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一、选择题：
1.若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A.1 B.2 C. 2 D. 3
2.设全集为R，集合A={x|x2 -9<0},B={x|-1< x£5}，则A (C B)=( )
I R [来源:学|科|网Z|X|X|K]
A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3)
3.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
18 9 6 12
ìa×2x,x³0
4.已知函数 f(x)=í (aÎR)，若 f[f(-1)]=1，则a=（ ）
î
2-x,x<0
第1页 | 共13页1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
2sin2 B-sin2 A
5.在ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,，若3a =2b，则 的值为（ ）
sin2 A
1 1 7
A.- B. C.1 D.
9 3 2
6.下列叙述中正确的是（ ）
A.若a,b,cÎR，则"ax2 +bx+c³0"的充分条件是"b2 -4ac£0"
B.若a,b,cÎR，则"ab2 >cb2"的充要条件是"a>c"
C.命题“对任意xÎR，有x2 ³0”的否定是“存在xÎR，有x2 ³0”
D.l是一条直线，a,b是两个不同的平面，若l ^a,l ^b，则a//b
第2页 | 共13页7.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得
到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
表1 不及格 及格 总计
男 6 14 20
[来源:Zxxk.Com]
女 10 22 32
总计 16 36 52
A.成绩
表2 不及格 及格 总计
男 4 16 20
女 12 20 32
总计 16 36 52
B.视力
表3 不及格 及格 总计
[来源:学&科&网]
男 8 12 20
女 8 24 32
总计 16 36 52
[来源:学*科*网]
C.智商
表4 不及格 及格 总计
男 14 6 20
女 2 30 32
总计 16 36 52
D.阅读量
8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）
第3页 | 共13页A.7 B.9 C.10 D.11
x2 y2
9.过双曲线C： - =1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半
a2 b2
径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），，则双曲线C的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
4 12 7 9 8 8 12 4
a
10.在同意直角坐标系中，函数y=ax2 -x+ 与y=a2x3 -2ax2 +x+a(aÎR)的图像不可能的是（ ）
2
第4页 | 共13页二. 填空题：
11.若曲线y = xlnx上点P处的切线平行于直线2x- y+1=0,则点P的坐标是_______.
1
12.已知单位向量e ,e 的夹角为a,且cosa= ,若向量a =3e -2e ,则|a |=_______.
1 2 3 1 2
13.在等差数列 a 中，a =7，公差为d ，前n项和为S ，当且仅当n=8时S 取最大值，
n 1 n n
则d 的取值范围_________.
7
【答案】(-1,- )
8
【解析】
第5页 | 共13页7
试题分析：由题意得：a >0,a <0，所以7+7d >0,7+8d <0，即-1b>0 的左右焦点为F，F ，作F 作x轴的垂线与C交于
a2 b2 1 2 2
A，B两点， FB与y轴交于点D，若AD^ FB，则椭圆C的离心率等于________.
1 1
15.x，yÎR，若 x + y + x-1+ y-1 £2，则x+ y的取值范围为__________.
三、解答题
16.（本小题满分12分）
已知函数 f x = a+2cos2 x cos 2x+ 为奇函数，且 f =0，其中aÎR，Î 0， .
4
（1）求a，的值；
a 2
（2）若 f =- ，aÎ ，，求sina+ 的值.
4 5 2 3
第6页 | 共13页17.（本小题满分12分）
3n2 -n
已知数列 a 的前n项和S = ，nÎN.
n n 2
（1）求数列 a 的通项公式；
n
（2）证明：对任意n>1，都有mÎN，使得a，a ，a 成等比数列.
1 n m
第7页 | 共13页18.（本小题满分12分）
已知函数 f(x)=(4x2 +4ax+a2) x ，其中a<0.
（1）当a =-4时，求 f(x)的单调递增区间;
（2）若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.
第8页 | 共13页a a a
- Ï[1,4]，当0<- <1时， f(x) = f(1)=4+4a+a2 =8,a=-2±2 2，（舍），当- >4时，
2 2 min 2
f(x) =min{f(1), f(4)},由于 f(1)¹8,所以 f(4)=2(64+16a+a2)=8,且 f(4)< f(1),解得a=-10或
min
a=-6(舍)，当a=-10时， f(x)在(1,4)上单调递减，满足题意，综上a=-10.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-ABC 中，AA ^ BC,AB^ BB .
1 1 1 1 1 1
（1）求证：AC ^CC ；
1 1 1
（2）若AB=2,AC = 3,BC = 7，问AA 为何值时，三棱柱ABC-ABC 体积最
1 1 1 1
大，并求此最大值。
42 3 7
【答案】（1）详见解析，（2）AA = 时，体积V 取到最大值 .
1 7 7
第9页 | 共13页20.（本小题满分13分）
如图，已知抛物线C:x2 = 4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作 y轴的平行线
与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.
（1）证明：动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴）与直线 y = 2相交于点N ，与（1）中的定直线相交于点N ，
1 2
证明：|MN |2 -|MN |2为定值，并求此定值.
2 1
第10页 | 共13页第11页 | 共13页2 2
MN 2 -MN2 =( -a)2 +42 -( +a)2 =8，即MN 2 -MN2为定值8.
2 1 a a 2 1
考点：曲线的交点，曲线的切线方程
21.（本小题满分14分）
将连续正整数1,2, ,n(nÎN*)从小到大排列构成一个数123 n，F(n)为这个数的位数（如n =12时，
此数为123456789101112，共有15个数字， f (12) =15），现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰
好取到0的概率.
（1）求 p(100)；
（2）当n£ 2014时，求F(n)的表达式；
（3）令g(n)为这个数中数字0的个数， f (n)为这个数中数字9的个数，h(n) = f (n)-g(n)，
S ={n|h(n) =1,n£100,nÎN*}，求当nÎS 时 p(n)的最大值.
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