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数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B D B B A
【解析】
1．因为 ，所以 ，故选C．
2．由双曲线 的渐近线方程为 可得直线 与双曲线的渐近线平行，
则直线与双曲线仅有一个公共点，故选 .
3．由图象可得 将 ，可得 ，故选A．
4．设该运动员投篮 次有 次命中，则 ，则 ，
， 令 ， 则
，故选B．
5．因为函数 在 上单调递减，所以 ，又函数
在 上单调递增，所以 ，所以 ，又函数
在 上单调递减，所以 ，综上有 ，
故选D．
6．因为 ，
又 能被 整除，所以 能被 整除，当 时符合，当
， 或 时均不符合，故选B．
数学参考答案·第1页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司7．如图1，设圆的半径为 ，则由题意可知， 与圆的周长相
等 ，即 ，则 ，设当点 与点 重合
时，圆心为 ，分别作出 在 轴上的投影 ，则圆从
图1
初始位置滚动到圆 ，恰好滚动了 个圆周，所以
，则 ，故选B．
8．如图2，过点 作 ，分别交 于点
，则动点 在平面 上的射影轨迹为线段
，设当 与 重合时，有 ；当 与 重
合时，有 ，则由 为定长可知动点 的轨迹是以 为圆图心2 ， 为半径且
圆心角为 的圆弧．如图3，在 所在平面建立如图所
示平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
图3
直线 ： ，直线 ： ，联立直线 与直线 方程可求得
， 则 ， 又 ， 由 此 可 得 ， 所 以
，所以动点 的轨迹长度为 ，故选A．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD ABD BCD
【解析】
9．2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比均大于0，说明2022年全年每个月都
比2021年同月的居民消费水平高，因此2022年全年比2021年全年的全国居民消费价格
高，故A正确；将2022年1月至2022年12月全国居民消费价格同比按从小到大顺序排
列后，下四分位数是第三个数与第四个数的平均数，即 ，故B错误；2022年8月
至2022年12月中，9月与10月的全国居民消费价格环比均大于0，说明全国居民消费价
数学参考答案·第2页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司格一直在上升，11月的环比小于0，说明11月对比10月消费价格有所下降，12月环比等
于0，说明12月与11月持平，因此这5个月中，10月的全国居民消费价格最高，故C错
误；设2022年2月的全国居民消费价格为 ，则3月的全国居民消费价格为 ，4月的
为 ， 5 月 与 6 月 的 为
，所以2022年6月比2022年2月的全国居民消费价格高，故D正确，故
选AD．
10．因为 ，令 ，则 ，解得 ，即
，则 ，其中所有不等式“ ”成立均当且 ，故A错误，
B 正确；对 两边同除以 可得 ，由 可得
，所以 ，当且仅当 时，“ ”成立，故C正确；由
可 得 ， 则
，当且
仅当 即 时，“ ”成立，故D正确，故选BCD．
11．当点 与原点 重合时，直线 的斜率为 ，设 ，则 ， ，
将 代入抛物线方程，可得 ， ，所以抛物线方程为： ，A正确；
因为 ，若 的中点纵坐标为 ，则 ，故C错
误；同理，设直线 的斜率为 ，则 ， ，则 ，
，因为 ，所以 ，故B正
确 ； 由 可 得 ， ， 即
（ * ） ， 由 ， 可 得 （ * ） 式 等 价 于
数学参考答案·第3页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司，即 ，化简得 ，当 时，
，故D正确，故选ABD．
12．由题意， ， ． 在 处的切线 为：
， 由 题 意 ， 经 过 点 ， 即 ， 即
， 所 以 ， 故 A 错 误 ； 又
，而 ，故 ，则
，当且仅当 即 时“ ”成立，又 ，
则 ，则 ，…，所以 恒成立，B正确；又
，由 可得 ，所以 为单调递增数
列，C正确；因为 ， 为 的两个零点，所以 ，则
，由韦达定理可得 ，则 ，同理可得
，所以 ，则 为公
比为2等比数列，所以 ，故D正确，故选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
数学参考答案·第4页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司题号 13 14 15 16
答案
【解析】
13． .
14．设 在直线 上的投影为点 ，则 ，所以当 且 在射线
上 时 ， 最 大 ， 此 时 四 边 形 为 菱 形 且 ， 所 以
，则 .
15．设事件 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件 为“所报的两个社团中有一
个是体育类”，则 ， ，所以
.
16．如图4，设 分别为幕布上下边缘，观影者位于点 处，则由条
件可得 ， ，设 ，则 ，
图4
， 则
，当且仅当 ，即 时，
“ ”成立，又因为 在 上为增函数，所以坐在距离幕布 米处，
视角最大.
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
数学参考答案·第5页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司解：（1）由表中数据可得
……………………………………………………（3分）
…………………………………………（5分）
关于 的线性回归方程是 …………………………………（6分）
（2）令 ，解得 …………………………………（8分）
预测该农户在第12个月能被评选为“优秀带货主播”. …………………（10分）
18．（本小题满分12分）
（1）证明： 平面 ， 平面
又 ， ， 平面 ， 平面
平面 ． …………………………………………（2分）
又 平面 ．
又 平面
平面 平面 ． …………………………………………（4分）
（2）解：法一（坐标法）：如图 5，以 为原点，
过点 且垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、
轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ， 图5
则 ． …………………………………………（6分）
设平面AEF 的法向量为
则 可取
取平面 的法向量为 ． …………………………………（8分）
设平面 与平面 所成角为
数学参考答案·第6页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司则 ，两边平方经整理可得
……………………………………………………（10分）
解得 或 （舍去），
当平面 与平面 所成角为 时，
…………………………………………………………（12分）
法二（几何法）：如图6，由 可得 平面 ，设
为平面 与平面ABC的交线，则
由（1）可得 平面 ，而 ， 平面
又
图6
为平面 与平面 所成角，
， 是 的角平分线． ……………………………………（8分）
在 中，设点 到 的距离为 ，则由
可得 （也可直接由角平分线定理得到
），
…………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）如图7，连接 ，则当 时，
在 中，由余弦定理可得
图7
………………………………………………………………（2分）
在 中，由勾股定理可得
，
数学参考答案·第7页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司…………………………………………………………（4分）
…………………………………………（6
分）
（2）如图8，连接 ，作 于点 ，
则由 可得 为 的中点，
设 ，则
…………………………………………………………（8分）
图8
在 中，由正弦定理可得
又
…………………………………………（11分）
由 可得 ，
…………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：法一：由 ①
可得 ② ………………………………………（2分）
②−①，可得
经整理可得 ，
即 …………………………………………（4分）
为等差数列.
又由①可得， ，即
…………………………………………（6分）
法二：对 两边同除以
数学参考答案·第8页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
即
…………………………………………………………（2分）
设 ，则当 时，
…………………………………………（4分）
又 ， …………………………………………（6分）
法三：数学归纳法（略）
（2）证明：由 可得 ，
…………………………………………………………（7分）
，两边同除以 ，
可得 ，即 ……………………………………（10分）
…………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解： ，令 ，则
又 单调递增， 当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
为 的极小值点. …………………………………………（3分）
令 ，则
数学参考答案·第9页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
，即 极小值点的最大值为
…………………………………………（6分）
（2）证明：令
则 …………………………………………（7分）
由（1）可得 ，即
又 ，则
…………………………………………（9分）
则
…………………………………………（10分）
当且仅当 时，“ ”成立，
在 上单调递增.
又 在 上恒成立，
即当 且 时， 恒成立.
…………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
（1）解： ，
， …………………………………………（2分）
椭圆 的方程为： . …………………………………………（4分）
（2）证明：①当 斜率为 时， ， 分别为椭圆的左、右顶点，则 ，
，
，则直线AM： ，
数学参考答案·第10页（共11页）
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
点为
，
；
…………………………………………（6分）
②当 斜率不为 时，设直线 的方程为： ，
将直线 与椭圆方程联立： 消去 可得 ，
令 ，解得 ．
设 ， ，则由韦达定理可得
…………………………………………（8分）
： ，令 ，得 ，
，
又 …………………………………………（9分）
，
又 ， ，且 ，
，
综上， 为定值 . …………………………………………（12分）
数学参考答案·第11页（共11页）
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