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成都七中高 2027届高一下学期期末数学考试题
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的）
1. cos260sin260（ ）
3 1 1 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
2. 复数z 2i，它的共轭复数z 对应的点位于第几象限（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知a，b为空间中不重合的直线，𝜶，𝜷，𝜸为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若a⊥𝜸，𝒃⊥𝜸，则a//𝒃 B. 若a//𝒃，𝒃⊂𝜶，则a//𝜶
C. 若𝜶⊥𝜸，𝜷⊥𝜸，则𝜶⊥𝜷 D. 若a⊥𝒃，𝒃⊂𝜶，则a⊥𝜶
4. 已知向量a 1, 3 ，b2,0，则a在b上的投影向量为（ ）
1 3 3 3
A．1,0 B． 3,0 C． , D． ,
2 2 2 2
5. 如图，正八面体（所有面都是等边三角形）中异面直线AB与CF 所成角的正弦值为（ ）
3 6 3
A. B. C. D.1
6 3 2
6.某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽
取1个小球.假 设：事件A“取出的小球编号为奇数”，事件B“取出的小球编号为偶数”，事件C“取出的小
球编号小于6”，事件D“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ）
．．
A. A与B互斥 B. A与B互为对立事件
C. C与D互为对立事件 D. B与D相互独立
7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每
天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，
则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）
A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12. 已知圆锥高为3m，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线长为_________m.
π
13. 已知函数 f(x)2sin x （N*），若 f(x)在 0,π 上有且仅有3个零点，则正整数的
6
取值为_________.
14. 现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次，共比赛
1
6 场．若每场比赛中每队胜、平、负的概率都为 ，则在比赛结束时，甲队胜 2 场且乙队胜 2场的概率为
3
_________.
四、解答题（本大题共 5小题，其中 15题13分，16题与 17 题均为 15 分，18题与19题均
为 17 分，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某校举办了历史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频
率分布直方图.
（1）试估计全校参赛者成绩的第40百分位数（精确到0.1）和平均数（单位：分）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[𝟓𝟎,𝟔𝟎)，[𝟔𝟎,𝟕𝟎)，[𝟕𝟎,𝟖𝟎)三层中抽取一个容量为6的样
本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.
π π
16. 已知向量m sin x , 3sinx ，n sin x ,cosx ，设函数 f xm n．
4 4
（1）化简 f x的解析式，并写出 f x的最小正周期；
π 2 2 5π
（2）若 f ，且 π，求sin的值.
12 2 3 6
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知△𝑨𝑩𝑪内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M是△𝑨𝑩𝑪的内心，若𝒂=𝟐， √𝟑𝒃𝐜𝐨𝐬𝑨=𝒂𝐬𝐢𝐧𝑩.
(𝟏)求角𝑨;
(𝟐)延长AM交BC于点D，若𝑨𝑫=
𝟐√𝟑
，求△𝑨𝑩𝑪的周长.
𝟑
18. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分.）如图，在正方体𝑨𝑩𝑪𝑫−𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′中，𝑨𝑩=𝟐，
点E为棱AB上的动点(不含端点)，点H为𝑫′𝑬上一点，直线DH交平面𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′于点𝑴.
(𝟏)求证𝑫′𝑴//平面𝑨′𝑫𝑬;
(𝟐)若𝑫′𝑬⊥𝑫𝑯，(ⅰ)求证𝑫′𝑬⊥平面𝑨′𝑴𝑫;
𝟑
(ⅱ)当AE为何值时，直线𝑨′𝑯与平面𝑫′𝑫𝑬所成角的正弦值为 .
𝟓
19. （本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分.）
如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥CD，AD⊥AB，∠BCD＝45°，AD＝1，BC＝ 2，PD⊥AD．
现设PD＝t，CD＝4－t，其中0＜t＜3．
（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（2）若PC=3，求二面角P-AD-B的余弦的取值范围；
（3）当∠PDC＝120°时，求三棱锥P－BCD的外接球体积的最小值．
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