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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三年级数学学科期中调研试卷
满分100分 考试时间120分钟
考生须知：
1．本试卷共X页，满分X分，考试时间X分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握乘积为0的几个整式中至少有
一个因式为0．
2. 关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的值可以是（ ）
A. 3 B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个实数根得出 ，列出不等式，求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵方程 有两个实数根，
∴ ，则 ，
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∵ ，
∴ 的值可以是3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根．
3. 将抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线 向右平移3个单位长度得到的抛物线是 ．
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
4. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
【答案】A
【解析】
【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．
【详解】解：x2＋4x＝1
即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
5. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
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C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
6. 已知m是方程 的一个根，那么代数式 的值等于（ ）
A. 1 B. 0 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】把x=m代入方程得： ，进而问题可求解．
【详解】解：把x=m代入方程得： ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方
程ax2+bx+c=0的一个解只可能是（ ）
A. 2.18 B. 2.68 C. ﹣0.51 D. 2.45
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【答案】D
【解析】
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给
的自变量两个值之间．
【详解】∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x=2.18时，y=﹣0.51；x=2.68时，y=0.54，
∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选D．
8. 某同学将如图所示的三条水平直线 ， ， 的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直
线 ， ， 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数
的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求得顶点坐标为 ，再结合 ，即可确定坐标轴的位置．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，
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∴抛物线与 的交点为顶点，
∴ 为y轴，
∵二次函数 与y轴的交点为 ，且 ，
∴ 为x轴，
故答案为：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与
点的位置关系是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 抛物线 的顶点坐标是_________．
【答案】（1，2）
【解析】
【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．
【详解】∵ 是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式_____．
【答案】y=x2-2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．
【详解】解：抛物线y=x2-2开口向上，且与y轴的交点为（0，-2）．
故答案为：y=x2-2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．
11. 若关于x的一元二次方程 有一个根为1，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把方程的根 代入方程即可求解．
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【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根为1，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．
12. 二次函数 的图象与 轴有两个交点，则 的取值范围是_____．
【答案】 且 ，
【解析】
【分析】根据二次函数的定义得出 ，根据图象与 轴有两个交点，得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ ，
∵二次函数 的图象与 轴有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
综上：k的取值范围为： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是将二次函数与x轴交点问题转化
为一元二次方程根的个数问题．
13. 拋物线 与 轴的一个交点坐标是 ，则它与 轴的另一个交点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
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【分析】由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线 ，设它与 轴的另一个交点的横坐标为
t，列出方程 ，求解即可．
【详解】解：由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线 ，
设它与 轴的另一个交点的横坐标为t，
∵ 轴的一个交点坐标是 ，
∴ ，
解得： ，
∴它与 轴的另一个交点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握 的对称轴为 ，
顶点坐标为 ．
的
14. 点A（-1，y），B（4，y）是二次函数y＝（x－1）2图象上 两个点，则y________y（填“＞”，
1 2 1 2
“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数y＝（x－1）2的对称轴为 ，则 时的函数值 和 的函数值相等，进
而根据抛物线开口朝上，在对称轴的右侧 随 的增大而增大即可判断
【详解】解： 二次函数y＝（x－1）2的对称轴为 ，
时的函数值 和 的函数值相等，在对称轴的右侧 随 的增大而增大
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故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握 图象的性质是解题的关键．
15. 如图， 中， ，在同一平面内，将 绕点A旋转到 的位置，使得
，则 等于________.
【答案】 ##40度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得 ，再根据旋转的性质得 ，
，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，即可得 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵将 绕点A旋转到 的位置，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角．
16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人
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间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以
不住满，但每间每晚仍需支付130元）．
的
（1）若该旅游团一晚 住宿房费为1530元，则他们租住了_______间一人间；
（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为______元．
【答案】 ①. 1 ②. 1600
【解析】
【分析】（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，根据题意列出不等式组求解即
可；
（2）33人中共有19名男士，则女士有14名，根据 ， ，再结合该团已经租
住了3间1人间，可得：安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可
最节省，据此解答即可．
【详解】解：（1）设它们租住了x间1人间，y间三人间，且x、y均为自然数，
根据题意有： ，解得： ，
∵且x、y均为自然数，
∴ 可以取0和1，
当 时， ，不为自然数，舍去，
当 时， ，即他们租住了1间一人间．
故答案为：1．
（2）33人中共有19名男士，则女士有14名，
∵ ， ，该团已经租住了3间1人间，
∴安排2名女士和1名男士住1人间，剩下的18名男士和12名女士住三人间，即可最节省，
即： （元）．
故答案为：1600．
【点睛】本题主要考查不等式组的应用、有理数的运算的应用，明确题意列出不等式组是解答本题的关键．
三、解答题（本题共68分，17题8分，18题4分，19题6分，第20－25题，每小题5分，第26题6分，
第27~28题，每题7分）
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17. （1） ，
（2） ．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）先用十字相乘法将方程左边因式分解，即可根据因式分解法求解；
（2）先用平方差公式将方程左边进行因式分解，再移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
解得： ；
（2）解： ，
，
，
，
，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
18. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ， ，将
绕点 顺时针旋转 得到 ，点 旋转后的对应点为 ．
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（1）画出旋转后的图形 ，并写出点 的坐标；
（2）求点 经过的路径 的长（结果保留π）．
【答案】（1）见解析，点 的坐标为 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）将点 分别绕点 顺时针旋转 得到其对应点，再与点 首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
点 的坐标为 ；
【小问2详解】
解：由题意得， ，
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，
所以点 经过的路径 的长为 ．
【点睛】本题主要考查作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．
19. 关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；
（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．
【详解】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
．
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．
【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有
两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．
20. 某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，
并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通
道的宽度应是多少米？
【答案】人行道的宽度为2米
【解析】
【分析】人行道的宽度为x米，则每块矩形绿地的长度为： 米，宽度为：（8-2x）米，根据两块绿
地的面积之和为60平方米，列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
整理得 ．
解得 ， ．
∵ 不符合题意，舍去，
．
答：人行通道的宽度是2米．
【点睛】本题考查了一元二次方程法应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
的
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x 取值范围．
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【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出 解方程组即可；
（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程 的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下
方，在两根之间即可．
【详解】解：(1) 抛物线 经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得 ，
的
所求抛物线 解析式是 ．
(2) 当y=0时， ，
因式分解得： ，
∴ ，
∴ ，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待
定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
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.
22 已知二次函数 ．
（1）求二次函数 图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）结合图象直接写出自变量 时，函数的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）函数最大值为0，最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式，由此求得顶点坐标；
（2）根据题意画出函数的图象即可；
（3）观察图象写出函数y的取值范围．
【小问1详解】
解：∵ ．
∴抛物线的顶点坐标是 ．
【小问2详解】
解：二次函数 的图象如图所示：
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【小问3详解】
解：观察图象得，当自变量 时
当 时， 取最小值，此时 ，
当 时， 取最大值，此时 ，
∴当 时， ．
即：函数最大值为0，最小值为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数图像，解题的关键是正确的画出函数图像．
23. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组 与 的对应值．
0 1 2 …
… 3 4 3 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线 有两个交点 ，若 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图象经过 得出对称轴为直线 ，则顶点坐标为 ，设
该二次函数表达式为： ，把 代入，求出a的值，即可得出该二次函数表达式；
（2）二次函数的图象与直线 有两个交点，得出方程 有两个不相等的实数根，根据
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根的判别式得出 ，设方程 的两根为 ，得出
，则 ，结合 ，得出
，求解即可．
【小问1详解】
解：由表可知，该二次函数图象经过 ，
∴该二次函数的对称轴为直线
∵该二次函数图象经过 ，
∴顶点坐标为 ，
设该二次函数表达式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该二次函数表达式为： ；
【小问2详解】
解：∵二次函数的图象与直线 有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，
整理得： ，
，
∴ ，
解得： ，
设方程 的两根为 ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
解得： ，
综上： ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握用待定
系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，以及会将二次函数与直线交点问题转化为一元二次方程根的个
数问题．
24. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的
小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近
似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）
（1）求出w与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1） ；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大
利润是200元
【解析】
【分析】（1）由公式利润 （售价 成本） 数量即可列出关系式；
= − ×
（2）把 化为 ，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由题可得： ；
（2） ，
∵ ，且 ，
∴当 时， ．
答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB
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＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶
面的距离EF．设 米， 米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
y（米） 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00
（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶
面的图象．
（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高
点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或
“否”）．
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【答案】（1）3.99
（2）见解析 （3）是
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当 时， 有最大值；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；
（3）在 中，令 ，求得相应的 值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离
应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过.
【小问1详解】
解：根据二次函数的对称性可知：当 时， 有最大值为3.99；
故答案为：3.99；
【小问2详解】
解：如图，建立直角坐标系，
【小问3详解】
解：将 代入 ，得：
，解得： ，
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抛物线的表达式为 ；
在 中，令 ，得：
，
车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，
该货车能安全通过；
故答案为：是．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数
法是解题的关键．
26. 已知抛物线 过 ， ， 三点．
（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
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【小问1详解】
解： 点在抛物线上，
把 代入得： ，
即 ．
【小问2详解】
、 都在抛物线上，
把 ， 分别代入得：
，
，
抛物线的对称轴为：直线 ，
与 轴的交点坐标为 ，
①当 时，函数的最小值为 ，
，
，
∴要使 ，则 ， ，
即 ，
解不等式组得： ；
②当 时，函数有最大值为 ，
∵函数图象与 轴的交点坐标为 ，
∴最大值一定是一个正的，即此时 ，
∴要使 ，必须时使m、p一个为正一个为负，
点A离对称轴比C较远，
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，
， ，
即 ，
解不等式组得： ，
综上分析可知，a的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，根据a正负情况进行分类讨论是解题的
关键．
27. 如图，正方形 中，点 是边 上的一点，连接 ，将射线 绕点 逆时针旋转 交
的延长线于点 ，连接 ，取 中点 ，连接 ．
（1）依题意补全图形；用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（2）若 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析， ，理由见解析
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）补全图形如图所示，连 ，利用直角三角形斜边中线的性质，即可得证；
（2）作 结合等腰直角三角形的性质和判定与已知 可得出 ，然后用等
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角的三角函数相等可得出 与 的关系，从而可得出答案．
【小问1详解】
补全图形如下：
，理由如下：
连 ，
∵四边形 为正方形
∴
∵将射线 绕点 A 逆时针旋转 交 的延长线于点 F
∴
在 和 中，
在 和 中
∴ ≌
∴
【小问2详解】
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，理由如下：
过G作 于点N，设 与 交于M
由（1）知
∴
∴
∴
∴
∵
∴
由（1）知：
∴
∴
∵
∴
∴四边形 为平行四边形
∴
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∵ 为 的中点
∴
∵
∴
即
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，，直角三角形的性质，三角
函数的性质等知识点的应用，熟练掌握其性质是解决问题的关键．
28. 定义：在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴交于点 ， ．点 为平
面内任意一点，若 ，且 时，称点 为线段 的“居中点”．特别地，当
，且 时，又称点 为线段 的“正居中点”．抛物线 与 轴的正
半轴交于点 ．
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（1）若点 是线段 的“正居中点”，且在第一象限，则点 的坐标为_____；
（2）若点 是线段 的“居中点”，则点 的纵坐标 的取值范围是________；
（3）将射线 绕点 顺时针旋转 得到射线 ，已知点 在射线 上，若在第四象限内存在点 ，
点 既是线段 的“居中点”，又是线段 的“正居中点”，求此时点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的性质求出 ，在抛物线上作对称轴 ，交x轴于
点N，则可得出 ，再利用C是OM的中点，得出 ，再利用三
角函数求出 即可求解；
（2）结合（1）的结论及“居中点”的定义，即可得出；
（3）利用“正居中点”和“居中点”的定义可得出相等的线段和角，在直角三角形中利用特殊角的三角
函数值即可求出F点坐标，再通过平行线的性质找出E点的坐标即可 ．
【详解】解：
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（1）抛物线 的对称轴为 ，
令 ，则
∴ ，
在抛物线上作对称轴 ，交x轴于点N，
∴ ，点C在对称轴上，
∵C是OM的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴C ；
（2）由（1）知线段OM的“正居中点”坐标为 或 ，
∵C是线段OM的“居中点”，
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∴点C在点 的上方或 的下方，
∴D纵坐标取值范围为 或 ；
（3） 点 是线段 的“居中点”， ，
点 在线段 的垂直平分线上．
设线段 的垂直平分线交 轴于点 ．
，
．
点 是线段 的“正居中点”，
， ，
．
，
．
是等边三角形，
．
在 中， ，
点 在第四象限，
．
．
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．
又 ，
．
．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数，等边三角形的性质及平行
线的判定及性质，解题关键是读懂题意明白“正居中点”和“居中点”的性质．
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