文档内容
2014 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷
第Ｉ卷（共 50 分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
(1) 已知 是虚数单位. 若 ＝ ，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 设集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
(3) 函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4) 用反证法证明命题：“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设
是
(A) 方程 没有实根 (B) 方程 至多有一个实根
(C) 方程 至多有两个实根 (D) 方程 恰好有两个实根
(5) 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(6) 已知函数 的图象如右图，则下列结论成立的是
E
O x
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数
(A) (B) (C) 0 (D)
(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第
一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共
有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为频率/组距
0.36
0.24
0.16
0.08
12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
(9) 对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则
称 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
(A) (B)
(C) (D)
(10) 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取
到最小值 时， 的最小值为
(A) 5 (B) 4 (C) (D) 2
第 II 卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 .
开始
(12) 函数 的最小正周期为 .
输入
(13) 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长 x
都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
n0
(14) 圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴
所得弦的长为 ，则圆 的标准方程为 。 否
x34x30
(15) 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为A，抛 是
物线 的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长 xx1 输入
x
为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分. nn1 结束
(16)（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量
（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C
数量 50 150 100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概
率.(17) （本小题满分12分）
中，角A，B，C所对的边分别为 . 已知 .
（Ｉ）求 的值；
（II）求 的面积.
(18)（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，
P
分别为线段
的中点. F
（Ｉ）求证： ；
D
（II）求证： . A E
(19) （本小题满分12分）
C
在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项. B
（Ｉ）求数列 的通项公式；
（II）设 ，记 ，求 .
(20) （本小题满分13分）
设函数 ，其中 为常数.
（Ｉ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）讨论函数 的单调性.
(21)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截
得的线段长为 .
（Ｉ）求椭圆 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且
，直线BD与 轴、 轴分别交于M，N两点.
（i）设直线BD，AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值；
（ii）求 面积的最大值.2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，
选择符合题目要求的选项。
（1）已知 是虚数单位，若 ，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】由 得， ，
故答案选A
（2）设集合 则
（A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4)
【解析】 ，数轴上表示出来得到 [1,2)
故答案为C
（3）函数 的定义域为
（A） （B） （C） （D）
【解析】 故 。选D
（4）用反证法证明命题“设 则方程 至少有一个实根”时要做的假设是
（A）方程 没有实根 （B）方程 至多有一个实根
（C）方程 至多有两个实根 （D）方程 恰好有两个实根
【解析】答案选A，解析略。
（5）已知实数 满足 ，则下列关系式恒成龙的是
（A） （B）
（C） （D）
【解析】由 得， ，但是不可以确定 与 的大小关系，故 C、D排除，而
本身是一个周期函数，故B也不对， 正确。
（6）已知函数 的图像如右图，则下列结论成立的
是
（A） （B）
（C） （D）
【解析】
由图象单调递减的性质可得 ，向左平移小于1个单位，故
答案选C
（7）已知向量 .若向量 的夹角为 ，则实数 =
（A） （B） （C） （D）
【解析】：答案：B
（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第
二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组和第二组共有 20人，
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A） （B） （C） （D）
【解析】：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
答案：C
（9）对于函数 ，若存在常数 ，使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则
称 为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。
答案：D
（10）已知 满足的约束条件 当目标函数 在该约束条
件下取得最小值 时， 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
【 解 析 】 ： 求 得 交 点 为 ， 则 ， 即 圆 心 到 直 线
的距离的平方 。
答案： B
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11．执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 。
【解析】：根据判断条件 ，得 ，
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
第三次判断后循环，
第四次判断不满足条件，退出循环，输出
答案：3
12．函数 的最小正周期为 。
【解析】：
.
答案：
13．一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面
积为 。
【解析】：设六棱锥的高为 ，斜高为 ，则由体积 得： ，
侧面积为 .
答案：12
14．圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得的弦的长 ，则圆
的标准方程为 。
【解析】 设圆心 ，半径为 . 由勾股定理 得：
圆心为 ，半径为2， 圆 的标准方程为
答案：
15．已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦
点为 ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为
。
【解析】 由题意知 ，
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 ，
即 代入双曲线方程为 ，得 ，
渐近线方程为 ， .
答案：1
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分12分）
海关对同时从 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数
量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。
地区
数量 50 150 100
（Ⅰ）求这6件样品中来自 各地区样品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概
率。
（16）【解析】：
（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
所以各地区抽取商品数为： ， ， ；
（Ⅱ）设各地区商品分别为：
基本时间空间 为：
，共15个.样本时间空间为：
所以这两件商品来自同一地区的概率为： .
（17）（本小题满分12分）
在 中，角 所对的边分别是 。已知
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的面积。
（17）【解析】：
（Ⅰ）由题意知： ，
，
由正弦定理得：
（Ⅱ）由余弦定理得：
又因为 为钝角，所以 ，即 ，
所以
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， , 分别为线段
的中点。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：
【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2
四边形ABCE为菱形
又
（Ⅱ）
,
,
（19）（本小题满分12分）
在等差数列 中，已知 ， 是 与 等比中项.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 记 ，求 .
【解析】： （Ⅰ）由题意知：
为等差数列，设 ， 为 与 的等比中项
且 ，即 ， 解得：（Ⅱ）由 （Ⅰ）知： ，
①当n为偶数时：
②当n为奇数时：
综上：
（20）（本小题满分13分）
设函数 ，其中 为常数.
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性.
【解析】(1)
(2)（21）（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆
截得的线段长为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆 的顶点），点 在椭圆 上，且
，直线 与 轴、 轴分别交于 两点.
（i）设直线 的斜率分别为 .证明存在常数 使得 ，并求出 的值；
（ii）求 面积的最大值.
【解析】(1)
设直线与椭圆交于 两点。不妨设 点为直线和椭圆在第一象限的交点。
