2024年全国硕士研究生招生考试数学一解析
一、选择题
解产关于哺偶函数,则∫午扣是奇函数●由如)…广扼,则g(一工)…∫∵扼…
J二扼,令仁一删g(一切…一广e响杆是g(一工) …一如),g⑦是奇函数●
注如)…广专也可以看作由市)…∫车响布)…如复合而成,显然加)…s山是奇
函数,于是g(工)的奇偶性与y(″)一致,是奇函数.另外,若″(工)是偶函数,则g(工)直接就是偶函数(此时
与y(批)的奇偶性无关).
2.答 应选A.
肿班+Q地非● (一孰删正Q● (一轨地
刊(P●÷+Q●号)地'刊(÷p+号Q)删y
解…)叫+号中…+君…掣…+君#∵淡砖
依题意,和0 …1n2,α斤÷百一,乃…1,2,…,进而彻…罪…一磊百,”… 1,2,…,则
1
面
∑批… ∑讹…一∑扩∵青÷手…一÷羞击…一÷ ● ∴ .
■■■±=一:田
=
乃=O /!== 1 /!= 1 1一⊥ 6.
4
解
由∫′(O)…卿则虫灼)≡∫(0)…卿即蚌灼)一∫(0)]…0,又虫灼)…O,于是∫(0) …O●
此时1imflz2 - 1im∫(工)一∫(O) … 77L
工-→0 二Z: 一.__→O 工
5.答 应选B.
仇工+61y+cl之== dl,
解 由题意可知,计,郁,鸦相交于一条直线,且不重合,于是方α程2工组+62〕'+c2之== d2,有无穷多
刨工+63)/+c3之== d3
解,且吼,α2,α3两两不相关,故r <3,且r(α"仇)…2(壬≠j),故仍…″…2.
● 9 ●6.答 应选D.
园■■Ⅲ 田 1 1 α 1 1 α
1 1 α 0 1一α 1-α2 0 1一α 1一α2
解 (仇,α2,仍)…
一1 6 -1 0 6+1 α一1 0 6+l α一1
Ⅱ 园■■Ⅲ 0 α一1 1一α 0 0 2一α2一α
因为仇,α2,α3线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则r(α.,α”α3) <2,且r(吼,α,) … 2(;≠
j),于是r(α1,α2,仍) … 2.
①当α… 1时,仇与α3线性相关,不满足题意;
②当α≠1时,
1 1 α 1 1 α
0 1 1+α 0 1 1+α
(仇,α2,仍)一→
0 6+1α一1 0 0 -6(α+1)一2
0 0 α+2 0 0 α+2
α…一2,
要满足题意,则α+2…0且一6(α+1)一2…0,故
〈6==2.
7.答 应选A.
解 由r(A) … 2,则Ax …0只有一个线性无关的解,故特征值O只有一个线性无关特征向量.
由Aα…0…0●α,α≠0,知α为入1…0的特征向量.
对3维非零列向量,且满足伊α… 0(即α与β正交)的线性无关向量β应当有两个(比如3维坐标系的
三个坐标轴),设为体,β2,由4士=位… 1 ●位,仁= 1,2,则位,β2为特征值入2 …入3 … 1的线性无关特征向量,
进而在的全部特征值也是0,1,1.所以tr(∠年) …O+1+1 …2.
8.答 应选B.
解 E(2x+y)…2Ex+Ey…一2, D(2x+y) …4Dx+Dy…4×2+2…10,则2x+y-
N(一2,10).同理,x-y-N(2,4).此时
2x+y+2
P〈2x+y<α〉 …P ←若卢(若),
/而 ￣ /而
x-y-2
且P〈x>y〉…P
→军〉…1一@(一1)事(1),由岩…1轴…佃一2●
解由题意可知…日若<山厅÷干若<1,
于是∫(工三y)…∫(工)●有Ix(y l工)…
〈O2,,其 他0.<工<y<1,
耽…∫扛1一词工…2×(÷一÷)…÷,
肘…忙∫三2地…性一2)五…÷,
● 10●E(粉…怔∫扣吨…∫扣一工2池…÷,
于是Cov(x,y)…E(常)一耽●肘…击÷一音
10.答 应选D.
解 x与y的联合概率密度为∫(工三y) …有(工) ●有(y)…
〈0入,2e￣^(其工他十y.),工>0,y>0,
设Z的分布函数为F,(之),则Fz(之) …P〈Z<乙〉 …P〈l x-Yl<切.
①当之<0时,Fz(之)…0;
②当z>0时,
Fz(之) …P〈一z<x-y<之〉 …2P〈0<x-y<之〉
… 2性叫y审删工
当∫:∞入叫呻一e一入叫吐
… 2广入e一词一2产∫:∞灯词
… 1-e￣拓.
所以Z-E(入),从而Z与x服从相同的分布.
二、填空题
11.答 应填6.
解 1im (1+czz2)SmZ-1 .. esinc == h ( 1i 1 m shian2 )al一nl(1 +c … Lr 虫 2) 苦…6,
工一→O 工-→0
所以α…6.
12.答 应填5.
解 由d∫ …3d“+4du,则f:(1,1) -3,∫(1,1) -4,由y…∫(cosz,1+z2),则
畦…有(一Si…)+有2击
堕- [#. (一sinz)+#. 2抓一Sinz)+有(-COSZ)+EA. (一sinz)+#●2a1. 2工+有2,
扛2
…击(1,1)●(一1)+击(1,1)●2…一3+8…5.
因此莹」:。
13.答 应填一÷●
解 这是余弦级数,则
仇…主
性+1)cos nd …告∫扣snd - i∫≠sin7ui
Jt
:=二==二二一
二2￣(如士一性n加==) 一2
●
一1cos?耽
″乃 ″乃∴∴ ″
● 11 ●嘉[(一1广1]●
于是α2山… [(一1产￣1-1] … 此时
(2″一1)2乃 (2??一1)2乃’
一4 一4
1
l /广 i _→ m ∞ 7?2sin cz2 ′「 , →c r c) l - 1i ( m 2 72 ″ 2 一 . 1 s ) i 2 n… 重 = 1i 笺 m″2 (彻一1)2乃 乃
14.答
应填arc咖(亡+y) =叫+号●
解
令扩=r+”则严…渺′…盖一l●代人原方程,础一1…去.于是
盖一去+1…1若,
分离变量,得击d“- dr’两边积分,得∫丁车d“…中于是“一arCtan“-irC.回代,得
z+y-arctan(z+y) - Z+C,即
将Jr =」士y - 0代人,得C…一号,于是所求特解为arctan(亡+y) == y+号.
15.答 应填[0,+∞).
隅
解 由题意,A是实对称矩阵,则存在正交矩阵g,使gT42 ……A,故A…纱IgT.
对任意o[,β,有(oJTJap)2 < oJT4βT∠年,即(o[T(狙gTβ)2 < o!Tg/lQT雌Tg/lgTβ成立.
讽…性妒俐判
则(扦仙.)2 <计/血1伴/坤.,即
(入申161 +入2α262)2 < (入1生+入2砧)(入砧+入262),
也即 入稽徘+入狂编+2入.入狙161α262 <入砧研+入狂强+入.入2α彻+入.入2α狗,
于是2入.入2年6.α262 <入1入2α彻+入.入2α狈,即入1入2(α彻+α狈一2年6.α262) >0,也即入1入2(刨62一α261)2 >O,
α+l α
由α,β的任意性,可知入.入2>0,于是IA F ==α2+α-α2…α>0.
α∴∴∴∴α
16●答 应填÷●
解 设事件A为3次试验全部成功,事件B为至少成功1次,则
P(AB)P(A)
P(AIB)
P(B) P(B)
夕3
1一(1一夕)3
一4
一一一''''一
于是吵…4-4(1一并整理得巾御一2)(3计6)刊,解得咋÷.
● 12 .三、解答题
17.解 记D.…〈(工三y) l √丁二尹<上<1,0<y<1〉,则
叫∞词扣+性砷扣
…出击一1)cos鹏+∫…(击一1)cos鹏
…性cG-COs鹏+∫…(嚣一COs巾
…一性s鹏+怔鹏+∫…击d(锄
…一1+1n(、信+1)+(一1+准)
… 1n(、信+1)+、信一2.
18.解(1)因为∫(工三y) …工3+y3一(工+y)2+3,所以
堑a工… 3仁2(打y),筹…秒一2(汁ay工 ),堑吐旦…一1,堑生卫…一1●
a〕'
所以r的方程为工一1+y-1+z-1…0,即工+y+z…3.
(2)由(1)知,r与坐标平面所围有界区域在工Oy平面上的投影
D…〈(工三y) lo<工<3,0<y<3一切.
3工2-2(工+y) …0,
3)'2-2(工+y) … 0,
当(工三y) ∈ 〈(工三y) lo<工<3,y…O〉时,∫(击O)…工3一工2+3,工∈ [o,3].
令盘的,O)]=持一2工…0,得工…O如…÷.
当α”)∈〈(工市lo<y<3,工…0〉时,同理可得严0或严÷●
当(工三y) ∈ 〈(工三y) l o<工<3,工+y…3〉时,∫(击3一工) …工3+(3一工)3-6,工∈ [o,3].
令圭[灼,3一主门…驴一3(3一沙…0,徘…÷●
综上,月士渺)在D上的可能最值点是(0,O),(÷,÷),(÷,0),(0,专),(3,0),(O,3),(÷,÷)●
又因为仙0) …3,∫(÷,÷)…#∫(÷,0)…∫(0,÷)…茹,肌O) …∫(0,3) …21,∫(÷,÷)
÷,所以∫(工市在D上的最大值为21,最小值为暑
19.证(1)因为∫(工)具有2阶导数,当工∈ (0,l)时,根据泰勒公式,存在氛,兔∈ (0,1),使得
如) … ∫(0)+∫′(0)汁÷件世,
. 13●灼) …∫(l)+∫′(1)(一l)+÷∫咆)(一1)2,
所以
(一1)灼) …∫(O)(一1)+∫′(0)如一1)+÷/睛团士一1),
计t) … ∫(1)r+∫′(1)(一1)打÷∫咆)(一1炕
因为∫′(0) …∫′(1),所以
工(l一工)
∫(工) … ∫(0)(1一工)+∫(1)工+[计〃(阜.) + (1一工)∫(色)].
又因为l∫(工) l<1,所以当工∈ (0,1)时,
工(1一工) 工(1一工)
∫(工)一∫(0)(1一工)一∫(1)工l占<l/(阜.) l+(1一工) l∫(兔)门<
(2)因为∫中切一∫(0)(1一切一伸抽…∫扣五」(0)吉∫(1),所以由定积分的性质和(1)
可得
∫扣五一∫(O)吉∫(1) l ∫(工)一∫(0)(1一工)一∫(1)工1扛
工(1一工五)
1
∴_____一二二二二=====
12.
20.解 记曲线L在平面2工一之一1 …0上所围部分为∑,上侧为正.由斯托克斯公式得
(6冯'之一平2)五+ 2工2如y+砂'zd之
(JJZ - 2Jr2)d)'dz+ (6ny - 3ys)dzdr+ (z2 - 2工Z)drdy
肛一独一豺)+(仁2切]dS
园
(2工一z)2dS
一2 0 2 一2 0 2
21.解 由题设得 0 -2-2 得矩阵A… 0 -2-2满足吼…地山.
-6-3 3 -6-3 3
因为
入+2 0 -2
l入E-A F0 入+2 2 …入(入一1)(入+2),
6 3 入一3
● 14●所以矩阵A的特征值为入. …0,入2 … 1,入。 …一2.
当入. … 0时,解方程组(OE-A)x…0,得特征向量售. …
当入2 … 1时,解方程组(E-A)x…0,得特征向量售2 …
当入3 …一2时,解方程组(一2E-A)x…0,得特征向量色…
1 2 -1 0 0 0
令P…昨.,‘”售3) -…1-2 2 则P￣1AP …0 1 0 即
1 3 0 0 0 -2
O O O
A==PO l o
P￣1 ,
o O -2
从而得
0 0 0 1 2 -1 0 0 0 6 3 -2
A乃==P0 1 0 -1-2 2 0 1 0 -2-1 1
0 0 -2 1 3 0 0 0 (一2产 1 1 0
一4一(一2产一2一(一2)乃2
4一(一2)计12一(一2)计1 -2
-6 -3 3
由递推式吼…血山知吼…在α。,其中吼…
一4一(一2产一2一(一2产2 8+(一2产
吼三= A’也0 … 4一(一2)计12一(一2)计1-2 一8+(一2)计1
-6 -3 3 12
故重…8+(一2产,讥…一8+(一2)出,‰…12(″…1,2,…).
工<0,
22.解 (1)x的分布函数为F(工)矿 … 0<工<♂,则x"的概率密度为
景叶, 0<工<♂,
∫(心(工) …计F(工)]山F′(工) …
其他,
● 15●从而 耽" …∫二抗同扛…懈驰…击轨
故叮…击晰以当c…吐±时,T是响无偏估计●
E邯心…∫二计⑧(→地工…∫枷地…品仇
出)…盯一扔2…伊(营一才轩+1),
所以当c…筹吉时砒)最小●
● 16●
