文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点突破 14 几何最值问题 4 种类型
（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 费马点
【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.
A
结论：
1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于
P
2)有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. B C
（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）
【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最
短，得出最短长度.
结论证明过程：
A'
情况一：当△ABC各角不超过120°时，
A
将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B P'
则∆APB≌∆A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB P
C
B
而∠P’BP=60° 则∆ P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60°
∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C
A'
∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C
A
P'
此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120° P
B C
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时，
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，
并且使得AP'=AP, PC'=PC，则△APC≌△AP'C'
C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
A
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC（ (只有当 P、A 重合时取等
P P'
2
B
C关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
号)）
所以，当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
【费马点的作法】（当△ABC各角不超过120°）
作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC
2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型)
3）记CD、BE交点为P，点P为费马点.
4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD.
【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论
如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点.
图形 结论
等腰三角形 A ①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
D E ②△ABP与△ACP全等；
③△BCP为等腰三角形；
④△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P
P 为费马点时和最小.
B C
等边三角形 D A ①AP=BP=CP；
E
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；
④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；
P
B C ⑤点P是△ABC各边的中线的交点；
⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的
交点；
⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P
为费马点时和最小.
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
直角三角形 E ①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P
A
为费马点时和最小；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
D
P
B C
【进阶】
加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求
mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.
【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC
A
P
C
B
问题 求解图形 作法
求PA+PB+PC最 D △CAP绕点C顺时针旋转60°得△CDE
小值 E
BD长度即为所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=
A √BC2+CD2=√61
P
C
B
求PA+PB+√2PC
D
△CAP绕点C顺时针旋转90°得△CDE
最小值 E
此时△PCE为等腰直角三角形，即PE=√2PC
A
因此原式=PA+PB+√2PC=ED+PB+PE，则当B、P、E、
D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求, 在
P
Rt△BFD中有勾股定理可得BD=√BF2+FD2=√91
C
B 6
60°
3√3 3
F
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
求PA+PB+√3PC E △CAP绕点C顺时针旋转120°得△CDE
最小值 A D
此时△PCE为等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=√3
PC，因此原式=PA+PB+√3PC=ED+PB+PE，则当B、
P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,
P
C
B 30° 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=
√BF2+FD2=√60+30√3
F
求2PA+PB+√3 A 1 √3
思路：原式=2（PA+ PB+ PC）
PC最小值 2 2
1)将PC边绕点C旋转60°，然后过点P作PF⊥CE于点
P √3 1
C F,则PF= PC;2) PB利用三角形中位线来处理；3）
B 2 2
F
PA前的系数是1 ，不需要转化，所以旋转△PCB.
E
G 过程：△BCP绕点C顺时针旋转60°得△CDE, 然后过
点P作PF⊥CE于点F, 此时△PCE为等边三角形，即
√3 1
PF= PC，过点F作FG∥DE，则FG= PB，则当
D 2 2
A、P、F、G四点共线时取得最小值， AG长度即为所
求, 在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=
1 √3
√CG+AC2=√34, 原式=2（PA+ PB+ PC）=
2 2
2√34
求2PA+4PB+ 过程：△ACP绕点C顺时针旋转60°得△CDE, 然后过
D
2√3PC最小值 点P作PF⊥CE于点F, 此时△PCE为等边三角形，即
√3 1
E PF= PC，过点F作FG∥DE，则FG= AP，则当
A 2 2
G B、P、F、G四点共线时取得最小值，B G长度即为所
F 求, 在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=√CG+AC2=7.5
P 1 √3
, 原式=4（ PA+PB+ PC）=26
B C 2 2
备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.
【费马点 专项训练】
1．（2022·广东广州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作
PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=
．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为
BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
3．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．
如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足
∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若
AB=AC=√7,BC=2√3，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ；若
AB=2√3,BC=2,AC=4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC= ．
4．（2022下·福建三明·八年级统考期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师
皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点
被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，
得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线
时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C'的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=2√3，求PA+PB+PC的最小值．
5．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一
条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家
托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”
问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
6．（2021上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）背景资料：在已知△ABC所在平面上求
一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理
学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马
点P在△ABC内部，当∠APB=∠APC=∠CPB=120°时，则PA+PB+PC取得最小值．
(1)如图2，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数，为
了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP这样就可以利用旋转
变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三
角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
问题．
(2)如图3，△ABC三个内角均小于120°，在△ABC外侧作等边三角形△ABB'，连接CB'，求证：CB'过
△ABC的费马点．
(3)如图4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为△ABC的费马点，连接AP、
BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如图5，在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接AE、BE、CE，且边长AB=2；求
AE+BE+CE的最小值．
7．（2022·山东德州·统考一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的
张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P
在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP'，此时
△ACP'≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出
∠APB=______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，
∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费
马点，连接AP，BP，CP，请直接写出PA+PB+PC的值．
8．（2021·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数
学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利
数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托
里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之
和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针
旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因
PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若
AB=2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有
∠BEC=90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出
PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．
9．（2020·江苏南通·南通市新桥中学校考一模）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）【解决问题】
①如图2，在边长为√7的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝
135°，则PC＝ ．
（3）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3√2，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个
动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【加权费马点 专项训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有
一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+√2PC的最小值
（3）PA+PB+√3PC的最小值；
（4）2PA+PB+√3PC的最小值
1 √3
（5） PA+PB+ PC的最小值；
2 2
（6）2PA+4PB+2√3PC的最小值
（7）4PA+2PB+2√3PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
题型 02 胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙
子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石，但
他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子
说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿
着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多
远再通过砂石区域回家呢？这就是流传千百年的“胡不归问题.
如图，A是出发点，B是目的地，直线m是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂石，为了选择合适的
路线，假设通过驿道速度为v1米/秒，通过砂石区域速度为v2米/秒（v1> v2），小伙子需要在直线m上
选取一点C，再折往至B，求点C在何处时，用时最短（A→C→B）？
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B
m
A C
由题目可知A、B为定点，点C在直线m上运动，求t +t 的最小值.
AC BC
AC BC 1 ( v ) v
t总=t +t + BC+ 2 AC 因为v1，v2为定值，所以只需求BC+ 2 AC的最小值即可，
AC BC= v v = v v ， v
1 2 2 1 1
v v
因此需要在图中构造出长度为 2 AC的替换线段.因为 v1> v2，所以设 2 =sinα，则在 AC 外侧作
v v
1 1
CE v v 1
∠CAM=α，过点C作CE⊥AM，则 = 2 =sinα，所以CE= 2 AC，原问题转化为 (BC+CE)的最小
AC v v v
1 1 2
值，显然垂线段最短，即过点B作AM的垂线，与直线m的交点C即为所求点.
B
C' C
m
A
E
M
【解题关键】在求形如“PA+KPB”的式子的最值问题中，关键是构造与 kPB 相等的线段，将
“PA+KPB”型问题转化为“PA+PC”型.(若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可).
【胡不归模型 专项训练】
1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是
BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于
A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,−1)，连接PD，则
√2PD+PC的最小值是（ ）
3 2
A．4 B．2+2√2 C．2√2 D． + √2
2 3
3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂
足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
4．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按
下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于
1
DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一
2
1
个动点，连接CP，则CP+ AP的最小值是 ．
2
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含
1
B点）上任意一点，则AM+ BM的最小值为 ．
2
6．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作
1
BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+ BP的最小值为 ．
2
4 11
7．（2023下·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，A(1,1)，直线l:y= x+1经过B(m, )，点
3 3
4
H在直线l上运动，求AH+ BH最小值．
5
8．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线y=ax2+bx+√3分别交x轴于点
A(1,0)，B(−3,0)，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N
为线段AC上的动点，且MN⊥AC．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
1
(3)在M，N移动的过程中，DM＋ MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
2
9．（2022下·重庆·八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、
CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，∠GBH+∠GED=90°
√10
(1)如图1，若H为CF的中点，且AF=2DF，DH= ，求线段AB的长；
2
√2
(2)如图2，若BH=BC，过点B作BI⊥CH于点I，求证：BI+ DG=CG；
2
(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作BQ⊥CP于
点Q，将△BCQ沿BC翻折得△BCM，N为直线AB上一动点，连接MN，当△BCM面积最大时，直接写
√2
出 AN+MN的最小值．
2
1
10．（2021·四川绵阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋2与x轴交于点A，与y轴交
2
3
于点C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
2
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC
相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
√3
11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋√3和直线l：y＝﹣
1 3 2
√3x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l 上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点
1
√2
F的坐标，并求出此时PF＋ OP的最小值．
2
12．（2019·四川绵阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2(a>0)的图象向右平移1
个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，
OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为
D，ΔABD的面积为5．
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ΔACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
3
(3)若点P为x轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE+ PA的最小值．
5
13．（2019·湖南张家界·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(1,0)，B(3,0)两点，
与y轴交于点C，OC=3．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当ΔPBC面积最大时，求点P的坐标；
1
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
2
请说明理由．
题型 03 阿氏圆模型
【模型由来】已知平面上两点 A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最
先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”，又称阿波罗尼斯圆.
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【模型解读1】如图1所示，⊙O的半径为r，点 A、B 都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r=k·OB.连接
PA、PB，则当PA+kPB的值最小时，P 点的位置如何确定?
A A A
P'
P P
P
O B O C B O C B
图3
图1 图2
OC OP
思路：如图 2，在线段OB上截取OC，使OC= k·r（即 =k= ）且∠BOP=∠COP，则可说明
OP OB
PC
△BPO与△PCO相似，即 =k .故本题求 PA+kPB的最小值可以转化为PA+ PC的最小值,其中A与C
PB
为定点，P为动点，故当 A、P’、C三点共线时， PA+kPB的最小值为线段AC的长.
具体步骤：
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值OP/OB="k" ；
4：在OB上截取一点C，使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
【模型解读2】如图点A，B在⊙O上，OA⊥OB,OA=OB=12，点C是OA的中点，D在OB上，
6
OD=10，点P是⊙O上一动点，则2PC+PD的最小值 ，PC+ PD的最小值 ．
5
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】解：如图1，延长OA到E，使OA=AE，连接PE、OP，
OP 1 OC 1 OP OC 1
∵OA=OP，C为OA中点，∴ = ， = ，∴ = = ，
OE 2 OP 2 OE OP 2
OP AP 1
∵∠COP=∠POE，∴△OCP∽△OPE，∴ = = ，
OE PE 2
∴PE=2PC，∴2PC+PD=PE+PE,即当E、P、D三点共线时，2PC+PD有最小值，
最小值为√OE2+OD2=√242+102=26；
72
如图2，延长OB到F，使OF= ，连接PF、OP，
5
OP OD 5
∵OD=10，OP==OA=12，∴ = = ，
OF OP 6
OP DP 5 6
∵∠DOP=∠POF，∴△ODP∽△OPF，∴ = = ，∴PF= PD，
OF PF 6 5
6 6
∴PC+ PD=PC+PF,即当C、P、F三点共线时，PC+ PD有最小值，
5 5
最小值为√OC2+OF2=
√
62+
(72) 2
=15.6．
5
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【模型总结】
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造。
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造。
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
【阿氏圆模型 专项训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3
1
为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则 AP＋BP的最小值为（ ）
3
A．7 B．5√2 C．4+√10 D．2√13
2．（2023·陕西咸阳·校考三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是
OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、PD，若AC=12,BD=16，则
1
PC+ PD的最小值为 ．
4
3．（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考一模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，点C与点D在
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√2
AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P是⊙O上的一动点，则 PD+PC的
2
最小值为 ．
4．（2022上·浙江·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内
1
一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+ AP的最小值是 ．
2
5．（2020·江苏常州·统考一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在
OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为
．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则√2
PA＋PB的最小值为 ．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的
1
一个动点，则PD− PC的最大值为 ．
2
8．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与
√2
AC相切，点P为圆B上任一动点，则PA+ PC的最小值是 ．
2
9．（2018·甘肃天水·校联考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的
1
一个动点，则PD﹣ PC的最大值为 ．
2
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2023下·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
1
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 AP+BP的最小值．
2
OC 1 OP
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 = = ，又因为
OP 2 OA
CP OP 1 1 1
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 = = ，得CP= AP所以 AP+BP=CP+BP．
AP OA 2 2 2
1
又因为CP+BP≥CB=√OC2+OB2，所以 AP+BP最小值为 ．
2
1
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 AP转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
2
CP+ BP的最小值．
2
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求AP+ BP的最
3
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面
积的最大值为 ．
11．（2022·广东惠州·统考一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
3
其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x= ．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出
点P的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上
√2
的一个动点，求 BQ+FQ的最小值．
4
12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形
CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝√2，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√2
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋ AD的值；
2
√2
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋ AD的最小值．
2
13．（2017下·江苏盐城·九年级阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点
A(4,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)（0
