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华中师大一附中 2024-2025 学年度上学期高三期中检测
数学试题
时限：120分钟 满分：150分 命题人：沈宇为 审题人：胡立松
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1. 已知平面向量 ， ， ，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，解得 ，
故选：A
2. 若 ： ， ： ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解两个不等式，分别得到 和 ，根据真包含关系，得到 是 的充分不必要条
件.
【详解】 ，故 ，解得 ，
，解得 ，
因为 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件.故选：A
3. 己知 是全集 的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得
解
【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合中的元素 且 ，
则阴影部分所表示的集合是 .
故选：C.
4. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为 ， ，即 ，
，即 ，
所以 .
故选：C5. 已知 ， 都是锐角， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，化切为弦得 ，代入即可求解.
【详解】由题意 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
故选：D
6. 已知 为 的外接圆圆心， ， ，则 的最大值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】得到 ， 为等边三角形， ，变形得到
，当 三点共线，即
时， 取得最大值，最大值为6.
【详解】因为 为 的外接圆圆心， ，
所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，故 ，
，
当 三点共线，即 时， 取得最大值，
最大值为 .
故选：B
7. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的 ， ，
三点进行测量．如图， （单位：米），点 为 中点，兴趣小组组长小王在 ， ， 三点
正上方2米处的 ， ， 观察建筑物最高点 的仰角分别为 ， ， ，其中 ，
， ，点 为点 在地面上的正投影，点 为 上与 ， ， 位于同一高度的
点，则建筑物的高度 为（ ）米．
A. 20 B. 22 C. 40 D. 42【答案】B
【解析】
【分析】设 ，得到 ， ， ，并得到 ，根据
得到 ，结合余弦定理得到方程，求出 ，
得到筑物的高度 .
【详解】设 ，因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，点 为 中点，
所以 ，点 为 中点，
故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由于 ，故 ，
即 ，解得 ，
故建筑物的高度 （米）.
故选：B
8. 设函数 ，则关于 的不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，定义域 为R，得到 为奇函数，即
，求导，得到 在R上单调递增，变形得到 ，从而
，求出解集.
【详解】令 ，定义域为R，
，
故 为奇函数，即 ，
，
故 在R上单调递增，
，
故 ，
即 ，
所以 ， ，
解得 或 .
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设函数 ， ， 的导数为 ，则（ ）
A.
B. 当 时，
C. 曲线 在点 处的切线方程为
D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出 的导数f′(x)即可判断A、B，表示出y=g(x)，利用导数的几何意义求出切线方程，即
可判断C，利用作差法判断D.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，则 ，故A正
确；
对于B：因为 ，即 ，解得 ，故B错误；
因为 ，
则 ，所以 ，
则y=g(x)在点(1,4)处的切线方程为 ，即 ，故C正确；
3
当 时g(x)=x2+ >0， ，
x
令 ，因为 与 均在(0,+∞)上单调递增，
7
则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，且 ，ℎ(2)= >0，
2
所以存在 使得 ，所以当 时ℎ(x)<0，当 时ℎ(x)>0，所以 ，
所以当 时 ，
所以 ，
当 时 ，
所以 ，
综上可得当 时， ，故D正确.
故选：ACD
10. 某个简谐运动可以用函数 （ ， ）， 来表示，部分图象如
图所示，则（ ）
A.
B. 这个简谐运动的频率为 ，初相为
C. 直线 是曲线 的一条对称轴
D. 点 是曲线 的一个对称中心
【答案】BD
【解析】【分析】根据图象可得 ，选项A，利用 的图象与性质可得 ，即可
判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合 ，即可求解；选项C和
D， ，利用 性质，求出 的对称轴和对称中心，
即可判断出选项C和D的正误.
【详解】由图知 ，由图象知 ，又 ，所以 ，
又由五点作图知，第三个点 为，所以 ，得到 ，所以 .
对于选项A，设 ，由 ，得到 ，
，
所以 ，故选项A错误，
对于选项B，因为 ，所以频率为 ，由 知初相为 ，所以选项B
正确，
对于选项C，因为 ，由 ，即 ，
所以 不是曲线 的对称轴，故选项C错误，对于选项D，因为 ，由 ，得到 ，
令 ，得到 ，所以点 是曲线 的一个对称中心，故选项D正确.
故选：BD.
.
11 已知实数 ， 满足 ，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项， ，所以 ，变形为 ，令 ， ，故
，根据函数单调性得到 ；B选项， 时， ，变形得到
，构造 ， ，则 ，求导得到 的单调性，
不单调，故 不一定等于 ，即 不一定成立；CD选项，由AB选项知，
时， ， ，令 ，则有 ，不妨设 ，故
，先证明出 ，从而得到 ， ，故 ，
，CD正确.
【详解】A选项，由 得 ，因为 ，所以 ，两边取对数得， ，
故 ，
令 ， ，故 ，
由于 在(0,+∞)上单调递增，故 ，故 ，A正确；
B选项， 时， ，故 ，
故 ，
令 ， ，则 ，
其中 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
因为 不单调，故 不一定等于 ，即 不一定成立，B错误；
CD选项，由AB选项知， 时， ， ，
令 ，则有 ，不妨设 ，
故 ，
下面证明 ，
先证不等式右边， ，令 ，即证 ，
令 ， ，
则 ，
故 在 上单调递减，
又 ，故 ，所以 ，
即 ， ，故 ，C正确；
再证不等式左边， ，即证 ，
令 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
故 在(1,+∞)上单调递减，
又 ，故 ，故 ，
即 ，所以 ，故 ，所以 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对数平均不等式为 ，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明 的方法是结合 ，换元
后将二元问题一元化，利用导函数进行证明
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ， 为单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量得到 ，先计算出 ，求出模长.
【详解】由题意得 ，故 ，
，
故 .
故答案为：
13. 若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，求出 、 ，再根据不等式的性质计算可得.
【详解】令 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
14. 设 ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，点 是 右支上一点，若
的内切圆的圆心为 ，半径为 ，且 ，使得 ，则 的离心率为
______．
【答案】2
【解析】
【分析】设 在第一象限，则点 也在第一象限，根据 得到 ，由两种方法
求解 的面积，得到方程，求出 ，结合 ，求出 ，
由两点间距离公式得到 ，求出 ，故 ，代入双曲线方程，求出 ，得
到离心率.
【详解】不妨设 在第一象限，则点 也在第一象限，
设 ， ，
因为 ，所以 ，
故 ，
，
又 ，故 ，解得 ，
由双曲线定义得 ，
故 ， ，
又
，
又 ，故 ，故 ，
又 ，故 ， ，故 ，
将 代入 中，得 ，
解得 ，所以 的离心率为 .
故答案为：2
【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范
围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或 转化为关于离心率的方程
(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）求 ；
（2）若角 的平分线交边 于点 ， ，求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得 和 ，再将 转化为 与 的关系，利
用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
【小问2详解】如图，由题意及第（1）问知， ，
且 ，
∴ ，
∴ ，化简得 ，
∵ ， ，∴由基本不等式得 ，∴ ，
当且仅当 时，等号成立，
∴ ，
∴ ，
故 的面积的最小值为 .
16. 已知函数 ，且 恒成立．
（1）求 的值；
（2）设 ，若 ， ，使得 ，
求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到 ，其中 ，根据
，求出 ，故 ，解得 ；
（2） ， ，使得 ，则只需 ，求出
，换元得到 ，分 ， 和 ，求出
，从而得到不等式，求出 的取值范围.
【小问1详解】
，其中 ，
由于 ， ，故 ，
所以 ，故 ，
，解得 ；
【小问2详解】
由（1）得，不妨取 ，故 ，
， ，使得 ，
则只需 ，其中 时， ，故 ，
则 ，
令 ，则 ，
则 ，
其中 ，
因为 ，所以 ， ，
若 ，此时 在 上单调递减，
故 ，故 ，
若 ，此时 ，令 ，
故 ，解得 ， 与 取交集得 ，
若 ，此时 在 上单调递增，
故 ，
令 ，解得 ， 与 取交集得 ，
综上， .
【点睛】关键点点睛：第二问， ， ，使得 ，转化为，再进行下一步的求解.
17. 已知函数 ．
（1）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值；
（2）若 ，函数 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析含参函数y=f(x)在区间上的单调性，结合函数最小值，即可求得参数值；
（2）求得 ，令 ，利用导数研究其隐零点，从而判断
的单调性，再结合隐零点满足的条件，即可求得函数的最小值.
【小问1详解】
因为 ， ，故可得 ， ，
①若 ， ，y=f(x)在 单调递减， 的最小值为 ，不满足 ；
②若 ，
令 >0，解得 ，故y=f(x)在 单调递增；
令 ，解得 ，故y=f(x)在 单调递减；
故y=f(x)的最小值为 ，即 ，解得 ，满足 ；③若 ， ，y=f(x)在 单调递增， 的最小值为 ，解得 ，
不满足 ；
综上所述， .
【小问2详解】
若 ， ， ，
定义域为 ， ，
令 ， ，
故 在 单调递增，又 ， ，
故存在 ，使得 ，也即 ，且 ，
且当 ， ， ， 在 单调递减；
当 ， ， >0， 在 单调递增；
故 的最小值为 ；
由上述求解可知， ，则 ，令 ，
则 ，故 在 单调递增；
，也即 ，又 ，故 ，即 ；又 .
故 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是进行二次求导，从而确定 的单调性；二是
熟练掌握隐零点问题的处理方法；三是能够根据 ，进行同构处理，进一步确定 满足的
具体条件；属综合困难题.
18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上，直线 与 交于不同于A
的两点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）若 ，求 面积的最大值；
（3）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，证明：以 为直径的圆过定点，并求
出定点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解，定点
【解析】
【分析】（1）根据题意结合离心率列式求 ，即可得椭圆方程；
（2）可知直线 的斜率存在，设直线 ： ，联立方程结合韦达定理可得 ，进而求面积，结合单调性求最值；
（3）可知直线 的斜率存在，设直线 ： ，联立方程结合韦达定理可得 ，假设过
定点，根据数量积运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可知： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
若 ，可知直线 的斜率存在，
设直线 ： ， ，
联立方程 ，消去y可得 ，
则 ，整理可得 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
由 ，可得 ，
则 ，整理可得 ，
则 ，
且 ，则 ，可得 ，
解得 ，且满足 ，
可知直线 ： 过定点 ，
则 面积
，
令 ，则 ，可得 ，
因为 在 内单调递增，则 ，
所以当 时， 面积取到最大值 .
【小问3详解】
若直线 的斜率不存在，设 ，
可得 ，可得 ，
这与 相矛盾，不合题意；
可知直线 的斜率存在，设直线 ： ， ，可得 ，
整理可得 ，
则 ，
且 ，则 ，可得 ，解得 ，
设以 为直径的圆过定点P(x ,y )，
0 0
则 ，
可得 ，
则 ，
整理可得 ，
则 ，
可得 ，
注意到上式对任意的 均成立，则 ，解得 ，所以以 为直径的圆过定点 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 在 上的单调性，并说明理由；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 ，在 的图象上有一点列 ，直线 的
斜率为 ，求证： ．
【答案】（1） 在 上单调递减，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用多次求导的方法来判断出 在 上的单调性.
（2）利用多次求导的方法，结合 恒成立，列不等式来求得 的取值范围.（3）根据（2）的结论，得到 ，求得 的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的
前 项和公式证得不等式成立.
【
小问1详解】
在 上单调递减，理由如下：
当 时， ，
， ，
所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递减.
【小问2详解】
当 时，f (x)=sinx+ax3−x>0恒成立①，
当 时， ②，
，设u(x)=cosx+3ax2−1(x>0)，
时 ，
，设 ，
当 时， ，
，
要使①恒成立，由于②，则需 恒成立，所以 恒成立，所以 ， .
此时 ，
在(0,+∞)上单调递增，u′(x)=−sinx+6ax>0，
u(x)=cosx+3ax2−1(x>0)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)=cosx+3ax2−1>0，
在(0,+∞)上单调递增，
使得f (x)=sinx+ax3−x>0恒成立.
综上所述， 的取值范围是 .
【小问3详解】
1
由（2）可知，当 ， 时，f (x)=sinx+ x3−x>0恒成立，
6
即 时， 恒成立，
下证： ，
时，
，
由上述分析可知， ，即 ，则 ，
所以=2i+1sin 1 ( 1− 1 ) >2i+1( 1 − 1 )( 1− 1 )
2i+1 22i+2 2i+1 6⋅23i+3 22i+2
( 1 )( 1 ) 7 1 1 1 7 1
= 1− 1− =1− × + × >1− × ，
6⋅22i+2 22i+2 6 22i+2 6 24i+4 6 22i+2
1 ( 1 )
1−
∑
n−1
k >n−1− 7( 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ) =n−1− 7 ⋅
16 4n−1
=n−1− 7 × (1 − 1 )
i 6 24 26 28 22n 6 1 18 4 4n
i=1 1−
4
，即得证.
【点睛】思路点睛：
用导数分析单调性：首先对函数进行多次求导，通过分析导数符号来判断函数在不同区间的单调性，这一
步为后续的不等式恒成立条件的推导奠定了基础.
结合不等式求参数范围：通过设定不等式恒成立，结合函数的单调性，逐步推导出参数 的取值范围.
利用等比数列和斜率关系进行证明：在小问3中，通过对等比数列的求和以及利用斜率条件，成功证明了
所需的不等式.
