(2.3.12)--高数-第四章中值定理._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你 第四章 中值定理章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 5 分. 1.设函数y  f (x)在 0,内有界且可导，则（ ） A.当 lim f(x) 0时，必有 lim f(x) 0 x x B.当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x) 0 x x C.当lim f(x) 0时，必有lim f(x) 0 x0 x0 D.当lim f(x)存在时，必有lim f(x) 0 x0 x0 【答案】B 【解析】对y  f (x)在区间 a,x 上使用拉格朗日中值定理，得 f  x  f  a  f ，其中介于a与x之间. xa 因为 f  x 在 a,x  0,上有界，所以 f  x  f  a 有界， 1 lim f(x)  lim f()  lim   f  x  f  a   0 ，故应选(B) x  x xa 二．解答题，每题 10 分，共 140 分.      2.设 f(x)在  0,  上连续，在0, 内可导， f  0 0, f   1，证明:至少存  2  2  2   在一点 0, ，使 f()cos0.  2 【解析】令F  x  f  x sinx，F  0  f  0 sin00    F   f   sin 0  2  2 2 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你      由罗尔定理，F  x 在  0,  上连续，0, 内可导，且F  0 F   2  2  2   所以存在 0, 使得F0，即 fcos0  2 3.设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0.试证:存在, a,b ， f eb ea 使得  e . f ba 【解析】令g  x ex，则g  x 与 f  x 在 a,b 上满足柯西中值定理条件，故由 柯西中值定理，存在 a,b ，使得 f  b  f  a  f  f  b  f  a   eb ea  e  ， 即   f eb ea e ba ba 又 f  x 在 a,b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 a,b ，使 f  b  f  a   f. ba f eb ea 由题设 f x 0知道， f0，从而  e . f ba 4.设函数 f  x  在 0,a  上连续，在  0,a  内可导，证明:存在 0,a  ，使 f f  f  a  . 【解析】法一:构造函数F  x  xf  x xf  a  .显然有F  0 F  a  .由罗尔定理得  0,a ，使F f f f  a  0， 即 f f  f  a  . 法二:构造函数G  x  xf  x ，有G  0 0. 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 由拉格朗日定理可知， 0,a ，使G  a G  0 aG，即 af  a a  f  f   ，故 f f  f  a  . 5.设函数 f  x 在 0,2 上连续，在 0,2 内可导，且满足 f  0  f  2 2. 【解析】存在 0,2 使 f f  2. 将换成x，待证的等式化为 f x  f  x 20. 左边   f  x 2    f  x 2 ，故构造函数F  x ex   f  x 2  有F  0 F  2 0，故由罗尔定理得 0,2 ，使 Fe  f 2  ef 0，即 f f  2 6.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1  .证明:在 0,1 内存 在不同的点和，使 f f 0.  1 1  【解析】在 0, 和 ,1 上分别对 f  x 使用拉格朗日中值定理，      2 2  1 f    f  0   1 2  1   0, ，使 f  2f    f  0  ;  2 1  2  0 2 1 f  1  f   1  2  1   ,1，使 f  2f  1  f   2  1  2 1 2 则 f f 0. 内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 1 7.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且满足 f  1 33e1x2 f  x  dx . 0 证明:存在 0,1 ，使 f2f  . 【解析】令F  x  f  x ex2 1  1 由积分中值定理得 33e1x2 f  x  dx e1a2  f  a  f  1 ，a  0,   3 0 则e1f  1 ea2 f  a ，即F  a F  1 ，由罗尔定理得  a,1 ，使F fe2 2 f  e2  0，即 f2f  .    8.证明在开区间  ， 内至少有一点使得方程sinxx10成立.  2 2    【解析】令 f  x sinxx1，由于 f  x 在  ， 上连续，且    2 2       f    f     0 ，则由零点定理可知，至少存在一个   ，  使得  2  2  2 2 f 0，即至少有一点  使得方程sinxx10，得证. 9.设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，试证在 0,1 内至少存在一点 ，使得 4   f  1  f  0     12  f  .  【解析】不妨设g  x arctanx，由于 f  x ，g  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可 1 导，且g x   0，由柯西中值定理知，存在 0,1 ，使 1x2 f  1  f  0  f   . g  1 g  0  g f  1  f  0  f  即   1 ，故 4   f  1  f  0     12  f ，得证. 0  4 12 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 10.设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0，且 lim f  x 2.证明: x (1)存在a 0，使得 f  a 1; 1 (2)对于(1)中的a，存在 0,a ，使得 f a 【解析】(1)由于 lim f  x 21，则存在 X ，当x X 时， f  x 1，不妨取 x  X,，则 f 1. 令F  x  f  x 1，由于F  x 在 0,上连续，且F  0 F 0，则由零点定 理，至少存在一个a 0,，使得F  a 0，即 f  a 1. 1 (2) 令 G  x  f  x  x ，由于 G  x  在  0,a  上连续 ，  0,a  内可导，且 a 1 G  0 G  a 0，则由罗尔定理可知，存在 0,a 使得G0，即 f . a 11.设 f  x 在 0,1 上具有一阶连续导数， f  0 0，证明:存在 0,1 ，使得 f2 1 f  x  dx 0 【解析】f x 在 0,1 上连续，故m f x M ，其中m,M 分别是 f x 在 0,1  上的最小值和最大值.由 f  x  f  0  f  x0  0 x ，有 f  x  xf， 因为m fM ，所以mx f x  f  x Mx . 因此 1 mxdx 1 f  x  dx 1 Mxdx, 1 2mxdx2 1 f  x  dx 1 2Mxdx 0 0 0 0 0 0 故m2m 1 2 1 f  x  dx2M  1 M 2 0 2 由介值定理可知，存在 0,1 ，使得 f2 1 f  x  dx. 0 1 12.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0, f   1，证 2 明: 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 1  (1)存在  ,1，使得 f ; 2  (2)对于任意实数，必存在 0,，使得 f  f   1. 1  【解析】(1)令F  x  f  x x ，则函数F  x  f  x x 在  ,1  上连续，且有 2  1 1 1 1 F   f      0,F  1  f  1 11 0, 2 2 2 2 1 1  由于F  F  1 0，根据零点定理可知，存在  ,1，使得F 0，即 2 2  f . (2)令G  x ex   f  x x  ，则函数G  x 在 0,上连续，在 0, 内可导， G  0 G 0 ，即函数G  x  在 0,上满足罗尔定理的条件，于是存在  0,，使得Ge  f1  e  f    0 即 ff 1   13.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0 0, f  1 1，证明存在 1 1 不同的,  0,1 ，使得   2. 1 2 f f  1 2 【解析】取 0,1  , f 0,1，用将 0,1 划分为 0,，,1  .在这两个区间 上分别对 f  x 使用拉格朗日中值定理，得 1  f  f  0  f 0   , 0, ， 1 f f  1 1 1 1 f  1  f  f   1  ,  ,1  ， 2 f 1 f  2 2  1 1 与欲证等式比较，只需证   2即可，于是可取 f  ，则 f  1 f  2 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你  1   2 1 2，命题得证. f  1 f  ln2bln2a 2ln 14.已知0 ab，证明:存在 a,b ，使得  . ba  【解析】令 f  x ln2 x 1 2lnx f  b ln2b， f  a ln2a， f x 2lnx  x x f  b  f  a  又因为 f  x ln2 x在 a,b 连续， a,b 可导，由拉格朗日知  f ba ln2bln2a 2ln 即  . ba  x 15.证明恒等式arctanxarcsin  x . 1x2 x 【解析】设g  x arctanxarcsin ，则 1x2 x2 1x2  1x2 g x  1  1x2  0 ， 1x2 2  x  1   1x2  故g  x C ，令x0得g  0 0，所以g  x 0.结论得证. 内部资料，翻印必究 7