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参考答案
高二数学试卷 Ｂ（一）
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ
【解析】
１．已知样本数据４，８，１２，１６，２０，则从小到大排列为４，８，１２，１６，２０，又５×８０％＝４，
１６＋２０
因为４为整数，所以第８０百分位数为 ＝１８．故选Ｄ．
２
２．对于Ａ，因为图（１）是右拖尾，所以（１）中的中位数小于平均数，Ａ错误；
对于Ｂ，因为图（１）是右拖尾，所以（１）中众数小于平均数，Ｂ错误；
对于Ｃ，因为图（２）是左拖尾，所以（２）中的众数大于中位数，Ｃ错误；
对于Ｄ，因为图（２）是左拖尾，所以（２）中的中位数大于平均数，Ｄ正确．故选Ｄ．
３．由题可知，总体容量Ｎ＝２００＋４００＋１４００＝２０００，样本容量ｎ＝１００，
ｎ １００ １ １
所以抽样比 ＝ ＝ ，故应抽取小型超市１４００× ＝７０家．故选Ｃ．
Ｎ ２０００ ２０ ２０
４．由两点分布可得Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝０）＝１，
又因为Ｐ（Ｘ＝１）－Ｐ（Ｘ＝０）＝０．６，解得Ｐ（Ｘ＝１）＝０．８，Ｐ（Ｘ＝０）＝０．２；
所以Ｅ（Ｘ）＝１×０．８＋０×０．２＝０．８，
所以Ｄ（Ｘ）＝（１－０．８）２×０．８＋（０－０．８）２×０．２＝０．１６．故选Ｃ．
５．因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第４项最大，所以ｎ＝６，
则展开式（槡ｘ－ ２ ）的通项为Ｔ ＝Ｃｋｘ ６ ２ －ｋ （－２ｘ－１ ２）ｋ＝Ｃｋ（－２）ｋｘ３－ｋ，ｋ＝０，１，２，３，４，５，６，
ｋ＋１ ６ ６
槡ｘ
令３－ｋ＝０，解得ｋ＝３，所以Ｔ＝Ｃ３（－２）３＝－１６０，即展开式中常数项为－１６０．故选Ｂ．
４ ６
６．学生的数学成绩Ｘ服从正态分布Ｎ（９６，１４４），则μ＝９６，σ＝１２，
１－Ｐ（μ－２σ＜Ｘ＜μ＋２σ）
故Ｐ（Ｘ＞１２０）＝ ＝０．０２２７５，
２
所以小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是１００００×０．０２２７５＝２２７．５≈２２８．故选Ａ．
７．∵事件Ａ每次成功的概率为ｐ，
∴三次实验全部成功的概率为ｐ３，事件Ａ至少成功１次的概率１－（１－ｐ）３，
参考答案 第 １页 （共１２页）
书书书ｐ３ １
由条件概率公式得 ＝ ，整理得２ｐ３＋ｐ２－ｐ＝０，
１－（１－ｐ）３ ７
１
解得ｐ＝０（舍去）或ｐ＝－１（舍去）或ｐ＝ ．故选Ｄ．
２
８．根据题意，若医生甲一人去Ａ地区，则有Ａ３Ｃ２Ａ２＝３６种方法；
３ ３ ２
若医生甲和另外一名医生去Ａ地区，则有Ａ３Ａ３＝３６种方法，
３ ３
则共有３６＋３６＝７２种不同的派驻方式．故选Ｂ．
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
题号 ９ １０ １１
答案 ＢＣＤ ＡＣ ＡＢＤ
【解析】
Ａｍ
１
Ａｍ
９．Ａｍ＝ｍ！，ｎ＝ ，显然Ａｍ≠ ｎ，Ａ错误；
ｍ ｎ！ （ｎ－ｍ）！ ｍ ｎ！
ｎ！ （ｎ－１）（ｎ－２）×…×３×２×１
＝ ＝（ｎ－２）！，Ｂ正确；
ｎ（ｎ－１） ｎ－１
ｎ！ （ｎ＋１）！ （ｎ＋１）！
（ｎ＋１）Ａｍ＝（ｎ＋１）· ＝ ＝ ＝Ａｍ＋１，Ｃ正确；
ｎ （ｎ－ｍ）！ （ｎ－ｍ）！ ［（ｎ＋１）－（ｍ＋１）］！ ｎ＋１
１ １ ｎ！ １ ｎ！ ｎ！
Ａｍ＋１＝ · ＝ · ＝
ｎ－ｍ ｎ ｎ－ｍ ［ｎ－（ｍ＋１）！］ ｎ－ｍ ［ｎ－ｍ－１）！］ （ｎ－ｍ）（ｎ－ｍ－１）！］
ｎ！
＝ ＝Ａｍ，Ｄ正确．故选ＢＣＤ．
（ｎ－ｍ）！ ｎ
１０．对于Ａ，当随机事件Ａ，Ｂ相互独立时，
Ｐ（ＡＢ）
Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ），Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝ ＝Ｐ（Ａ），Ａ正确；
Ｐ（Ｂ）
对于Ｂ，依题意，从装有２个红球和２个黑球的口袋中任取２个球，
事件“至少有一个黑球”包括“１黑１红”与“２黑”两个基本事件，
而“至少有一个红球”包括“１黑１红”与“２红”两个基本事件，
故两个事件不是互斥事件，Ｂ错误；
对于Ｃ，想要恰有两个空盒，可先从编号为１，２，３，４的盒子中选出２个空盒子，
有Ｃ２种方法，再将３个相同的球放入剩下的２个盒子，
４
每个盒子至少一个球（因为如果有一个盒子为空，就是三个空盒，不符合题意），
分配方式有（１，２）或（２，１）共２种，故恰有两个空盒的放法共有Ｃ２×２＝１２种，Ｃ正确；
４
对于Ｄ，因为Ｐ（ＡＢ）＝０．１２，Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝０．２，
Ｐ（ＡＢ） Ｐ（ＡＢ） ０．１２
由Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝ ，可得Ｐ（Ｂ）＝ ＝ ＝０．６，
Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ｜Ｂ） ０．２
参考答案 第 ２页 （共１２页）但题目没有提供Ｐ（Ｂ）或Ｐ（Ａ）的其他信息，无法直接推出Ｐ（Ａ）＝０．６，Ｄ错误．故选ＡＣ．
２ ６
１１．Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｙ）＝３× ＝ ，Ａ正确；
５ ５
Ｃ２Ｃ１
２８×１２ ２８
若Ｎ＝２０，Ｐ（Ｘ＝２）＝ ３ １２＝ ＝ ，Ｂ正确；
Ｃ３ ２０×１９×３ ９５
２０
２ ２ ３６
若Ｎ＝２０，Ｐ（Ｙ＝２）＝Ｃ２（ ）２·（１－ ）＝ ，Ｃ错误；
３ ５ ５ １２５
３６
Ｃ２Ｃ１
１８ｎ（２ｎ－１）
Ｎ＝５ｎ，ｎ∈Ｎ，Ｐ（Ｙ＝２）＝ ，Ｐ（Ｘ＝２）＝ ２ｎ ３ｎ＝ ，
１２５ Ｃ３ ５（５ｎ－１）（５ｎ－２）
５ｎ
１８ｎ（２ｎ－１） ３６ １８ ２ｎ２－ｎ ２
Ｐ（Ｘ＝２）－Ｐ（Ｙ＝２）＝ － ＝ ［ － ］
５（５ｎ－１）（５ｎ－２） １２５ ５ （５ｎ－１）（５ｎ－２） ２５
１８ ５ｎ－４
＝ · ＞０，
５ ２５（５ｎ－１）（５ｎ－２）
因此Ｎ＝５ｎ，ｎ∈Ｎ，Ｐ（Ｘ＝２）＞Ｐ（Ｙ＝２），Ｄ正确．故选ＡＢＤ．
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
１２．６ １３．１４４ １４．１８
【解析】
２ ２ ２ ２
１２．因为离散型随机变量Ｘ服从二项分布Ｘ～Ｂ（３， ），所以Ｄ（Ｘ）＝３× ×（１－ ）＝ ，
３ ３ ３ ３
２
所以Ｄ（３Ｘ－１）＝３２Ｄ（Ｘ）＝９× ＝６．故答案为６．
３
１３．把学生Ａ与Ｂ进去捆绑有Ａ２种，ＡＢ与Ｃ，Ｄ进行全排列，有Ａ３种，
２ ３
把２名老师插入４个空中，有Ａ２种，所以共有Ａ２Ａ３Ａ２＝１４４种．故答案为１４４．
４ ２ ３ ４
１４．（ｘ＋１）３（２ｘ－３）２＝ａ（ｘ－１）５＋ａ（ｘ－１）４＋ａ（ｘ－１）３＋ａ（ｘ－１）２＋ａ（ｘ－１）＋ａ，
１ ２ ３ ４ ５ ６
令ｘ＝２，可得ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＝２７，令ｘ＝０，－ａ＋ａ－ａ＋ａ－ａ＋ａ＝９，
１ ２ ３ ４ ５ ６ １ ２ ３ ４ ５ ６
故ａ＋ａ＋ａ＝１８．故答案为１８．
２ ４ ６
四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．（本小题满分１３分）
解：（１）记“Ａ进入第二轮比赛”为事件Ｍ，“Ｂ进入第二轮比赛”为事件Ｍ，
１ ２
４ ２ ３ ３
因为选手Ａ，Ｂ第一关达标的概率分别为 ， ，第二关达标的概率分别是 ， ，
５ ３ ４ ５
４ ３ ３ ２ ３ ２
所以Ｐ（Ｍ）＝ × ＝ ，Ｐ（Ｍ）＝ × ＝ ，
１ ５ ４ ５ ２ ３ ５ ５
３ ２
所以Ａ，Ｂ进入第二轮比赛的概率分别为 和 ；
５ ５
（２）记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件Ｍ，
３
３ ２ １９
则Ｐ（Ｍ）＝１－（１－ ）×（１－ ）＝ ，
３ ５ ５ ２５
１９
所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为 ．
２５
参考答案 第 ３页 （共１２页）１６．（本小题满分１５分）
解：（１）根据题意可得（０．００５＋０．０１５＋０．０２０＋０．０３０＋ｍ＋０．００５）×１０＝１，
解得ｍ＝０．０２５；
∴这１００名学生成绩的平均数估计为
４５×０．０５＋５５×０．１５＋６５×０．２＋７５×０．３＋８５×０．２５＋９５×０．０５＝７２（分），
∵前几组的频率依次为０．０５，０．１５，０．２，０．３，
０．５－０．０５－０．１５－０．２
∴这１００名学生成绩的中位数估计为７０＋ ＝７３．３（分）；
０．０３
（２）∵［５０，６０）和［７０，８０）的学生的频率之比为０．１５０．３＝２４，
∴在［５０，６０）中抽取２人，在［７０，８０）中抽取４人，
∴要从这６名学生中随机抽取２名学生进行经验交流发言，一共有Ｃ２＝１５种结果，
６
而抽取的２名发言者分数差大于１０分有２×４＝８种结果，
８
∴所求概率为 ．
１５
１７．（本小题满分１５分）
解：（１）先将４名女生排在一起，有Ａ４种排法，
４
将排好的女生视为一个整体，再与３名男生进行排列，共有Ａ４种排法，
４
由分步乘法计数原理，共有Ａ４×Ａ４＝２４×２４＝５７６种排法；
４ ４
（２）从剩下的２名男生中选一位坐在最后一个座位，有２种排法，
因为男生甲坐第一个，则剩下的５人进行全排列，共有Ａ５种排法，
５
由分步乘法计数原理，共有２×Ａ５＝２×１２０＝２４０种排法；
５
（３）７个人全排列，有Ａ７种排法，
７
甲坐第一个有Ａ６种排法，乙坐第三个有Ａ６种排法，
６ ６
甲坐第一个且乙坐第三个有Ａ５种排法，
５
所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有
Ａ７－２Ａ６＋Ａ５＝５０４０－１４４０＋１２０＝３７２０种排法；
７ ６ ５
（４）先排４名女生，有Ａ４种排法，
４
从３名男生中选出２名男生相邻并看成一个整体，有Ａ２种选法，
３
４名女生排好后产生５个空位，把男生整体和另一名男生插入５个空位中，有Ａ２种排法，
５
根据分步乘法计数原理，共有Ａ４×Ａ２×Ａ２＝２４×６×２０＝２８８０种坐法．
４ ３ ５
参考答案 第 ４页 （共１２页）１８．（本小题满分１７分）
Ｃ１Ｃ１
３
解：（１）①由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为 ６ ｘ ＝ ，
Ｃ１ Ｃ１ １４
６＋ｘ ５＋ｘ
即ｘ２－１７ｘ＋３０＝０，解得ｘ＝２或ｘ＝１５，
∵２≤ｘ≤８，∴ｘ＝２；
②根据游戏规则，ζ的取值可能为１，２，３，４，
Ｃ１ Ｃ１ Ｃ１
１ ３ １３
Ｐ（ζ＝１）＝ ２＋ ６· ２＝ ＋ ＝ ，
Ｃ１ Ｃ１ Ｃ１ ４ １４ ２８
８ ８ ７
Ｃ２Ｃ１ Ｃ３ Ｃ１
５ １ ９
Ｐ（ζ＝２）＝ ６ ２＋ ６· ２＝ ＋ ＝ ，
Ｃ２Ｃ１ Ｃ３ Ｃ１ ２８ ７ ２８
８ ６ ８ ５
Ｃ４Ｃ１ Ｃ５ Ｃ１
３ １ ５
Ｐ（ζ＝３）＝ ６ ２＋ ６· ２＝ ＋ ＝ ，
Ｃ４Ｃ１ Ｃ５ Ｃ１ ２８ １４ ２８
８ ４ ８ ３
Ｃ６Ｃ１
１
Ｐ（ζ＝４）＝ ６ ２＝ ，
Ｃ６Ｃ１ ２８
８ ２
所以ζ的分布列为
ζ １ ２ ３ ４
１３ ９ ５ １
Ｐ
２８ ２８ ２８ ２８
１３ ９ ５ １ ２５
Ｅ（ζ）＝１× ＋２× ＋３× ＋４× ＝ ；
２８ ２８ ２８ ２８ １４
（２）整理乒乓球时，要使得至少２个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，
“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”５种情况．
可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上，
所以“黄黄—黄黄—黄黄”有Ｃ３ 种排法，
ｘ＋１
“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有Ｃ２ 种排法，总共３Ｃ２ 种，
ｘ＋１ ｘ＋１
“黄黄黄黄黄黄”有Ｃ１ 种排法．
ｘ＋１
不超过３个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况，
Ｃ３ ＋Ｃ２ ｘ２＋２ｘ １
所以ｐ＝ ｘ＋１ ｘ＋１ ＝ ＞ ，即有ｘ２－４ｘ－６＞０，
Ｃ３ ＋３Ｃ２ ＋Ｃ１ ｘ２＋８ｘ＋６ ２
ｘ＋１ ｘ＋１ ｘ＋１
解得ｘ＞２＋槡１０或ｘ＜２－槡１０（舍去），所以ｘ的最小值为６．
参考答案 第 ５页 （共１２页）１９．（本小题满分１７分）
解：（１）小王两组题目均有选择的方案有两种，
１个Ａ组题目和２个Ｂ组题目；２个Ａ组题目和１个Ｂ组题目；
分别记两种情况下小王至少答对１个题目的概率为Ｐ，Ｐ，
１ ２
Ｃ１
１ １ ４ ２３
Ｐ＝１－ ２（１－ ）２＝１－ × ＝ ，
１ Ｃ１ ３ ３ ９ ２７
６
Ｃ２
１ １ ２ ４３
Ｐ＝１－ ２（１－ ）＝１－ × ＝ ，
２ Ｃ２ ３ １５ ３ ４５
６
２３ １１５ １２９ ４３
因为 ＝ ＜ ＝ ，所以Ｐ＜Ｐ，
２７ １３５ １３５ ４５ １ ２
以至少答对１个题目的概率为依据，小王应选择２个Ａ组题目和１个Ｂ组题目的策略；
（２）记小王所选题目中Ａ组题目得分为Ｘ，Ｂ组题目得分为Ｘ，Ｘ＝Ｘ＋Ｘ，
１ ２ １ ２
①由于选择的三个题目均为Ａ组题目，其得分为Ｘ＝１０，２０，３０，
１
Ｃ１Ｃ２
１
Ｃ２Ｃ１
３
Ｃ３Ｃ０
１
则Ｐ（Ｘ＝１０）＝ ４ ２＝ ，Ｐ（Ｘ＝２０）＝ ４ ２＝ ，Ｐ（Ｘ＝３０）＝ ４ ２＝ ，
１ Ｃ３ ５ １ Ｃ３ ５ １ Ｃ３ ５
６ ６ ６
故Ｘ的分布列为：
１
Ｘ １０ ２０ ３０
１
１ ３ １
Ｐ
５ ５ ５
１ ３ １
故Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ）＝１０× ＋２０× ＋３０× ＝２０；
１ ５ ５ ５
②设小王选择的３个题目中Ａ组题目数量为ｘ，Ｂ组题目数量为３－ｘ，其中ｘ＝０，１，２，３，
Ｘ Ｘ １ Ｘ ２ｘ Ｘ ｘ
则 １服从超几何分布，２～Ｂ（３－ｘ， ），Ｅ（１）＝ ，Ｅ（２）＝１－ ，
１０ ａ ３ １０ ３ ａ ３
２０ｘ ｘ （２０－ａ）ｘ
Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ＋Ｘ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｘ）＝ ＋ａ（１－ ）＝ａ＋ ，
１ ２ １ ２ ３ ３ ３
当ａ＝２０时，Ｅ（Ｘ）的值与ｘ无关，
即当ａ＝２０时，无论小王如何调整Ａ，Ｂ组题目数量，其总得分Ｘ的期望均为２０分．
参考答案 第 ６页 （共１２页）
