(272)--第一章《行列式》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 行列式
巩固练习
题型01 数值行列式的计算
1.【答案】 6
【解析】分析可知，按照第一行展开，只有两种情况会出现 x 3 ：
（1） ( 1 ) (1 3 2 4 ) x ( x 2 ) ( x 3 ) 4 4 x 3          
x
x
2
3
 4
x
1
2

4
3
x
1

3
4
2
x 
2
3
4
1
（2）
(1)(4321)(x1)(x2)(x3)(x4) x4(1234)x3
 x4 10x3
x
x
2
3
 4
x
1
2

4
3
x
1

3
4
2
x 
2
3
4
1
故x3的系数为4106.
2.【答案】 1 4 4 x 2
【解析】
x x2 x3 x4 x 0 0 0
x 2x2 3x3
1 2x 3x2 4x3 1 x 2x2 3x3
f(x)   x 2 6x 12x2
0 2 6x 12x2 0 2 6x 12x2
0 6 24x
0 0 6 24x 0 0 6 24x
x 0 0
2x 6x2
 x 2 2x 6x2  x2  x2(48x2 36x2)12x4
6 24x
0 6 24x
所以 f(x)48x3， f(x)144x2.
3.【答案】21
【解析】2AB(2,, ,3 )
1 2 3 12 A  B 



2
2


6
1 2
,

,
1
,
3
,

,
1
, 
1
, 3
2
,
2
,
1
,
3
2
3
,

2
3

,
0
3
2

3

,
(

1
, 
1
,
*
1
2
,
2

,
,

2
,
1
1
, 3


3
2

, 3
0
,
3
1
(

, 
1
2

, 3
3
,

1
, 
,
, 3
2
, 
1
3

,
2

1
1
0 )
           
           
     
  






1
1
2
2
2
1


,
,
1
1
,
,
3
3
2
2
,
,
3
1

(
3
)
注
)
意 有 列 成 比 例 的 行 列 式 为
  
   
凑 题 干 条 件 的 形 式
（*处也可直接先根据题干 ,
1
, 3
2
,
1

3
 9  ,
1
, 3
2
, 
3
 9        ，进而可得
3,, , 9 ,, ,  3，代入也可得最终答案）
1 2 3 1 2 3
4.【答案】 n !
【解析】
1



1
1
1


2
0
2
2
3
3
0
 3
n
n
n
0

1
0
0
0
2
2
0
0
3
6
3
0
2
2
n
n
n
n  n ! .
5.【答案】 1 6 0
【解析】
4 1 2 3
3 4 1 2
2 3 4 1
1 2 3 4
r1


1 0
r
2
1
0
0
0
 r
3
1
1
1
1
 r

4
1
2
2
2
1 0
3
2
1
1


3
1
1
1
0
4
3
2
 1
1
0
0
1
4
3
1
1
1
1 0
2
1
4

2
2
2
 1 0
 1
 1
3
1
3
2
1
 1
1
4
3
2
0
1
0
0
1
1
4
3

4
4
1
2
1
4
2 
0
4
1
 1 6 0
6.【答案】 b n  1 ( b 
n
i
1
a
i
)
【解析】方法一：原式n
ba a a a
i 2 3 n
i1
n 1 a a a
ba a b a a 2 3 n
i 2 3 n 1 a b a a
i1 n 2 3 n
 n (ba )1 a a b a
ba a a b a i 2 3 n
i 2 3 n i1
i1
1 a a a b
2 3 n
n
ba a a a b
i 2 3 n
i1
1
1 b
n n
(ba )1 b bn1(ba )
i i
i1 i1
1 b
方法二：
原式 
1
0
0
0
a
1
a
a
a
1

1
1
b
a
a
a
2
a
2
2

2
b
a
a
a
a
n
n
n
n
 b
n  1

1



1
1
1
a
b
1
a
b
2
a
b
n
n  1
若 b  0 ，则原式  0
若 b  0 ，则原式
a a a
1 1  2   n a a
b b b 1 n
 a a a 
 0 b bn 1 1  2   n 
 b b b 
b
0 b
n
bn1(ba )
i
i1
n
故原式bn1(ba ).
i
i1
7.【答案】2
【解析】1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1
2 2 3
1 2 0 0
D   0 2 0 0  0 2 0 0
1 0 3 0
1 0 3 0 0 0 3 0
1 0 0 4
1 0 0 4 1 0 0 4
1 1 1
1   1 1 1
2 3 4
 1 1 1
 0 2 0 0  1   2342
 
 2 3 4
0 0 3 0
0 0 0 4
8.【答案】
n ( n
2
 1 )
【解析】方法一：
原式  1 
1
 1 1
 1 1
 1 1
 2

0
0
0
1
1

0
1 1
 1 1
 3

0
0
0
1 1

0
0
1
1
 1 1



1
1
 1

n
2
 1


3
2

 (  1

) 
n
1 n

 2
n

(
3
n
2


( 
1 )
1 ) 2 1 n  3 
方法二：第 n 列加到第 n  1 列，新的第 n  1 列加到第 n  2 列，以此类推
12 n 2 n 3 n n
0 1 0 0
n(n1)
原式= 0 0 1 0 12 n .
2
0 0 0 1
方法三：全部加到第 1 列
12 n 2 3 n
0 1 0 0
n(n1) n(n1)
原式= 0 1 1 0  1n1 
2 2
0 0 0 1
9.【答案】43x2x2 x3
【解析】方法一：原式



4
4


x
0
3
1
x 
0

x
2
1
x 2 
0
0
 1
x 3
 3
x
0
0
0

x
1
0
0
 1
 2
x
0
0

x
0
1 0
0
 1

x
0
0

x
0
1 0

x
1
方法二：
原式
x 1 0 1 0 0
 x 1 1 0 
 x 0 x 1 4 x 1 0  xx 3 4

2 1 x 1

3 2 1 0 x 1
 x[x(x2)3]4 x3 2x2 3x4
10.【答案】1
【解析】方法一：第 1 行加到第 2 行，新的第 2 行加到第3行，以此类推：
原式 =
1
0
0
0
a
1
0
0
0
a
1
0
0
0
a
1
 1 .
方法二：全部加到第 1 行
原式 
0

0
0
1 1
0


0
1
a
1
0
a

 1
a
1
1
0
a
 a
 1  (  1 ) 1  4 

0
0
1 1 

0
1
a
1
0

 1
a  1
11.【答案】 1  a  a 2  a 3  a 4  a 5
【解析】将第2列至第5列加到第1列得D
5








D
D
D
D
1
1
1
0
0
0
a
4
3
2
2







a
1
a
1
a
a
(
a

a
 a
 1
0
0
5 
4 
 1 )
3 
a
1 
2 a
D
a
3 
a
a

0
a
1  a
 1 1
0
4  (  1 )
3
5
1 2 (  a ) a 
4 5  a
3  a  a
3 4 a  a 
0
0
a
 a
 1
 1 ( 
4 a
4 
5 a
a

a 5
1
) a
a
0
0
0
a

3
5
a


a 5
D
4
 (  1 ) 5  1 (  a )
1
a


0
1
a
1
0
a

 1
a
1
0
0
a
 a
0
0
0
a
12.【答案】
 (
a
n
n

 1
a
1


) a
b
b
n
n
,
 1
,
a
a


b
b
,
.
【解析】将D 按第1行展开，得
n
1 ab 0 0 0
0 ab ab 0 0
0 1 ab 0 0
D (ab)D ab
n n1
0 0 0 ab ab
0 0 0 1 ab
(ab)D abD
n1 n2
即得递推公式 D
n
 ( a  b ) D
n  1
 a b D
n  2
.
由以上关系式可得
D aD b(D aD )b2(D aD ) bn2(D aD )
n n1 n1 n2 n2 n3 2 1
 ab ab 
bn2  a(ab)
1 ab
 
bn2[(ab)2 aba(ab)]bn
于是得
D aD bn a2D abn1bn  an1D an2b2  abn1bn
n n1 n2 1
(n1)an, a b,

an an1b abn1bn an1bn1
b
 , ab.(公比为 的等比数列)
 ab a（ a n  a n  1 b   a b n  1  b n =
a n

1 
1


b
ab
a
 n  1 

a n  1

1
a


 b
a
b
 n  1 

a n  1
a


b
b
n  1
）
13.【答案】 6
【解析】
2 5 1 2 2 3 1 2
3 7 1 4 3 4 1 4
M M  A A 0A 0A  
31 32 31 32 33 34 1 1 0 0 1 0 0 0
4 6 1 2 4 2 1 2
3 1 2 3 1 1 3 1 0
3 1
 4 1 4 2 4 1 2 2 4 1 3 6 6
2 1
2 1 2 2 1 1 2 1 0
14.【答案】
b
a
【解析】设 A 
 a
a
a
1
2
n
1
1
1
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n

，由于行和相等并等于a，可将所有列加到第一列
b  A 
a
a
a
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n
 a
1
1
1
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n
 a ( A
1 1
 A
2 1
  A
n 1
)
故 A
1 1
 A
2 1
  A
n 1

b
a
.
15.【答案】B
【解析】
1 1 1 1
1 0 0 0
A  A  A  A  (1)511
11 12 13 14 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 1 1 1
A  A  A  A  (1)511
21 22 23 24 0 1 0 0
0 0 1 0A
3 1
 A
3 2
 A
3 3
 A
3 4

0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
 (  1 ) 5  1   1
A
4 1
 A
4 2
 A
4 3
 A
4 4

0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
 (  1 ) 5  1   1
4 4
所以 A 4，答案选（B）.
ij
i1 j1题型02 抽象行列式的计算
1.【答案】  8
【解析】 B  (
1
 2
2
, 3
1
 4
2
)  A
 1
2
3
4

    ，则 B  A
1
2
3
4
  8 .
2.【答案】  2
【解析】由
A ( ,
1 2
, )
3


(
(
A
1
,
1
, A
,
2
2
3
,
)
A


1
0
2
3
) 
0
1
4
(
1
1

2

1
2

2
,
2
 4
3
,
1

2
 2
3
)             
  
取行列式得 A 
1
,
2
,
3

1
,
2
,
3
 
1
0
2
0
1
4
1

2
1       ，因为
1
,
2
,
3
  是三维线性无关的向量，
所以,, 0，故
1 2 3
A  
1
0
2
0
1
4
1

2
1 
1
0
0
0
1
4
1
1
2
  2 .
3.【答案】
1
2
【解析】由A2BAB E得 ( A  E ) ( A  E ) B  E  A ，由于 A  E  1 8 ，所以
(AE)B  E，于是 B  ( A E )  1 
| A
1
 E |

1
2
 .
4.【答案】 a 2 ( a  2 n )
 1 0 1
 
【解析】方法一：AT  0 0 0 ，由
 
 
1 0 1
 
A 2  T T  2 A  得
 2n1 0 2n1 a2n1 0 2n1
 
An 2n1A  0 0 0 ， aEAn  0 a 0 a2(a2n)
2n1 0 2n1  2n1 0 a2n1
 
 1 0 1
 
方法二：AT  0 0 0 的特征值为0,0,2，则aE  An 的特征值为a,a,a2n，由特征
 
 
1 0 1
 
值的性质得 aEAn a2(a2n).5.【答案】
6
3
4
【解析】由 A *  A A  1  3 A  1
1
1 
， A  2A1，得
2 
2 A * 
 1
2
A

 1
 6 A  1  2 A  1  4 A  1  4 3 A  1  4 3
1
A

6 4
3
.
6.【答案】  1 2
【解析】由 A B  2 A  B  2 E  2 E ，有 A ( B  2 E )  ( B  2 E )  2 E ，则
( A  E ) ( B  2 E )  2 E . 于是 A  E  B  2 E  2 E  8 ，由 A  1 
 1
2
0
2
1
0
0
0
2

可得
A 


2
3
0
1
3

2
3
0
1
3
0
0
1
2

，而 A  E 

2
3
0
4
3

2
3
0
4
3

0
0
1
2
 
2
3
，所以 B  2 E   1 2 .
7.【答案】C
【解析】 E  A 


0
3
2

0
0
2

0
6
1 
， E  A   4 ，所以
( E  A ) *  E  A  ( E  A )  1   4 ( E  A )  1 ，所以 [ ( E  A ) * ]  1  
1
4
( E  A ) ，
所以原式 


1
4

3
E  A 
1
1
6
，故答案选（C）.综合测试
1.【答案】 8
【解析】可按第三行展开，找到含x2的一共有两项，分别为 3 x ( x  2 ) ( 2 x  1 ) 及
(  1 ) 5 (  1 ) ( 1  x ) ( x  2 ) ，于是x2的系数为 8 .
2.【答案】 8 0
【解析】 A + B  (  , 2
1
, 4
2
, 2
3
)     
A + B 



1
1
8
6
6
0



.
,
,
,
2
,
1
,
1
1
, 4
,
2
,
2
2
3
3
, 2


3
1
3

,
1
1
,
6
,
1
2
,
,
3

3
2

,
,
3
1

,
2
,
3
        
     
     
3.【答案】  3 0
【解析】
M
2 1


 M
2
 1
5
4
 3
 4
 2
2

2
 5
1
 9
 6
 1
 3
 3
M
2 3
1
 1
2
1
4
1 2
6


M
2
1
7
2
3
4
2
2 4



1
3
3
 A
 1
2
5
4
1
2 1
4
2
6

1




A
5
9
6

2 2
1
3
3


1
2
1
1
A
3
4
2
2 3
1
2
7
2

1
A

4
2
6
2 4



0
0
0

1
1
0
0
1
 3
 4
 2
3


5
7




1
1
3
3
4
0
 6
1
4
1 2
6
  3 0 .
4.【答案】
a
b
【解析】设 A =
 a
a
a
1
2
n
1
1
1
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n

，则b a a
12 1n
将第2列至第n列加到第1列 b a a
a  A 22 2n
b a a
n2 nn
1 a a
12 1n
1 a a
b 22 2n b(A  A   A )
11 21 n1
1 a a
n2 nn
a
故A  A   A  .
11 21 n1 b
5.【答案】 a n  (  1 ) n  1 b n
【解析】属于么型行列式，按第 1 行展开，有
D
n


a
a
a
b
0
0
n 
0
a
0
0
(  1 )
0
0
0
0
n  1 b n
0
0
a
b
0
0
0
a
 b (  1 ) n  1
b a
b a
a
b a
b
所以 D
n
 a n  (  1 ) n  1 b n .
 4 
6.【答案】（1）x3  a x ；（2）
i
 
i1
a
1
x 3  a
2
x 2  a
3
x  a
4
；（3） x 4
【解析】
（1）
D 

a
1

4
i
1

x
0
0
a
i
0
0
0
x
 x
a
2
x
 x
0
a
2
x
0
0
a
3
0
x
 x
a
3
0
x
0
a
4
0

0
x
a
4
0
0
x

4
i
1
3 x
a 
i
0
0
0
4 


i 1
x
a
i

a
2
x
 x
0
x

a
3
0
x
 x
a
4
0
0
x
（2）D 


a
a
a
a
a
a
1
2
3
4
4
4
a


 1
x
0
0
a

3
a x
3
a x
3
2
a


0
 1
x
0
a
1
 a
1
x 
2
a x
2
a x
2
0
0
 1
x
x
a x
1
2 
2 

2
a x
1
a x
1
a
3
3
2
a

a
a
1
a
1
3
4
 1
0
0
0
x
0

0
0

0
0
0
1
1
0
0

0
0
 1
x
0

1
(
0
0
 1
x
 1 )

5 (
a

3
1 )

3
a
(
2
a
a
a
1
 a
x 
2
a
4

4
1
a
x
a
3
1
x
2 x
 a
2

0
0
0
x
1
2 
0
 1
0
0
a x
1
3
0
0
 1
x
)
（3）方法一：根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各列都加到第1列得：
原式 
x
x
x
x
x



1
1

1
1
x
1

1
1
1
x




1
1
1
1
 x
1
1
1
1
x



1
1

1
1
x
1

1
1
1
x




1
1
1
1
 x
1
1
1
1
0
0
x
0
0
x
0
0
x
0
0
0
 x  (  1 )
4 2 3
 x 3  x 4
方法二：第一行的  1 倍分别加到第二、三、四行，得爪型行列式：
1
0
0
x

0
x
0
1 1
x
0
0
x




x
x
x
1
.
第一列、第二列和第三列依此加到第四列上消去一个侧爪得：
1
0
0
x

0
x
0
1 1
x
0
0
x
0
0
0
 (  1 )
4 2 3
x 4  x 4 .
7.【答案】D
【解析】A1的特征值为3,2,1，则 A 的特征值为
1
3
,
1
2
, 1 ，所以 A  1 
1
2

1
3

1
6
，
1 1 1 1 1 1
则A* 的特征值为 , , ，所以A  A  A tr(A*)   1，故选（D）.
2 3 6 11 22 33 2 3 6拓展提升
1.【答案】D
【解析】由A* 2AT得 A*  2AT ，即 A 2  8 A ，解得 A  0 或 A  8 ；
由 A  a
2 1
A
2 1
 a
2 2
A
2 2
 a
2 3
A
2 3
 2 ( a 22
1
 a 22
2
 a 22
3
)  0 ，得 A 8，答案选（D）.
2.【答案】 1 1
【解析】方法一：按定义直接计算各元素的代数余子式：
2 0 0 0 0 2
A (1)11 6,A (1)12 0,A (1)13 0，
11 0 3 12 0 3 13 0 0
类似地：A 0,A 3,A 0,A 0,A 0,A 2,
21 22 23 31 32 33
从而 i,
3
j 1
A
ij
 1 1 .
方法二：对于三阶矩阵 A ，其伴随矩阵 A * 
 AAA
1
1
1
1
2
3
AAA
2
2
2
1
2
3
AAA
3
3
3
1
2
3

，所以 i,
3
j 1
A
ij
为 A * 所有元素之和.
由于 A 
 1
2
3

，于是 A  1 
 1
1
2
1
3

， A  6 ，所以
1 
 1  6 0 0
A*  A A1 6  2  0 3 0,
   
1 0 0 2
   
 3
从而 i,
3
j 1
A
ij
 1 1 .
【注】方法一比较直接，易于理解，但计算量比较大，相比之下第二种方法考核的知识点略多，但计算量
比较小. 如果给出的是 4 阶行列式，建议用方法二.
3.【答案】1
【解析】观察AB矩阵与已知条件及所求之间的关系，发现可以按照第四列展开.由于A有零特征值，故 A B  0 ，即
a
1
1
a
0
a
2
b
1
1
a
0
1
0
0
2
 0 .
将行列式按第四列展开，有

1
1
a
a
2
b
1
a
0
 2
a
1
1
0
a
2
1
1
a
 0
1 a 1
又 1 2 a 2，故
a b 0
a
1
1
0
a
2
1
1
a
 1 .
4.【答案】 b n  a
1
b n  1  a
2
b n  2   a
n  1
b  a
n
【解析】递推法.按第 1 列展开，得
D
n


b
b D
a
b
0
n  1
n  1

 1
b
a
n 
(  1
2
) n  1
a
a
0

n
n
1
 3
 (  1 ) n  1
0
0
a

2
b D
b
n
0
0

 1
a

1
a
(n
n

(
1 )
n
(n

 1 )
1 )
 (  1 ) n  1 a
n

b
0
1 0

0
1
0
0
b
0
0
 1
(n  1 ) (n  1 )
下面做递推，得
D
n



b
b
D
2
n 
( b

1
D
b

n
n
a
n

 3
 1 D

a

1
b
n
( b
)
 2
a b
2
D

n
n 
a
 2

2
n  1

b
a )
n  1
 a
n
 a


n  1
a
b
b
n
3


D
a
2 b
n  3
,
n
D

n 
a
2
n

 2
a
b
n
2


1
b
a

n 
a
b
1
n
 a
n
其中 D
1
 b  a
1
，故 D
n
 b n  a
1
b n  1  a
2
b n  2   a
n  1
b  a
n
，当 n  1 时，也符合.
5.【答案】 2 1
【解析】
方法一：
A  2 B 

1
1


2
2
3
3
,
,
2
2


2
2
1
1
,
,
3
3


2
2
2
2
,
,
1
1


2
1
2
 2
3
,
2
 2
1
,
3
 2
2
, 2
2
       
             
由1
 2
3
,
2
 2
1
,
3
 2
2
,
1


(
A
1
,
10

0
2
2
,

,
3
2
100
)
1
0

10

2

10
0
2
0001


100
2
 7 ,

0
10
2
0001 
          
1
 2
3
,
2
 2
1
,
3
 2
2
, 2
2


(
B
,
3

100
2
1
,

,
2
0
2
10
)
2
10

0

2

100
2
0002


0
2
10
 2 8
10

0
,
2
0002 
          
得 A2B 7(28)21.
方法二：（特值法）令
A 
 1000 0100 0010 0001 
, B 
 0010 1000 0100 0002 
则
1 2 0 0
0 1 2 0
A2B  21.
2 0 1 0
0 0 0 3
6.【答案】D
1 0 0 
  记
【解析】由题设，PA P(,,)(,2,3)(,,) 0 2 0 AQ.
1 2 3 1 2 3 1 2 3  
 
0 0 3
 
由A可逆得 P  A Q A  1 ，故
PE  AQA1AEA1  A QE A1  QE 24.
故答案选（D）.
7.【答案】15【解析】记 A 
a
1
2
1
a
1
2
2
a
2
1
3
，则 2 A
3 1
 2 A
3 2
 A
3 3
 A   9 ，而
a a a
1 2 3
A  A 2A  1 1 2 0
31 32 33
1 1 2
即
 2
A
(
3
A
1
3

1

A
3
A
2
3

2
)
2

A
A
3 3
3 3


0 ,
A   9 ,
解得 A
3 1
 A
3 2
  6 , A
3 3
 3 ，故 A
3 1
 A
3 2
 3 A
3 3
  1 5 .
8.【答案】
6 4
3
【解析】因为 A ~ B ，所以 A , B 特征值相同，设另一特征值为，由
3 1 2 3
2  B   得 1.
3
A + E 的特征值为 2 , 3 , 2 ， ( A + E )  1 的特征值为
1
2
,
1
3
,
1
2
，则 ( A + E )  1 
1
1
2
.
因为 B 的特征值为 1 , 2 , 1 ，所以B* 的特征值为
B
1
,
B
2
,
B
1
，即为 2 , 1 , 2 ，于是 B* 4，
(2B)*  4B* 43 B* 256，故
( A +
O
E )  1
( 2
O
B ) *
 ( A + E )  1 ( 2 B ) * 
1
1
2
 2 5 6 
6 4
3
.
9.【答案】（1）略；（2） k 3  k 6
【解析】（1）因为 A  O ，不妨设 a
1 1
 0 . 由 A T  k A * ，知a kA .
ij ij
1
将 A 按第一行展开，得 A a A a A a A  (a2 a2 a2 )0，
11 11 12 12 13 13 k 11 12 13
即A是可逆矩阵.
1 1 1 1
（2）由AA*  AAT  A E. 且 AAT  A AT  A 2 , A E  A 3 ,
k k k3 k3
1
2 3 可知 A  A ,整理得
k3
A 2
 1
k 3
 A

 0 , 又由（1）知 A 0，故
1 1
A  , A1  k3.
k3 A
A
又由(A*)1  ,知
A( A * )  1 
A
A

1
A 3
A 
1
A 2
 k 6 ,
故 A1  (A*)1 k3k6.