，
所以 的图象关于直线 对称，且 ，
又函数 在区间 上有且仅有一个零点，设 的最小正周期为 ，
所以 ，即 ，所以 .
所以 的最大值为3.
故选：A.
6．（2024春·湖北武汉）如图，在函数 的部分图象中，若 ，则点 的纵坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意 ，则 ，所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
所以 ，又由图可知 ，所以 .
故选：B.
7．（2024春·四川）函数 的图象向左平移 个单位长度后与函数
的图象重合，则 的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数 图象向左平移 个单位长度后，
得 的图象，
由已知得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为3，
故选：C.
二、多项选择
8.（2024春·广州铁一中学）下列式子中，运算结果为1的是（ ）
A. B.
C. D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】AD
【解析】
【详解】对A， ，A正确；
对B， ，B错误；
对C， ，C错误；
对D， ，D正确．
故选：AD.
9.（2024春·贵州黔东南）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的最小正周期是
D． 在 上有最大值，且最大值为
【答案】BCD
【详解】由 ，解得 ，
则函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，令函数 ，
当 时， ， ，
且函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，从而函数 的图象不关于直线 对称，A错误；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
在 上有最大值，且最大值为 ，D正确；
显然 ，
，
因此 的图象关于点 中心对称，B正确；
由对称性可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上不具有周期性，又 ，
所以 的最小正周期为 ，C正确.
故选：BCD
10．（2024春·湖南）已知函数 在 上单调，且 ，
则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 在 上单调， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，
如下图依次讨论 对应为点 四种情况，
若 ，则 ，满足 ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若 ，则 ，满足 ；
由 ，若 ，则 ，满足 ；
若 ，则 ，不满足 ，其它情况均不符合.
故选：ACD
11．（2024春·广西桂林）关于函数 有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于点 对称
D． 在 上单调递增
【答案】BCD
【详解】 ，
对于A， 的最小正周期为 ，故A错误，
对于B, ,故 的图象关于直线 对称，B正确，
对于C， ，故 的图象关于点 对称，C正确，
对于D， 时， ，故 在 上单调递增，D正确，
故选：BCD
12．（2024春·黑龙江齐齐哈尔）已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 时， 的最小正周期为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
B．当 时， 的最小值为
C．当 时， 在区间 上有4个零点
D．若 在 上单调递减，则
【答案】AB
【详解】当 时， ，所以 的最小正周期为 ，A选项正确；
当 时， ，
所以 的最小值为 ，B选项正确；
当 时， ，
令 ，解得 或 ，此时 或 或 ，
在区间 上有3个零点，C选项错误；
，设 ，
在 上单调递减，则 ，根据复合函数的单调性，
在 上单调递增，所以 ，解得 ，D选项错误.
故选：AB
13．（2024春·江苏）已知函数 （ ， ），且 ，
，则（ ）
A． B． 的最小正周期为
C． 在 上单调递减 D． 为奇函数
【答案】BC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】解：因为函数 （ ， ），且 ，
所以 ，又 ，所以 ，故A错误；
，则 ， 则 ，
又 ，则 ，所以 ，故B正确；
，因为 ，所以 ，故C正确；
，为偶函数，故D错误，
故选：BC
14．（2024春·重庆）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 的对称中心为
C． 在 上的递增区间为
D． 在 上的极值点个数为1
【答案】ACD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， 时， ，且 关于 单调递增，
又 在 时单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
令 ，解得 ，
所以 在 上的递增区间为 ，故C正确；
对于D， 时， ，
在 时，当且仅当 ，即 时，函数 有唯一极值点.
故选：ACD.
15．（2024春·山西吕梁）已知函数 的部分图象如图所示，将函
数 的图象先关于 轴对称，然后再向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C．函数 为奇函数 D．函数 在区间 上单调递增
【答案】AD
【详解】根据函数 的部分图象，
可得A＝2， ，∴ω＝2，
对于A选项，结合五点法作图，可得 ，故A正确，
，将函数 的图象平移后得到函数 的图象，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，
对于B选项，由 ，得到 的对称轴为 ，
显然 不是其对称轴，故 ，故B错误，
对于C选项，函数 显然不是奇函数，故C错误，
对于D选项， ， 的递增区间即 的递减区间，
令 ，
解得 ，
故 的递增区间是 ，
当 时， 的递增区间是 ，故D正确，
故选：AD．
16．（2024春·山东）已知函数 的部分图像如图所示，则（ ）
A．
B． 是 图象的一条对称轴
C． 在 上有两个不相等的解，则
D．已知函数 ，当 取最大值时，
【答案】ABD
【详解】对于A：因为周期 ，所以 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
对于B：代入 得 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，则 ，其对称轴为 ，
所以 是 的对称轴．
对于C：因为 ，所以 或 ，
因为 ，所以令 ，所以 或 有两个解，
结合 的图像， 与 有一个交点， 与 有一个交点，共两个交点，所以 符
合题意，答案错误．
对于D： ，
令 ，所以 ．
所以当 时取到最大值，此时 ．
故选：ABD.
17．（2024春·江西南昌）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 图象的对称中心为
B． 是奇函数
C．
D． 在区间 上单调递减
【答案】BC
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对于A选项，由 可得 ，
所以，函数 图象的对称中心为 ，A错；
对于B选项， ，
所以， 为奇函数，B对；
对于C选项， ，C对；
对于D选项，当 时， ， 单调递减，
所以， 在区间 上单调递增，D错.
故选：BC.
18．（2024春·江西）已知函数 （ ， ， ），若 的图象过 ，
， 三点，其中点B为函数 图象的最高点（如图所示），将 图象上的每个点的
纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．
C． 的图象关于直线 对称 D． 在 上单调递减
【答案】BC
【详解】由题意得 ， ， ，所以 ，.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 ，得 ，由图知 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 ， .
又 ，只可能 ，所以 ，
所以 ， ，故A错误，B正确；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确；
令 （ ），解得 （ ），
令 ，得 ，又 包含 但不是其子集，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
20.（2024春·广东实验中学1月段考）已知 均为锐角，且 ，若 ，则
________.
【答案】5
【解析】
【详解】由 ，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以 .
故答案为： .
21．（2024春·广东深圳）若函数 的最小正周期为 ，其图象关于点更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
中心对称，则 ．
【答案】
【详解】由 得， ，所以 ，
又 的图象关于点 中心对称，
所以 ,解得 ，又 ，
所以， .
故答案为：
