(272)--第一章《行列式》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 行列式 巩固练习 题型01 数值行列式的计算 1.【答案】 6 【解析】分析可知，按照第一行展开，只有两种情况会出现 x 3 ： （1） ( 1 ) (1 3 2 4 ) x ( x 2 ) ( x 3 ) 4 4 x 3           x x 2 3  4 x 1 2  4 3 x 1  3 4 2 x  2 3 4 1 （2） (1)(4321)(x1)(x2)(x3)(x4) x4(1234)x3  x4 10x3 x x 2 3  4 x 1 2  4 3 x 1  3 4 2 x  2 3 4 1 故x3的系数为4106. 2.【答案】 1 4 4 x 2 【解析】 x x2 x3 x4 x 0 0 0 x 2x2 3x3 1 2x 3x2 4x3 1 x 2x2 3x3 f(x)   x 2 6x 12x2 0 2 6x 12x2 0 2 6x 12x2 0 6 24x 0 0 6 24x 0 0 6 24x x 0 0 2x 6x2  x 2 2x 6x2  x2  x2(48x2 36x2)12x4 6 24x 0 6 24x 所以 f(x)48x3， f(x)144x2. 3.【答案】21 【解析】2AB(2,, ,3 ) 1 2 3 12 A  B     2 2   6 1 2 ,  , 1 , 3 ,  , 1 ,  1 , 3 2 , 2 , 1 , 3 2 3 ,  2 3  , 0 3 2  3  , (  1 ,  1 , * 1 2 , 2  , ,  2 , 1 1 , 3   3 2  , 3 0 , 3 1 (  ,  1 2  , 3 3 ,  1 ,  , , 3 2 ,  1 3  , 2  1 1 0 )                                        1 1 2 2 2 1   , , 1 1 , , 3 3 2 2 , , 3 1  ( 3 ) 注 ) 意 有 列 成 比 例 的 行 列 式 为        凑 题 干 条 件 的 形 式 （*处也可直接先根据题干 , 1 , 3 2 , 1  3  9  , 1 , 3 2 ,  3  9        ，进而可得 3,, , 9 ,, ,  3，代入也可得最终答案） 1 2 3 1 2 3 4.【答案】 n ! 【解析】 1    1 1 1   2 0 2 2 3 3 0  3 n n n 0  1 0 0 0 2 2 0 0 3 6 3 0 2 2 n n n n  n ! . 5.【答案】 1 6 0 【解析】 4 1 2 3 3 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4 r1   1 0 r 2 1 0 0 0  r 3 1 1 1 1  r  4 1 2 2 2 1 0 3 2 1 1   3 1 1 1 0 4 3 2  1 1 0 0 1 4 3 1 1 1 1 0 2 1 4  2 2 2  1 0  1  1 3 1 3 2 1  1 1 4 3 2 0 1 0 0 1 1 4 3  4 4 1 2 1 4 2  0 4 1  1 6 0 6.【答案】 b n  1 ( b  n i 1 a i ) 【解析】方法一：原式n ba a a a i 2 3 n i1 n 1 a a a ba a b a a 2 3 n i 2 3 n 1 a b a a i1 n 2 3 n  n (ba )1 a a b a ba a a b a i 2 3 n i 2 3 n i1 i1 1 a a a b 2 3 n n ba a a a b i 2 3 n i1 1 1 b n n (ba )1 b bn1(ba ) i i i1 i1 1 b 方法二： 原式  1 0 0 0 a 1 a a a 1  1 1 b a a a 2 a 2 2  2 b a a a a n n n n  b n  1  1    1 1 1 a b 1 a b 2 a b n n  1 若 b  0 ，则原式  0 若 b  0 ，则原式 a a a 1 1  2   n a a b b b 1 n  a a a   0 b bn 1 1  2   n   b b b  b 0 b n bn1(ba ) i i1 n 故原式bn1(ba ). i i1 7.【答案】2 【解析】1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 2 2 3 1 2 0 0 D   0 2 0 0  0 2 0 0 1 0 3 0 1 0 3 0 0 0 3 0 1 0 0 4 1 0 0 4 1 0 0 4 1 1 1 1   1 1 1 2 3 4  1 1 1  0 2 0 0  1   2342    2 3 4 0 0 3 0 0 0 0 4 8.【答案】 n ( n 2  1 ) 【解析】方法一： 原式  1  1  1 1  1 1  1 1  2  0 0 0 1 1  0 1 1  1 1  3  0 0 0 1 1  0 0 1 1  1 1    1 1  1  n 2  1   3 2   (  1  )  n 1 n   2 n  ( 3 n 2   (  1 ) 1 ) 2 1 n  3  方法二：第 n 列加到第 n  1 列，新的第 n  1 列加到第 n  2 列，以此类推 12 n 2 n 3 n n 0 1 0 0 n(n1) 原式= 0 0 1 0 12 n . 2 0 0 0 1 方法三：全部加到第 1 列 12 n 2 3 n 0 1 0 0 n(n1) n(n1) 原式= 0 1 1 0  1n1  2 2 0 0 0 1 9.【答案】43x2x2 x3 【解析】方法一：原式    4 4   x 0 3 1 x  0  x 2 1 x 2  0 0  1 x 3  3 x 0 0 0  x 1 0 0  1  2 x 0 0  x 0 1 0 0  1  x 0 0  x 0 1 0  x 1 方法二： 原式 x 1 0 1 0 0  x 1 1 0   x 0 x 1 4 x 1 0  xx 3 4  2 1 x 1  3 2 1 0 x 1  x[x(x2)3]4 x3 2x2 3x4 10.【答案】1 【解析】方法一：第 1 行加到第 2 行，新的第 2 行加到第3行，以此类推： 原式 = 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1 0 0 0 a 1  1 . 方法二：全部加到第 1 行 原式  0  0 0 1 1 0   0 1 a 1 0 a   1 a 1 1 0 a  a  1  (  1 ) 1  4   0 0 1 1   0 1 a 1 0   1 a  1 11.【答案】 1  a  a 2  a 3  a 4  a 5 【解析】将第2列至第5列加到第1列得D 5         D D D D 1 1 1 0 0 0 a 4 3 2 2        a 1 a 1 a a ( a  a  a  1 0 0 5  4   1 ) 3  a 1  2 a D a 3  a a  0 a 1  a  1 1 0 4  (  1 ) 3 5 1 2 (  a ) a  4 5  a 3  a  a 3 4 a  a  0 0 a  a  1  1 (  4 a 4  5 a a  a 5 1 ) a a 0 0 0 a  3 5 a   a 5 D 4  (  1 ) 5  1 (  a ) 1 a   0 1 a 1 0 a   1 a 1 0 0 a  a 0 0 0 a 12.【答案】  ( a n n   1 a 1   ) a b b n n ,  1 , a a   b b , . 【解析】将D 按第1行展开，得 n 1 ab 0 0 0 0 ab ab 0 0 0 1 ab 0 0 D (ab)D ab n n1 0 0 0 ab ab 0 0 0 1 ab (ab)D abD n1 n2 即得递推公式 D n  ( a  b ) D n  1  a b D n  2 . 由以上关系式可得 D aD b(D aD )b2(D aD ) bn2(D aD ) n n1 n1 n2 n2 n3 2 1  ab ab  bn2  a(ab) 1 ab   bn2[(ab)2 aba(ab)]bn 于是得 D aD bn a2D abn1bn  an1D an2b2  abn1bn n n1 n2 1 (n1)an, a b,  an an1b abn1bn an1bn1 b  , ab.(公比为 的等比数列)  ab a（ a n  a n  1 b   a b n  1  b n = a n  1  1   b ab a  n  1   a n  1  1 a    b a b  n  1   a n  1 a   b b n  1 ） 13.【答案】 6 【解析】 2 5 1 2 2 3 1 2 3 7 1 4 3 4 1 4 M M  A A 0A 0A   31 32 31 32 33 34 1 1 0 0 1 0 0 0 4 6 1 2 4 2 1 2 3 1 2 3 1 1 3 1 0 3 1  4 1 4 2 4 1 2 2 4 1 3 6 6 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 14.【答案】 b a 【解析】设 A   a a a 1 2 n 1 1 1 a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n  ，由于行和相等并等于a，可将所有列加到第一列 b  A  a a a a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n  a 1 1 1 a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n  a ( A 1 1  A 2 1   A n 1 ) 故 A 1 1  A 2 1   A n 1  b a . 15.【答案】B 【解析】 1 1 1 1 1 0 0 0 A  A  A  A  (1)511 11 12 13 14 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 A  A  A  A  (1)511 21 22 23 24 0 1 0 0 0 0 1 0A 3 1  A 3 2  A 3 3  A 3 4  0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0  (  1 ) 5  1   1 A 4 1  A 4 2  A 4 3  A 4 4  0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1  (  1 ) 5  1   1 4 4 所以 A 4，答案选（B）. ij i1 j1题型02 抽象行列式的计算 1.【答案】  8 【解析】 B  ( 1  2 2 , 3 1  4 2 )  A  1 2 3 4      ，则 B  A 1 2 3 4   8 . 2.【答案】  2 【解析】由 A ( , 1 2 , ) 3   ( ( A 1 , 1 , A , 2 2 3 , ) A   1 0 2 3 )  0 1 4 ( 1 1  2  1 2  2 , 2  4 3 , 1  2  2 3 )                 取行列式得 A  1 , 2 , 3  1 , 2 , 3   1 0 2 0 1 4 1  2 1       ，因为 1 , 2 , 3   是三维线性无关的向量， 所以,, 0，故 1 2 3 A   1 0 2 0 1 4 1  2 1  1 0 0 0 1 4 1 1 2   2 . 3.【答案】 1 2 【解析】由A2BAB E得 ( A  E ) ( A  E ) B  E  A ，由于 A  E  1 8 ，所以 (AE)B  E，于是 B  ( A E )  1  | A 1  E |  1 2  . 4.【答案】 a 2 ( a  2 n )  1 0 1   【解析】方法一：AT  0 0 0 ，由     1 0 1   A 2  T T  2 A  得  2n1 0 2n1 a2n1 0 2n1   An 2n1A  0 0 0 ， aEAn  0 a 0 a2(a2n) 2n1 0 2n1  2n1 0 a2n1    1 0 1   方法二：AT  0 0 0 的特征值为0,0,2，则aE  An 的特征值为a,a,a2n，由特征     1 0 1   值的性质得 aEAn a2(a2n).5.【答案】 6 3 4 【解析】由 A *  A A  1  3 A  1 1 1  ， A  2A1，得 2  2 A *   1 2 A   1  6 A  1  2 A  1  4 A  1  4 3 A  1  4 3 1 A  6 4 3 . 6.【答案】  1 2 【解析】由 A B  2 A  B  2 E  2 E ，有 A ( B  2 E )  ( B  2 E )  2 E ，则 ( A  E ) ( B  2 E )  2 E . 于是 A  E  B  2 E  2 E  8 ，由 A  1   1 2 0 2 1 0 0 0 2  可得 A    2 3 0 1 3  2 3 0 1 3 0 0 1 2  ，而 A  E   2 3 0 4 3  2 3 0 4 3  0 0 1 2   2 3 ，所以 B  2 E   1 2 . 7.【答案】C 【解析】 E  A    0 3 2  0 0 2  0 6 1  ， E  A   4 ，所以 ( E  A ) *  E  A  ( E  A )  1   4 ( E  A )  1 ，所以 [ ( E  A ) * ]  1   1 4 ( E  A ) ， 所以原式    1 4  3 E  A  1 1 6 ，故答案选（C）.综合测试 1.【答案】 8 【解析】可按第三行展开，找到含x2的一共有两项，分别为 3 x ( x  2 ) ( 2 x  1 ) 及 (  1 ) 5 (  1 ) ( 1  x ) ( x  2 ) ，于是x2的系数为 8 . 2.【答案】 8 0 【解析】 A + B  (  , 2 1 , 4 2 , 2 3 )      A + B     1 1 8 6 6 0    . , , , 2 , 1 , 1 1 , 4 , 2 , 2 2 3 3 , 2   3 1 3  , 1 1 , 6 , 1 2 , , 3  3 2  , , 3 1  , 2 , 3                      3.【答案】  3 0 【解析】 M 2 1    M 2  1 5 4  3  4  2 2  2  5 1  9  6  1  3  3 M 2 3 1  1 2 1 4 1 2 6   M 2 1 7 2 3 4 2 2 4    1 3 3  A  1 2 5 4 1 2 1 4 2 6  1     A 5 9 6  2 2 1 3 3   1 2 1 1 A 3 4 2 2 3 1 2 7 2  1 A  4 2 6 2 4    0 0 0  1 1 0 0 1  3  4  2 3   5 7     1 1 3 3 4 0  6 1 4 1 2 6   3 0 . 4.【答案】 a b 【解析】设 A =  a a a 1 2 n 1 1 1 a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n  ，则b a a 12 1n 将第2列至第n列加到第1列 b a a a  A 22 2n b a a n2 nn 1 a a 12 1n 1 a a b 22 2n b(A  A   A ) 11 21 n1 1 a a n2 nn a 故A  A   A  . 11 21 n1 b 5.【答案】 a n  (  1 ) n  1 b n 【解析】属于么型行列式，按第 1 行展开，有 D n   a a a b 0 0 n  0 a 0 0 (  1 ) 0 0 0 0 n  1 b n 0 0 a b 0 0 0 a  b (  1 ) n  1 b a b a a b a b 所以 D n  a n  (  1 ) n  1 b n .  4  6.【答案】（1）x3  a x ；（2） i   i1 a 1 x 3  a 2 x 2  a 3 x  a 4 ；（3） x 4 【解析】 （1） D   a 1  4 i 1  x 0 0 a i 0 0 0 x  x a 2 x  x 0 a 2 x 0 0 a 3 0 x  x a 3 0 x 0 a 4 0  0 x a 4 0 0 x  4 i 1 3 x a  i 0 0 0 4    i 1 x a i  a 2 x  x 0 x  a 3 0 x  x a 4 0 0 x （2）D    a a a a a a 1 2 3 4 4 4 a    1 x 0 0 a  3 a x 3 a x 3 2 a   0  1 x 0 a 1  a 1 x  2 a x 2 a x 2 0 0  1 x x a x 1 2  2   2 a x 1 a x 1 a 3 3 2 a  a a 1 a 1 3 4  1 0 0 0 x 0  0 0  0 0 0 1 1 0 0  0 0  1 x 0  1 ( 0 0  1 x  1 )  5 ( a  3 1 )  3 a ( 2 a a a 1  a x  2 a 4  4 1 a x a 3 1 x 2 x  a 2  0 0 0 x 1 2  0  1 0 0 a x 1 3 0 0  1 x ) （3）方法一：根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各列都加到第1列得： 原式  x x x x x    1 1  1 1 x 1  1 1 1 x     1 1 1 1  x 1 1 1 1 x    1 1  1 1 x 1  1 1 1 x     1 1 1 1  x 1 1 1 1 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 0  x  (  1 ) 4 2 3  x 3  x 4 方法二：第一行的  1 倍分别加到第二、三、四行，得爪型行列式： 1 0 0 x  0 x 0 1 1 x 0 0 x     x x x 1 . 第一列、第二列和第三列依此加到第四列上消去一个侧爪得： 1 0 0 x  0 x 0 1 1 x 0 0 x 0 0 0  (  1 ) 4 2 3 x 4  x 4 . 7.【答案】D 【解析】A1的特征值为3,2,1，则 A 的特征值为 1 3 , 1 2 , 1 ，所以 A  1  1 2  1 3  1 6 ， 1 1 1 1 1 1 则A* 的特征值为 , , ，所以A  A  A tr(A*)   1，故选（D）. 2 3 6 11 22 33 2 3 6拓展提升 1.【答案】D 【解析】由A* 2AT得 A*  2AT ，即 A 2  8 A ，解得 A  0 或 A  8 ； 由 A  a 2 1 A 2 1  a 2 2 A 2 2  a 2 3 A 2 3  2 ( a 22 1  a 22 2  a 22 3 )  0 ，得 A 8，答案选（D）. 2.【答案】 1 1 【解析】方法一：按定义直接计算各元素的代数余子式： 2 0 0 0 0 2 A (1)11 6,A (1)12 0,A (1)13 0， 11 0 3 12 0 3 13 0 0 类似地：A 0,A 3,A 0,A 0,A 0,A 2, 21 22 23 31 32 33 从而 i, 3 j 1 A ij  1 1 . 方法二：对于三阶矩阵 A ，其伴随矩阵 A *   AAA 1 1 1 1 2 3 AAA 2 2 2 1 2 3 AAA 3 3 3 1 2 3  ，所以 i, 3 j 1 A ij 为 A * 所有元素之和. 由于 A   1 2 3  ，于是 A  1   1 1 2 1 3  ， A  6 ，所以 1   1  6 0 0 A*  A A1 6  2  0 3 0,     1 0 0 2      3 从而 i, 3 j 1 A ij  1 1 . 【注】方法一比较直接，易于理解，但计算量比较大，相比之下第二种方法考核的知识点略多，但计算量 比较小. 如果给出的是 4 阶行列式，建议用方法二. 3.【答案】1 【解析】观察AB矩阵与已知条件及所求之间的关系，发现可以按照第四列展开.由于A有零特征值，故 A B  0 ，即 a 1 1 a 0 a 2 b 1 1 a 0 1 0 0 2  0 . 将行列式按第四列展开，有  1 1 a a 2 b 1 a 0  2 a 1 1 0 a 2 1 1 a  0 1 a 1 又 1 2 a 2，故 a b 0 a 1 1 0 a 2 1 1 a  1 . 4.【答案】 b n  a 1 b n  1  a 2 b n  2   a n  1 b  a n 【解析】递推法.按第 1 列展开，得 D n   b b D a b 0 n  1 n  1   1 b a n  (  1 2 ) n  1 a a 0  n n 1  3  (  1 ) n  1 0 0 a  2 b D b n 0 0   1 a  1 a (n n  ( 1 ) n (n   1 ) 1 )  (  1 ) n  1 a n  b 0 1 0  0 1 0 0 b 0 0  1 (n  1 ) (n  1 ) 下面做递推，得 D n    b b D 2 n  ( b  1 D b  n n a n   3  1 D  a  1 b n ( b )  2 a b 2 D  n n  a  2  2 n  1  b a ) n  1  a n  a   n  1 a b b n 3   D a 2 b n  3 , n D  n  a 2 n   2 a b n 2   1 b a  n  a b 1 n  a n 其中 D 1  b  a 1 ，故 D n  b n  a 1 b n  1  a 2 b n  2   a n  1 b  a n ，当 n  1 时，也符合. 5.【答案】 2 1 【解析】 方法一： A  2 B   1 1   2 2 3 3 , , 2 2   2 2 1 1 , , 3 3   2 2 2 2 , , 1 1   2 1 2  2 3 , 2  2 1 , 3  2 2 , 2 2                       由1  2 3 , 2  2 1 , 3  2 2 , 1   ( A 1 , 10  0 2 2 ,  , 3 2 100 ) 1 0  10  2  10 0 2 0001   100 2  7 ,  0 10 2 0001             1  2 3 , 2  2 1 , 3  2 2 , 2 2   ( B , 3  100 2 1 ,  , 2 0 2 10 ) 2 10  0  2  100 2 0002   0 2 10  2 8 10  0 , 2 0002             得 A2B 7(28)21. 方法二：（特值法）令 A   1000 0100 0010 0001  , B   0010 1000 0100 0002  则 1 2 0 0 0 1 2 0 A2B  21. 2 0 1 0 0 0 0 3 6.【答案】D 1 0 0    记 【解析】由题设，PA P(,,)(,2,3)(,,) 0 2 0 AQ. 1 2 3 1 2 3 1 2 3     0 0 3   由A可逆得 P  A Q A  1 ，故 PE  AQA1AEA1  A QE A1  QE 24. 故答案选（D）. 7.【答案】15【解析】记 A  a 1 2 1 a 1 2 2 a 2 1 3 ，则 2 A 3 1  2 A 3 2  A 3 3  A   9 ，而 a a a 1 2 3 A  A 2A  1 1 2 0 31 32 33 1 1 2 即  2 A ( 3 A 1 3  1  A 3 A 2 3  2 ) 2  A A 3 3 3 3   0 , A   9 , 解得 A 3 1  A 3 2   6 , A 3 3  3 ，故 A 3 1  A 3 2  3 A 3 3   1 5 . 8.【答案】 6 4 3 【解析】因为 A ~ B ，所以 A , B 特征值相同，设另一特征值为，由 3 1 2 3 2  B   得 1. 3 A + E 的特征值为 2 , 3 , 2 ， ( A + E )  1 的特征值为 1 2 , 1 3 , 1 2 ，则 ( A + E )  1  1 1 2 . 因为 B 的特征值为 1 , 2 , 1 ，所以B* 的特征值为 B 1 , B 2 , B 1 ，即为 2 , 1 , 2 ，于是 B* 4， (2B)*  4B* 43 B* 256，故 ( A + O E )  1 ( 2 O B ) *  ( A + E )  1 ( 2 B ) *  1 1 2  2 5 6  6 4 3 . 9.【答案】（1）略；（2） k 3  k 6 【解析】（1）因为 A  O ，不妨设 a 1 1  0 . 由 A T  k A * ，知a kA . ij ij 1 将 A 按第一行展开，得 A a A a A a A  (a2 a2 a2 )0， 11 11 12 12 13 13 k 11 12 13 即A是可逆矩阵. 1 1 1 1 （2）由AA*  AAT  A E. 且 AAT  A AT  A 2 , A E  A 3 , k k k3 k3 1 2 3 可知 A  A ,整理得 k3 A 2  1 k 3  A   0 , 又由（1）知 A 0，故 1 1 A  , A1  k3. k3 A A 又由(A*)1  ,知 A( A * )  1  A A  1 A 3 A  1 A 2  k 6 , 故 A1  (A*)1 k3k6.