(2.3.12)--高数-第四章中值定理._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

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第四章 中值定理章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 5 分.
1.设函数y  f (x)在 0,内有界且可导，则（ ）
A.当 lim f(x) 0时，必有 lim f(x) 0
x x
B.当 lim f(x)存在时，必有 lim f(x) 0
x x
C.当lim f(x) 0时，必有lim f(x) 0
x0 x0
D.当lim f(x)存在时，必有lim f(x) 0
x0 x0
【答案】B
【解析】对y  f (x)在区间 a,x 上使用拉格朗日中值定理，得
f

x

f

a

f ，其中介于a与x之间.
xa
因为 f  x 在 a,x  0,上有界，所以 f  x  f  a 有界，
1
lim f(x)  lim f()  lim 

f  x  f  a 

0 ，故应选(B)
x  x xa
二．解答题，每题 10 分，共 140 分.
    
2.设 f(x)在  0,  上连续，在0, 内可导， f  0 0, f   1，证明:至少存
 2  2  2
 
在一点 0, ，使 f()cos0.
 2
【解析】令F  x  f  x sinx，F  0  f  0 sin00
  
F   f   sin 0
 2  2 2
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    
由罗尔定理，F  x 在  0,  上连续，0, 内可导，且F  0 F 
 2  2  2
 
所以存在 0, 使得F0，即 fcos0
 2
3.设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0.试证:存在, a,b ，
f eb ea
使得  e .
f ba
【解析】令g  x ex，则g  x 与 f  x 在 a,b 上满足柯西中值定理条件，故由
柯西中值定理，存在
a,b
，使得
f  b  f  a  f  f  b  f  a   eb ea  e
 ， 即   f
eb ea e ba ba
又 f  x 在 a,b 上满足拉格朗日中值定理条件，故存在 a,b ，使
f

b

f

a

 f.
ba
f eb ea
由题设 f x 0知道， f0，从而  e .
f ba
4.设函数 f  x  在 0,a  上连续，在  0,a  内可导，证明:存在 0,a  ，使
f
f 
f

a

.
【解析】法一:构造函数F  x  xf  x xf  a  .显然有F  0 F  a  .由罗尔定理得
 0,a ，使F f f f  a  0，
即 f f  f  a  .
法二:构造函数G  x  xf  x ，有G  0 0.
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由拉格朗日定理可知，
0,a
，使G 
a
G 
0
aG，即
af  a a  f  f   ，故 f f  f  a  .
5.设函数 f  x 在 0,2 上连续，在 0,2 内可导，且满足 f  0  f  2 2.
【解析】存在
0,2
使 f
f

2.
将换成x，待证的等式化为 f x  f  x 20.
左边   f  x 2    f  x 2 ，故构造函数F  x ex   f  x 2 
有F  0 F  2 0，故由罗尔定理得 0,2 ，使
Fe  f 2  ef 0，即 f f  2
6.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1  .证明:在 0,1 内存
在不同的点和，使 f f 0.
 1 1 
【解析】在 0, 和 ,1 上分别对 f  x 使用拉格朗日中值定理，
   
 2 2 
1
f    f  0 
 1 2  1 
 0, ，使 f  2f    f  0  ;
 2 1  2 
0
2
1
f

1

f  
1  2  1
  ,1，使 f  2f  1  f  
2  1  2
1
2
则 f f 0.
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1
7.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且满足 f  1 33e1x2 f  x  dx .
0
证明:存在
0,1
，使 f2f 
.
【解析】令F  x  f  x ex2
1  1
由积分中值定理得 33e1x2 f  x  dx e1a2  f  a  f  1 ，a  0, 
 3
0
则e1f  1 ea2 f  a ，即F  a F  1 ，由罗尔定理得
 a,1 ，使F fe2 2 f  e2  0，即 f2f  .
  
8.证明在开区间  ， 内至少有一点使得方程sinxx10成立.
 2 2
  
【解析】令 f  x sinxx1，由于 f  x 在  ， 上连续，且
 
 2 2
     
f    f     0 ，则由零点定理可知，至少存在一个   ，  使得
 2  2  2 2
f 0，即至少有一点

使得方程sinxx10，得证.
9.设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，试证在 0,1 内至少存在一点
，使得 4   f  1  f  0     12  f  .

【解析】不妨设g  x arctanx，由于 f  x ，g  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可
1
导，且g x   0，由柯西中值定理知，存在 0,1 ，使
1x2
f

1

f

0

f

 .
g

1
g 
0
 g
f

1

f

0

f

即   1 ，故 4   f  1  f  0     12  f ，得证.
0 
4 12
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10.设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0，且 lim f  x 2.证明:
x
(1)存在a 0，使得 f  a 1;
1
(2)对于(1)中的a，存在 0,a ，使得 f
a
【解析】(1)由于 lim f  x 21，则存在 X ，当x X 时， f  x 1，不妨取
x
 X,，则
f
1.
令F  x  f  x 1，由于F  x 在 0,上连续，且F  0 F 0，则由零点定
理，至少存在一个a 0,，使得F 
a
0，即
f

a
1.
1
(2) 令 G  x  f  x  x ，由于 G  x  在  0,a  上连续 ，  0,a  内可导，且
a
1
G  0 G  a 0，则由罗尔定理可知，存在 0,a 使得G0，即 f .
a
11.设 f  x 在 0,1 上具有一阶连续导数， f  0 0，证明:存在 0,1 ，使得
f2 1
f

x

dx
0
【解析】f x 在 0,1 上连续，故m f x M ，其中m,M 分别是 f x 在 0,1 
上的最小值和最大值.由 f  x  f  0  f  x0  0 x ，有 f  x  xf，
因为m fM ，所以mx f x  f  x Mx .
因此 1 mxdx 1 f  x  dx 1 Mxdx, 1 2mxdx2 1 f  x  dx 1 2Mxdx
0 0 0 0 0 0
故m2m 1 2 1 f  x  dx2M  1 M
2 0 2
由介值定理可知，存在 0,1 ，使得 f2 1 f  x  dx.
0
1
12.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0, f   1，证
2
明:
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1 
(1)存在  ,1，使得 f ;
2 
(2)对于任意实数，必存在 0,，使得 f

f 

1.
1 
【解析】(1)令F  x  f  x x ，则函数F  x  f  x x 在

,1

上连续，且有
2 
1 1 1 1
F   f      0,F  1  f  1 11 0,
2 2 2 2
1 1 
由于F  F  1 0，根据零点定理可知，存在  ,1，使得F 0，即
2 2 
f
.
(2)令G  x ex   f  x x  ，则函数G  x 在 0,上连续，在 0, 内可导，
G  0 G 0 ，即函数G  x  在 0,上满足罗尔定理的条件，于是存在
 0,，使得Ge

f1

e

f 

 0
即 ff 1
 
13.设函数 f  x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0 0, f  1 1，证明存在
1 1
不同的,  0,1 ，使得   2.
1 2 f f 
1 2
【解析】取 0,1  , f 0,1，用将 0,1 划分为 0,，,1  .在这两个区间
上分别对 f  x 使用拉格朗日中值定理，得
1 
f  f  0  f 0   , 0, ，
1 f f  1
1
1 1
f  1  f  f   1  ,  ,1  ，
2 f 1 f  2
2
 1
1
与欲证等式比较，只需证   2即可，于是可取 f  ，则
f  1 f  2
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 1
  2 1 2，命题得证.
f  1 f 
ln2bln2a 2ln
14.已知0 ab，证明:存在 a,b ，使得  .
ba 
【解析】令 f  x ln2 x
1 2lnx
f  b ln2b， f  a ln2a， f x 2lnx 
x x
f

b

f

a

又因为 f  x ln2 x在 a,b 连续， a,b 可导，由拉格朗日知  f
ba
ln2bln2a 2ln
即  .
ba 
x
15.证明恒等式arctanxarcsin  x
.
1x2
x
【解析】设g

x
arctanxarcsin
，则
1x2
x2
1x2 
1x2
g x 
1

1x2
 0 ，
1x2 2
 x 
1 
 1x2 
故g  x C ，令x0得g  0 0，所以g  x 0.结论得证.
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