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高二数学试卷 Ａ（二）
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案 Ｃ Ａ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ
【解析】
１．根根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点ａ＝（３，２，１）在坐标平面Ｏｘｙ上的投影坐标，竖坐标为０，横坐标与纵坐标不变，
所以空间向量ａ＝（３，２，１）在坐标平面Ｏｘｙ上的投影坐标是（３，２，０）．故选Ｃ．
２．方程ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋（ｋ－２）ｙ＋５＝０表示圆的方程，
则Ｄ２＋Ｅ２－４Ｆ＝ｋ２＋（ｋ－２）２－４×５＝２ｋ２－４ｋ－１６＞０，解得ｋ＜－２或ｋ＞４，
所以”ｋ＞４”是“方程ｘ２＋ｙ２＋ｋｘ＋（ｋ－２）ｙ＋５＝０表示圆的方程”充分不必要条件．故选Ａ．
３．连接ＢＣ，如右图所示，
１
→ → → →
因为ＣＡ＝２ＣＭ＝２（ＢＭ－ＢＣ），
１
→ １ → → １ → → →
ＢＭ＝ （ＢＡ＋ＢＣ）＝ （ＢＡ＋ＢＣ＋ＢＢ），
２ １ ２ １
→ → → →
所以ＢＣ＝２ＢＭ－ＢＡ－ＢＢ，
１
→ → → →
所以ＣＡ＝－２ＢＭ＋２ＢＡ－２ＢＢ＝２ａ＋２ｂ－２ｃ．故选Ｄ．
１ １
{ｘ－２ｙ＋４＝０ {ｘ＝０
４．联立直线ｌ，ｌ的方程 ，得 ，所以点Ｐ坐标为（０，２），
１ ２
ｘ＋ｙ－２＝０ ｙ＝２
由已知可设直线ｌ的方程为４ｘ＋３ｙ＋ｍ＝０，代入点Ｐ坐标，可得４×０＋３×２＋ｍ＝０，
所以ｍ＝－６，直线ｌ的方程为４ｘ＋３ｙ－６＝０．故选Ａ．
５．由ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋６ｙ－１２＝０，得（ｘ－２）２＋（ｙ＋３）２＝２５，所以圆心为Ｃ（２，－３），半径ｒ＝５，
｜４×２－３×（－３）－２｜
圆心Ｃ到直线ｌ的距离ｄ＝ ＝３，所以｜ＡＢ｜＝２槡ｒ２－ｄ２＝８，
槡４２＋（－３）２
所以△ＡＢＣ的周长为２ｒ＋｜ＡＢ｜＝１８．故选Ｂ．
→ → → → → → → → → → → → → → →
６．∵ＣＤ＝ＣＡ＋ＡＢ＋ＤＢ，∴ＣＤ２＝（ＣＡ＋ＡＢ＋ＢＤ）２＝ＣＡ２＋ＡＢ２＋ＢＤ２＋２ＣＡ·ＡＢ＋２ＣＡ·ＢＤ＋
→ →
２ＡＢ·ＢＤ＝３６＋１６＋６４＋２×６×８×ｃｏｓ１２０°＝６８．∴ＣＤ的长为２槡１７．故选Ａ．
参考答案 第 ９页 （共１６页）７．由题意可得直线ｌ的方程为ｙ＝－ｘ＋ａ，即ｘ＋ｙ－ａ＝０，
｜ａ｜
可得圆心到直线ｌ的距离ｄ＝ ，由圆的方程可得圆的半径ｒ＝２，
槡２
要使恰有４个点到ｌ的距离为１，则圆心到直线的距离ｄ＜１，
｜ａ｜
所以 ＜１，所以ａ∈（－槡２，槡２），故选Ｃ．
槡２
８．两条动直线ｘ＋ｍｙ＝０和ｍｘ－ｙ－４ｍ＋４＝０交于点Ｐ，
消去ｍ可得Ｐ的轨迹方程：ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ＝０，
即（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝８，不包含（４，０）点，
设圆心为Ｄ（２，２），半径为Ｒ＝２槡２，
圆Ｃ：（ｘ＋２）２＋（ｙ＋２）２＝３上两点Ｅ，Ｆ间的距离为２槡２，
圆的半径为槡３，圆心Ｃ（－２，－２），点Ｑ是线段ＥＦ的中点，
所以｜ＣＱ｜＝１，所以点Ｑ的轨迹是以Ｃ（－２，－２）为圆心，１为半径的圆，
｜ＰＱ｜的最小值为：｜ＣＤ｜－Ｒ－ｒ＝槡（２＋２）２＋（２＋２）２－２槡２－１＝２槡２－１．故选Ｂ．
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
题号 ９ １０ １１
答案 ＢＣ ＡＣＤ ＢＣＤ
【解析】
９．对于Ａ，过点（－２，－１）且斜率为 －槡３的直线的点斜式方程为 ｙ＋１＝－槡３（ｘ＋２），故 Ａ
错误；
槡３
对于Ｂ，直线槡３ｘ－３ｙ－１＝０的斜率为 ，一个方向向量为（槡３，１），故Ｂ正确；
３
对于Ｃ，因为点Ａ（５，－２）和点Ｂ（ｍ，ｎ）关于直线ｘ－ｙ＋１＝０对称，
ｎ＋２
·１＝－１
ｍ－５ {ｍ＝－３
所以 ，解得 ，故ｍ＋ｎ＝３，Ｃ正确；
５＋ｍ
－
ｎ－２
＋１＝０
ｎ＝６
２ ２
ｘ ｙ
对于Ｄ，设直线ｌ的方程为 ＋ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），因为直线ｌ过点Ｐ（１，３），
ａ ｂ
参考答案 第 １０页 （共１６页）１ ３ １ ３ ３ １ １
所以 ＋ ＝１，所以１＝ ＋ ≥２槡，所以ａｂ≥１２，所以Ｓ ＝ ａｂ≥ ×１２＝６，
ａ ｂ ａ ｂ ａｂ △ＯＡＢ ２ ２
１
＝
３
ａ ｂ {ａ＝２
当且仅当 ，即 时，△ＯＡＢ面积取到最小值为６，故Ｄ错误．故选ＢＣ．
１
＋
３
＝１
ｂ＝６
ａ ｂ
１０．对于Ａ：根据三角不等式｜ａ｜－｜ｂ｜＜｜ａ＋ｂ｜与向量ａ，ｂ共线不能建立任何关系，故Ａ错误；
→ → → → → → → → → → → → →
对于Ｂ：ＡＢ·ＣＤ＋ＢＣ·ＡＤ＋ＣＡ·ＢＤ＝ＡＢ·ＣＤ＋ＢＣ·（ＡＢ＋ＢＤ）＋ＣＡ·ＢＤ
→ → → → → → → → → → → → → →
＝ＡＢ·ＣＤ＋ＢＣ·ＡＢ＋ＢＣ·ＢＤ＋ＣＡ·ＢＤ＝ＡＢ·（ＢＣ＋ＣＤ）＋ＢＤ·（ＢＣ＋ＣＡ）
→ → → → → → →
＝ＡＢ·ＢＤ＋ＢＤ·ＢＡ＝ＢＤ·（ＡＢ＋ＢＡ）＝０，故Ｂ正确；
→ → １
对于Ｃ：在棱长为１的正四面体ＡＢＣＤ中，故ＡＢ·ＢＣ＝１·１·ｃｏｓ１２０°＝－ ，故Ｃ错误；
２
对于Ｄ：设Ａ，Ｂ，Ｃ三点不共线，Ｏ为平面ＡＢＣ外一点，
→ １→ ２→ → １ ２
若ＯＰ＝ ＯＡ＋ ＯＢ＋ＯＣ，满足 ＋ ＋１≠１，则Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点不共面，故Ｄ错误．
３ ３ ３ ３
故选ＡＣＤ．
１１．Ａ选项，圆Ｃ：（ｘ－１）２＋ｙ２＝１的圆心为（１，０），半径为１，
｜１＋０－３｜
则圆心（１，０）到ｌ：ｘ＋ｙ－３＝０的距离为ｄ＝ ＝槡２＞１，
槡１＋１
故直线ｌ与圆Ｃ相离，Ａ错误；
Ｂ选项，设与直线ｌ平行的直线方程为ｘ＋ｙ＋ｃ＝０，
｜１＋０＋ｃ｜
则圆心（１，０）到ｌ：ｘ＋ｙ＋ｃ＝０的距离为ｄ′＝ ，
槡１＋１
因为ｄ′２＋（
槡２
）２＝１２，解得ｄ′＝
槡２
，故
｜１＋０＋ｃ｜
＝
槡２
，解得ｃ＝０或ｃ＝－２，
２ ２ 槡１＋１ ２
故与直线ｌ平行且截圆Ｃ的弦长为的直线为ｘ＋ｙ＝０或ｘ＋ｙ－２＝０，Ｂ正确；
Ｃ选项，因为圆Ｃ的圆心Ｃ（１，０），半径ｒ＝１，将Ｐ（－２，５），Ｃ（１，０）代入切点弦方程，
可得（－２－１）（ｘ－１）＋（５－０）（ｙ－０）＝１２，
化简得－３ｘ＋３＋５ｙ＝１，即３ｘ－５ｙ－２＝０，Ｃ正确；
１
Ｄ选项，由题意可知，ＰＣ与ＡＢ互相垂直，且四边形ＰＡＣＢ的面积为 ｜ＰＣ｜·｜ＡＢ｜，
２
故要想｜ＰＣ｜·｜ＡＢ｜取得最小值，则只需四边形ＰＡＣＢ的面积最小，
参考答案 第 １１页 （共１６页）因为四边形ＰＡＣＢ的面积等于△ＰＡＣ面积的２倍，故只需△ＰＡＣ的面积最小，
１ １ １
因为Ｓ ＝ ｜ＰＡ｜·｜ＡＣ｜＝ ｜ＰＡ｜＝ 槡｜ＰＣ｜２－１，
△ＰＡＣ ２ ２ ２
其中｜ＰＣ｜的最小值为圆心Ｃ（１，０）到ｌ：ｘ＋ｙ－３＝０的距离为槡２，
１
故四边形ＰＡＣＢ的面积最小值为２× 槡（槡２）２－１＝１，则｜ＰＣ｜·｜ＡＢ｜最小值为２，Ｄ正确．
２
故选ＢＣＤ．
三、填空题：本题共３个小题，每小题５分，共１５分。
１２．（－２，－１，２）或（２，１，－２） １３．ｘ２＋ｙ２＋２８ｘ－１５ｙ＝０ １４．（－∞，－２７］
【解析】
→ → →
１２．ｂ－ａ＝ＡＣ－ＡＢ＝ＢＣ＝（－２，－１，２），由于ｃ∥（ｂ－ａ），
所以ｃ＝ｘ（－２，－１，２）＝（－２ｘ，－ｘ，２ｘ），所以｜ｃ｜＝槡４ｘ２＋ｘ２＋４ｘ２＝３｜ｘ｜＝３，ｘ＝±１，
所以ｃ为（－２，－１，２）或（２，１，－２）．故答案为（－２，－１，２）或（２，１，－２）．
１３．设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ－１５＋λ（２ｘ－ｙ＋１）＝０，
因为所求圆过原点（０，０），所以－１５＋λ＝０，解得λ＝１５，
将λ＝１５代入，可得所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２＋２８ｘ－１５ｙ＝０．
１４．由已知可得Ｐ（ｘ，ｙ）所在的圆的方程为（ｘ－３）２＋（ｙ－２）２＝４，
｜３ｘ＋４ｙ＋ａ｜ ｜３ｘ＋４ｙ－６｜
设ｚ＝｜３ｘ＋４ｙ＋ａ｜＋｜６－３ｘ－４ｙ｜＝５（ ＋ ），
槡３２＋４２ 槡３２＋４２
故ｚ可看作点Ｐ到直线ｍ：３ｘ＋４ｙ＋ａ＝０与直线ｌ：３ｘ＋４ｙ－６＝０距离
之和的５倍，
因为｜３ｘ＋４ｙ＋ａ｜＋｜６－３ｘ－４ｙ｜的取值与ｘ，ｙ无关，且ｍ∥ｌ，
即与Ｐ点在圆上的位置无关，∴圆在两平行线ｍ，ｌ之间，
∴Ｐ与ｍ，ｌ的距离之和为ｍ，ｌ之间的距离，
｜３×３＋４×２－６｜ １１
∵圆心（３，２）到直线ｌ的距离为 ＝ ，
槡３２＋４２ ５
{｜ａ－（－６）｜ １１
≥ ＋２
∴
槡３２＋４２ ５
，解得ａ≤－２７．故答案为（－∞，－２７］．
ａ＜－６
参考答案 第 １２页 （共１６页）四、解答题：本题共５小题，共７７分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．（本小题满分１３分）
（１）解：∵ａ＝（－２，－１，２），ｂ＝（－１，１，２），
∴ａ－２ｂ＝（－２，－１，２）－２（－１，１，２）＝（０，－３，－２），
∴｜ａ－２ｂ｜＝槡９＋４＝槡１３；
（２）解：∵｜ｃ｜＝２槡２，∴槡ｘ２＋２２＋２２＝２槡２，解得ｘ＝０，∴ｃ＝（０，２，２），
∵ｋａ＋ｂ＝（－２ｋ－１，１－ｋ，２ｋ＋２），且向量ｋａ＋ｂ与ｃ垂直，
∴（ｋａ＋ｂ）·ｃ＝０，即２－２ｋ＋４ｋ＋４＝２ｋ＋６＝０，∴ｋ＝－３，
所以实数ｘ和ｋ的值分别为０和－３；
１ １
（３）证明：当ｘ＝－ 时，ｃ＝（－ ，２，２），
２ ２
１
设ｃ＝λａ＋μｂ（λ，μ∈Ｒ），则（－ ，２，２）＝λ（－２，－１，２）＋μ（－１，１，２），
２
１
－
２
＝－２λ－μ { λ＝－ １
２
１ ３
则 ，解得 ，即ｃ＝－ ａ＋ ｂ，
２＝μ－λ ３ ２ ２
μ＝
２＝２λ＋２μ ２
∴向量ｃ与向量ａ，ｂ共面．
１６．（本小题满分１５分）
解：（１）由于边ＡＣ上的高ＢＨ所在直线方程为ｘ－ｙ＋６＝０，
所以设直线ＡＣ的方程为ｘ＋ｙ＋ｃ＝０，
因为点Ａ（３，３）满足直线ＡＣ的方程，代入得ｃ＝－６，
故直线ＡＣ的方程为ｘ＋ｙ－６＝０；
（２）由于点Ｃ既满足直线５ｘ－３ｙ－１４＝０的方程，又满足ｘ＋ｙ－６＝０的方程，
{５ｘ－３ｙ－１４＝０ {ｘ＝４
故 ，解得 ，故Ｃ（４，２），
ｘ＋ｙ－６＝０ ｙ＝２
设Ｂ（ａ，ｂ），由于点Ｂ满足直线ｘ－ｙ＋６＝０，故ａ－ｂ＋６＝０；
ａ＋３ｂ＋３
设ＡＢ的中点坐标为（ ， ），满足５ｘ－３ｙ－１４＝０，
２ ２
ａ＋３ ｂ＋３
故５× －３× －１４＝０，整理得５ａ－３ｂ－２２＝０，
２ ２
{ａ－ｂ＋６＝０ {ａ＝２０
所以 ，解得 ，故Ｂ（２０，２６）；
５ａ－３ｂ－２２＝０ ｂ＝２６
参考答案 第 １３页 （共１６页）｜２０＋２６－６｜
故点Ｂ（２０，２６）到直线ｘ＋ｙ－６＝０的距离ｄ＝ ＝２０槡２，｜ＡＣ｜＝槡２，
槡２
１
故Ｓ ＝ ×槡２×２０槡２＝２０．
△ＡＢＣ ２
１７．（本小题满分１５分）
（１）证明：ＡＤ＝ＡＥ＝１，∠ＢＡＤ＝９０°，
故△ＡＤＥ为等腰直角三角形，ＤＥ＝槡２，∠ＡＤＥ＝４５°，
π
故∠ＣＤＥ＝４５°，在△ＣＤＥ中，ＣＥ２＝ＤＥ２＋ＣＤ２－２ＤＥ·ＤＣｃｏｓ ＝２＋４－４＝２，ＣＥ＝槡２，
４
故ＣＥ２＋ＤＥ２＝ＣＤ２，ＤＥ⊥ＣＥ，平面ＡＤＥ⊥平面ＢＣＤＥ，平面ＡＤＥ∩平面ＢＣＤＥ＝ＤＥ，
ＣＥ平面ＢＣＤＥ，故ＣＥ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ平面ＡＤＥ，故ＣＥ⊥ＡＤ，
又ＡＤ⊥ＡＥ，ＣＥ∩ＡＥ＝Ｅ，ＣＥ，ＡＥ平面ＡＣＥ，故ＡＤ⊥平面ＡＣＥ，
又ＡＰ平面ＡＣＥ，故ＡＤ⊥ＡＰ；
（２）解：存在，ＥＰ＝１，理由如下：
如图，以点Ｅ为坐标原点，以ＥＤ，ＥＣ所在的直线分别为ｘ轴、ｙ轴，
以过点Ｅ垂直于平面ＢＣＤＥ的直线为ｚ轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
槡２ 槡２ → 槡２ 槡２
Ｅ（０，０，０），Ａ（ ，０， ），则ＥＡ＝（ ，０， ），∵Ｄ（槡２，０，０），Ｃ（０，槡２，０），
２ ２ ２ ２
→ →
∴ＤＣ＝（－槡２，槡２，０），∴ＥＢ＝（－槡２，－槡２，０），
设ＥＰ＝ｔ，０≤ｔ≤槡２，
→ 槡２ 槡２
则Ｐ（０，ｔ，０），ＡＰ＝（－ ，ｔ，－ ），
２ ２
设平面ＡＢＥ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
→ {槡２ 槡２
{ｍ·ＥＡ＝０ ｘ＋ ｚ＝０
２ ２
则 ， ，
→
ｍ·ＥＢ＝０
－槡２ｘ＋槡２ｙ＝０
令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝－１，ｍ＝（１，１，－１），
设直线ＡＰ与平面ＡＢＥ所成的角为θ，
→
→ ｜ＡＰ·ｍ｜ ｜ｔ｜ 槡６
则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ?ＡＰ，ｍ?｜＝→ ＝ ＝ ，解得ｔ＝１，ｔ＝－１（舍），
｜ＡＰ｜·｜ｍ｜ 槡１＋ｔ２·槡３ ６
槡６
故存在点Ｐ使得直线ＡＰ与平面ＡＢＥ所成角的正弦值为 ，则ＥＰ＝１．
６
参考答案 第 １４页 （共１６页）１８．（本小题满分１７分）
解：（１）证明：在直三棱柱ＡＢＣＡＢＣ中，
１ １ １
ＢＢ⊥平面ＡＢＣ，ＡＢ平面ＡＢＣ，所以ＢＢ⊥ＡＢ，
１ １
又ＢＦ⊥ＡＢ，ＢＢ∩ＢＦ＝Ｂ，ＢＢ平面ＢＣＣＢ，
１ １ １ １
ＢＦ平面ＢＣＣＢ，
１ １
所以ＡＢ⊥平面ＢＣＣＢ，所以ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ两两垂直，
１ １ １
以Ｂ为坐标原点，
分别以ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ所在直线分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴，
１
建立空间直角坐标系，如图所示：
则Ｂ（０，０，０），Ａ（２，０，０），Ａ（２，０，２），Ｂ（０，０，２），Ｅ（１，１，０），Ｆ（０，２，１），
１ １
→ → → → → → →
所以ＢＦ＝（０，２，１），ＥＡ（１，－１，２），ＥＢ＝（－１，－１，２），所以ＢＦ·ＥＡ＝０，ＢＦ·ＥＢ＝０，
１ １ １ １
所以ＢＦ⊥ＥＡ，ＢＦ⊥ＥＢ，又ＥＡ∩ＥＢ＝Ｅ，ＥＡ，ＥＢ平面ＥＡＢ，所以ＢＦ⊥平面ＥＡＢ；
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １
（２）设Ｄ（ａ，０，２），（０≤ａ≤２），设平面ＤＥＦ的法向量为（ｘ，ｙ，ｚ），
→ →
因为ＥＦ＝（－１，１，１），ＤＥ＝（１－ａ，１，－２），
→
{ｍ·ＥＦ＝０{ －ｘ＋ｙ＋ｚ＝０
所以 ， ，令ｚ＝２－ａ，则ｍ＝（３，１＋ａ，２－ａ），
→
ｍ·ＤＥ＝０ （１－ａ）ｘ＋ｙ－２ｚ＝０
→
又平面ＢＢＣＣ的一个法向量为ＢＡ＝（２，０，０），
１ １
设平面ＢＢＣＣ与平面ＤＥＦ所夹角为θ，
１ １
→
｜ｍ·ＢＡ｜ ６ ３ ３
则ｃｏｓθ＝ → ＝ ＝ ＝ ，
｜ｍ·ＢＡ｜ 槡９＋（ａ＋１）２＋（２－ａ）２×２ 槡２ａ２－２ａ＋１４
槡２（ａ－
１
）２＋
２７
２ ２
１ １ ２７
当ａ＝ 时，槡２（ａ－ ）２＋ 取得最小值，ｃｏｓθ取最大值，θ最小，
２ ２ ２
１
此时ＢＤ＝ ＜ＡＢ，符合题意，
１ ２ １
１
所以当ＢＤ＝ 时，平面ＢＢＣＣ与平面ＤＦＥ所成的夹角最小．
１ ２ １ １
１９．（本小题满分１７分）
解：（１）设动点Ｎ坐标为（ｘ，ｙ），则｜ＦＮ｜＝槡（ｘ－４）２＋ｙ２，｜ＦＮ｜＝槡（ｘ－１）２＋ｙ２，
１ ２
又知｜ＦＮ｜＝２｜ＦＮ｜，则槡（ｘ－４）２＋ｙ２＝２槡（ｘ－１）２＋ｙ２，得ｘ２＋ｙ２＝４，
１ ２
故动点Ｎ的方程为ｘ２＋ｙ２＝４；
参考答案 第 １５页 （共１６页）（２）当ｌ的斜率存在为ｋ时，设ｌ的方程为：ｙ＝ｋ（ｘ－２）＋３，
｜－２ｋ＋３｜ ５
因为ｌ与圆相切，所以ｄ＝ ＝２，得ｋ＝ ，
槡ｋ２＋１ １２
所以５ｘ－１２ｙ＋２６＝０为ｌ的方程，
当ｌ的斜率不存在时，此时ｌ的方程为ｘ＝２，圆心（０，０）到直线ｘ＝２的距离为２，
所以圆心（０，０）到直线ｘ＝２的距离等于半径，满足要求，所以ｘ＝２为ｌ的方程，
综上，ｌ的方程为ｘ＝２或５ｘ－１２ｙ＋２６＝０；
（３）当直线ＡＢ的斜率不存在时，直线ＡＢ的方程为ｘ＝０，
所以｜ＡＢ｜＝４，直线ＣＤ的方程为ｙ＝１，点Ｅ的坐标为（２，１），
１
所以△ＡＢＥ的面积Ｓ＝ ×４×２＝４；
２
当直线ＡＢ的斜率存在时，设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋ′ｘ＋１，
当ｋ′＝０时，直线ＡＢ的方程为ｙ＝１，直线ＣＤ的方程为ｘ＝０，
直线ｘ＝０与圆Ｍ：（ｘ－２）２＋（ｙ－１）２＝１不相交，此时△ＡＢＥ不存在，舍去；
１
当ｋ′≠０时，直线ＣＤ：ｙ＝－ ｘ＋１，∵ＣＤ与圆Ｍ相交，
ｋ′
２
－ ＋１－１
ｋ′
∴ ＜１，得ｋ′２＞３，
１
１＋
槡 ｋ′２
１ ｜ＡＢ｜ １
∵Ｏ到ＡＢ的距离为 ，∴（ ）２＋（ ）２＝４，
槡ｋ′２＋１ ２ 槡ｋ′２＋１
４ｋ′２＋３
∴｜ＡＢ｜＝２ ，
槡 ｋ′２＋１
因为ＭＥ⊥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＭＥ，
｜２ｋ′｜
所以Ｅ点到直线ＡＢ的距离即Ｍ点到直线ＡＢ的距离ｄ′＝ ，
槡１＋ｋ′２
１ （４ｋ′２＋３）ｋ′２
所以△ＡＢＥ的面积Ｓ＝
２
｜ＡＢ｜ｄ′＝２
槡 （ｋ′２＋１）２
，
４ｔ２－５ｔ＋１ １ ５ ９
令ｔ＝ｋ′２＋１，则ｔ＞４，所以Ｓ＝２
槡 ｔ２
＝２槡（
ｔ
－
２
）２－
４
，
１ １ ３槡５
因为ｔ＞４，所以０＜ ＜ ，所以Ｓ∈（ ，４），
ｔ ４ ２
３槡５
综上可得，△ＡＢＥ的面积的取值范围是（ ，４］．
２
参考答案 第 １６页 （共１６页）
