湖南省新高考教学教研联盟（长郡二十校联盟）2024-2025学年高三上学期第一次预热演练数学_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_数学

姓 名____________________ 准考证号____________________ 绝密 启用前 ★ 2025 届新高考教学教研联盟高三第 次预热考试 一 数学试卷 长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中； 由 澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中； 联合命题 娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；宁乡市一中；浏阳市一中。 命题学校： 审题学校： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2 . 回答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号 。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 A  xR|2xe  ,B  xR 1 1   A∩B ．已知集合  x  ，则 A  xR∣0xlog e  B {xR∣0 x1} ． 2 ． C  xR∣1xlog e  D  xR∣xlog e  ． 2 ． 2   2 a  a 3  a ．已知数列 n 为无穷等比数列，若 i ，则 i 的取值范围为 i1 i1 A 3 B  3, C 0,3 D 0, ． ． ． ．     π π 3 m n a,b “ a,b = ” “m n ” ．空间中，已知两条直线 ， ，其方向向量分别为 ，则 4 是 与 所成角为 4的 A B C D ．充分非必要条件 ．必要非充分条件 ．充要条件 ．既非充分又非必要条件 4 . PABCD PA ．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马在阳马 中，若 平面 4 ABCD PA AB1 PD AC AD ，且 ，异面直线 与 所成角的余弦值为5 ，则 6 3 A B C 2 D 3 ．5 ．2 ． ． 5 π ．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为 的半圆，则该圆锥的高为 数学试题第1页（共5页） {#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}6 5 3 1 A B C D ． 2 ． 2 ． 2 ．2 x2 y2 2π 6 C:  1 F C P Q R PFQQFRRFP ．已知椭圆 36 27 ，左焦点为 ，在椭圆 上取三个不同点 、 、 ，且 3 ，则 1 2 3   FP FQ FR 的最小值为 4 3 4 3 4 2 3 4 3 A  B  C  D  ． ． ． ． 3 6 3 9 3 9 3 3 7 gxmax  2x3,32x2 hxmax  2x3,32x2 f xmin  gx,hx maxx,y,z x y ．若 ， ， ，其中 表示 ， z minx,y,z x y z ， 中的最大者， 表示 ， ， 中的最小者，下列说法不正确的是 A f x ．函数 为偶函数 B x1,3 f xx ．当 时，有  2  2  C f  f x  1 1,  ,1 ．不等式 的解集为  2   2  D x3,2  2,3  f  f x   f x ．当 时，有 1 1 2 8 ⭐️ a,b,c1,2,,100   abc a,b,c ． 正整数 ，且a c b， ，满足这样条件的 的组数为 A 60 B 90 C 75 D 86 ． ． ． ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9 A、B、C、M、N MN // ABC ．下列正方体中， 为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足 平面 的有 A B C D ． ． ． ． 10 C:x2 y2 4 F、F A、B P B ．双曲线 的左右焦点分别为 1 2，左右顶点分别为 ，若 是右支上一点（与 点不重合），如图 P l C Q S、T ，过点 的直线 与双曲线 的左支交于点 ，与其两条渐近线分别交于 两点，则下列结论中正确的是 A P 2 ． 到两条渐近线的距离之和为 B l QS  TP ．当直线 运动时，始终有 C PAB tanPABtanPBA2tanAPB0 ．在 中， D PFF 0,1 ． 1 2内切圆半径取值范围为 数学试题第2页（共5页） {#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}11 ．信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择 . . · 的判据在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据信息论之父克劳德 香农给出的信息熵的三 个性质： ①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低； ②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然； ③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和. 克劳德⋅香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式 n H(X)CPlog P 1 C1 X 1 2 3 n PX iP 0i1,2,3,,n i 2 i ，令 ，设随机变量 所有取值为 ， ， ，⋯， ，且 i ， i1 n P 1 i ，则下列说法正确的有 i1 A n1 HX0 ． 时，  1 B n2 P 0,  HX P ． 时，若 1  2，则 的值随着 1的增大而增大 C P  P  1 P  2P (k 2,kN) HX2 1 ．若 1 2 2n1， k1 k ，则 2n2 D n2m Y 1，2，，m， PY jPX  jPX 2m1j，j1，2，，m HXHY ．若 ，随机变量 的所有可能取值为 且 ，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12 ABC A B C a b c sin A sinB sinC sin(BA) sin A ．已知 三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等比数列， ， sinC C . ， 成等差数列，则 2 1 13 a,b0  1 ab a2b2 ．已知 ，a b ，则 的最小值为 ． 14 ．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一 . . 天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家如果天不下雨，那么他不带雨伞假设每天上班和 1 2 . 下班时下雨的概率均为3，不下雨的概率均为3，且与过去情况相互独立现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天， . 他至少有一天淋雨的概率为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 13分） 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作 a a 11 12 为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如 a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下： 21 22 2sinx sin2x a a a 11 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21，设函数 f(x) 2 cos(x π ) (xR) ． 21 22 6 (1) f(x) [0,] 求 的对称轴方程及在 上的单调递增区间； (2) ABC f A 3  A  D   2 A  B   1 A  C  cosB 3 tanBAD. 在锐角△ 中，已知 2， 3 3 ， 3 ，求 数学试题第3页（共5页） {#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}16.（本小题满分 15分） abi a bR rcosisin r  x 一般地，任何一个复数 （ ， ）可以写成 ，其中 是复数的模， 是以 轴非负半轴为始边，射 OZ . 02π argz arg10 线 为终边的角，称为复数的辅角我们规定在 范围内的辅角称为辅角主值，通常记作 ，如 ， argi π arg  1 3i   π . z z r cossinr cos sinrr  cosisin  2， 3 发现 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ，就是说两个 . 复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和 考虑如下操作：从写有实数0，1， 3的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部. 设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为z . n (1) 写出一次操作后所有可能的复数； (2) n2 z X X 当 ，记 n 的取值为 ，求 的分布列； (3) z2 Q . 求 n为实数的概率 n 17.（本小题满分 15分） PABC AC BC PAC  ABC PAPCAC2 BC 4 E F PC PB 如图，在三棱锥 中 ，平面 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中 AEF ABC l. 点，记平面 与平面 的交线为直线 (1) EF  PAC 求证：直线 平面 ； π (2) l Q B AC PQ EF PBQ AEF 若直线 上存在一点 （与 都在 的同侧），且直线 与直线 所成的角为4，求平面 与平面 所成 . 的锐二面角的余弦值 数学试题第4页（共5页） {#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}18.（本小题满分 17分） Ax,y  Bx ,y  A B “ ” A,B x y x y F 2,0 F 2,0 已知点 1 1 ， 2 2 ，定义 ， 的 倒影距离 为 1 2 2 1 ，我们把到两定点 1 ， 2 的 “ ” 6 M C “ ”. 倒影距离 之和为 的点 的轨迹 叫做 倒影椭圆 (1) “ ”C 求 倒影椭圆 的方程； (2) “ ”C 求 倒影椭圆 的面积； (3) O “ ”C E D E 0,2 E P Q 设 为坐标原点，若 倒影椭圆 的外接椭圆为 ， 为外接椭圆 的下顶点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点 D DPQ H O OH PQ . （均异于点 ），且 的外接圆的圆心为 （异于点 ），证明：直线 与 的斜率之积为定值 19.（本小题满分 17分） f N f N R f n nN a  函数 的定义域为全体正整数集合 ，则称 ： 或 ， 为数列，简记为 n ，数列中的每一项即为 a 1in . · . i 我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子 天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭其 1 1 . n 含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去第一天截下2，第二天截下22 ，第 天截 1  1  1  1  ...   n 0   0. 下2n 不难看出，数列2n的通项2n 随着 的无限增大而无限接近于 ，那么我们就说数列2n的极限为 我们定义 a  a  N nN a a  a  ：设 n 为数列， 为定数，若对给定的任意正数 ，总存在正整数 ，使得 时有 n ，则称数列 n 收敛 于 a ，定数 a 称为数列 a n  的极限，记为 l n i  m  a n a. (1) F F F n3 F F 1 n F n 51 . 已知数列 n n1 n2 ， 1 2 ，证明：当 不断增大时，F n1 的值会不断趋向于黄金分割比 2 1 (2) a  0a 1 4a 1a 1 lima  . 设数列 n 满足 n ，且 n1 n ，证明： n n 2 (3) a n 0 NN m,nN m,nN a m a n  材料：设 是个实数列，对任意给定的 ，若存在 ，使得凡 ，且 ，都有 ， n 1 a  a n “ ”. n k1 k 1 a n  “ ” 1 a n  “ ”. 则称 为 柯西列 问题解决：定义 ，证明： 时， 不是 柯西列 ， 时， 是 柯西列 数学试题第5页（共5页） {#{QQABLQIEoggAAAAAABhCQwWgCgAQkhECCQgGwBAIMAIBSRNABAA=}#}