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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年度北京市师达中学第一学期阶段练习
初三数学 2023.9
一、选择题（本题共16分，每小题2分）以下各题选项中，符合题意的选项只有一个．
1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表
示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，且
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，
其中 ， 为整数，且 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定 和 的值．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、B、C均能找到一条直线，使A、B、C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重
合，故A、B、C是轴对称图形，不符合题意；
D不能找到一条直线，使D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故D不是轴对称图形，符
合题意；
故选：D．
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3. 如图， ， ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， ，可求出 的度数，再根据角与角之间的关系
求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和 相比，多加了
．
4. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由 可得 ，则 ，根据不等式的性质求解即可．
【详解】解： 得 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变．
5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为（ ）
A. 4 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握其公式是解题的关键．
6. 十二边形的内角和为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用多边形的内角和公式 ，即可求解．
【详解】解： ，
十二边形的内角和为： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
7. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
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②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以
利用如图所示的图象表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可
判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利
用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该
图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
8. 下表记录了二次函数 中两个变量x与y的五组对应值，其中 ，根据表中信息，
当 时，直线 与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
x … 1 3 …
y … m 0 2 0 m …
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据表中数据得出对称轴 ，进而得到抛物线
与 轴的交点，利用交点式得到 ，从而得到二次函数表达式为 ，
根据当 时，直线 与该二次函数图像有两个公共点，可得 ．
【详解】解：由 、 可得抛物线对称轴 ，
又由 、 以及对称轴 可得 ，
抛物线与x轴的交点为 、 ，
∴抛物线解析式为 ，
与 对比可得 ，
解得 ，
二次函数表达式为 ，
当 时， ；
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当 时， ；
当 时，最大值 ，
∵当 时，直线 与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：C．
二、选择题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】分式有意义的条件为分母不为0，据此求解．
【详解】解：若代数式 有意义，则 ，
解得 ，
故实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不能为0．
10. 分解因式： =__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
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11. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以 化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则m的值为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．先
将 代入 中，求出k的值，即可求出函数 的表达式，再将 代入函数表达式
中，即可求出m的值．
【详解】解：将 代入 中，得
，
解得 ，
∴函数 的表达式为 ．
把 代入 中，得
，
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解得 ．
故答案 ：为4．
13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得
了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
【答案】460
【解析】
【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 （只），
故答案为：460．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．
14. 已知二次函数 的图象与 轴只有一个交点．则 ________．
【答案】 ##2或 ## 或2
【解析】
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知 两个相等的实数根，再根据一元二次方
程的根的判别式求解．
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴只有一个交点，
有两个相等的实数根，
，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用
数形结合思想．
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15. 如图，在 中， 平分 若 则 ____．
【答案】1
【解析】
【分析】作 于点F，由角平分线的性质推出 ，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作 于点F，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键．
16. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线 同侧， ，
， ，连接 ．设 ， ， ，给出下面三个结论：
① ，② ，③ ．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
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【答案】②③##③②
【解析】
【分析】①过点 D 作 于点 F，证明四边形 为矩形，得出 ，根据
中， 为斜边， 为直角边，得出 ，即可判断①错误；
②根据全等三角形的性质得出 ，根据勾股定理得出 ，根据
三角形三边关系得出 ，即可得出 ，判断②正确；
③证明 ，根据勾股定理得出 ，求出 ，
根据 ，得出 ，即可得出 ，判断③正确．
【详解】解：①过点D作 于点F，如图所示：
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵在 中， 为斜边， 为直角边，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②∵ ，
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∴ ，
根据勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
综上分析可知，正确的有②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了勾股定理三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，解题
的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题5分，第23
题6分，第24-25题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算
步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
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【分析】先计算二次根式、负指数幂和绝对值，再进行加减计算即可．
【详解】
【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的化简、负指数幂即绝对值的计算是解题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先将分式进行化简，再将 变形整体代入化简好的分式计算即可．
【详解】解：原式 ，
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由 可得 ，
将 代入原式可得，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
20. 二次函数 的图象经过点 ．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当 时，①求此时二次函数的表达式；②把 化为 的形式，
并写出顶点坐标；
【答案】（1）
（2）① ；② ；
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称轴为 即可求解．
（2）①将点 带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得 ，进而可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：
二次函数 的对称轴为： ．
【小问2详解】
①将点 带入二次函数得： ，
解得： ，
二次函数的表达式为： ；
② 变形得： ，
顶点坐标为： ．
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【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数
的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
21. 如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 且 ，已知 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先证明四边形 是平行四边形，然后结合 即可证明出四边形 是矩
形；
（2）首先根据勾股定理得到 ，进而求出 ，然后利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
在
证明： 中
， ，
，
，
即 ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
∵四边形 是矩形
∴
∴
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∵ ，
∴ ，即
解得
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解
题关键．
22. 列方程解应用题：如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2
个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的 的面积为96平方米，求 、 边各为
多少米？
【答案】 、 边分别为8米、12米
【解析】
【分析】设 米，则 米，根据面积为96平方米列一元二次方程，再对求出的解根据
实际情况进行取舍．
【详解】解：设 米，则 米，
由题意得 ，
解得 ， ，
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当 时， （不合题意，舍去），
当 时， ，
综上可知， 、 边分别为8米、12米．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．
23. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，与过点 且
平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于4，直
接写出n的值．
【答案】（1） ， ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C
的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
【小问1详解】
解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点C的纵坐标为4，
当 时，
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解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，
一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
24. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
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（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：
在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的
身高的方差为 ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学
生的身高的方差小于 ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均
数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
【答案】（1） ， ；
（2）甲组 （3）170， 172
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于 ，结合其余学生的身高即可做出选择．
【小问1详解】
解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，
168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数 ，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数 ，
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∴ ， ；
【小问2详解】
解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为
，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
【小问3详解】
解：168，168，172的平均数为
∵所选 的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据
越稳定是解题的关键．
25. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点 处腾空，在空中沿抛物线飞行，
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直至落在着陆坡 上的点 处．地面 为 ，腾空点 到地面 的距离 为 ，坡高 为
，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知
这段抛物线经过点 ， ．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，直接写出运动员到坡面 竖直方向上的最大距离；
（3）落点 与坡顶 之间的距离为________ ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）作 轴交直线 于点N，设 ，列出 关于a的二次函数关系式，
求出最大值即可；
（3）设抛物线与直线 交于点P，过点P作 轴于点D，将抛物线与直线 的解析式联立，求
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出点P的坐标，再用勾股定理解 即可．
【小问1详解】
解： ，
，
设这段抛物线表示的二次函数表达式为 ，
将 ， ， 代入，得：
，
解得 ，
这段抛物线表示的二次函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：如图，设M表示运动员的位置，作 轴交直线 于点N，则 为运动员到坡面 竖直方
向的距离．
， ，
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， ，
设直线 的函数解析式为 ，将 ， 代入，得：
，
解得 ，
直线 的函数解析式为 ，
设 ，则 ，
，
当 时， 取最大值，最大值为30.25，
运动员到坡面 竖直方向上的最大距离为 ；
【小问3详解】
解：如图，设抛物线与直线 交于点P，过点P作 轴于点D，
将 与 联立，得：
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，
解得 ， （舍去），
当 时， ，
，
， ，
，
，
落点 与坡顶 之间的距离为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、勾股定
理等知识点，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，其中
，设抛物线的对称轴为 ．
（1）当 时，如果 ，直接写出 ， 的值；
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（2）当 ， 时，总有 ，求t的取值范围．
【答案】26. ， ；
27.
【解析】
【分析】（1）根据题意，当 时， ，由抛物线的对称轴为 ，得到 关于对称轴对称的
点的坐标为 ，即可写出答案；
（2）首先由 ，得到图象开口向下，满足 ， ，可得到 ，求出点 关于对称
轴对称的点为 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：根据题意，当 时， ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ 关于对称轴对称的点的坐标为 ，
∵ ，且 ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：根据题意可知，当 时， ，
∵ ,
∴图象开口向下，满足 ， ，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为 ,
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∴
∴点 关于对称轴对称的点为 ，
∵ ，图象开口向下， , ，
∴ 解得 ，
∴ ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系 中，如果点 到原点 的距离为 ，点 到点 的距离是 的 倍（ 为正整
数），那么称点 为点 的 倍关联点．
（1）当点 的坐标为 时，
①如果点 的2倍关联点 在 轴上，那么点 的坐标是________；
如果点 的2倍关联点 在 轴上，那么点 的坐标是________．
②如果点 是点 的 倍关联点，且 ， ，则满足条件的点 有________个；
（2）如果点 的坐标为 ， ， ，若在线段 上存在 的2倍关联点，直接写
出 的取值范围．
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【答案】（1）① 或 ； 或 ；②2
（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据题干提供的信息进行解答即可；
②根据点 是点 的 倍关联点，且 ，得出 ，根据 为正整数，得
出 ，根据 ，得出 或 符合题意，即可得出答案；
（2）分五种情况进行讨论，当 时，当 时，当 时，当 时，当 时，分别
画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：①∵点 的坐标为
∴ 到原点距离为1，
∵点 的2倍关联点 在 轴上，
∴点 的坐标为 或 ；
故答案为： 或 ；
当点 的2倍关联点 在 轴上时，设点Q的坐标为 ，则：
，
解得： ，
∴此时点Q的坐标为 或 ．
的
②∵点 是点 倍关联点，且 ，
∴ ，
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，
∵ 为正整数，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
∴满足条件的点 有2个．
故答案为：2．
【小问2详解】
解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
当 时，如图所示：
∵此时线段 上点M到点 的距离最大，点N到点 的距离最小，
∴在线段 上要想存在 的2倍关联点，则 ，
即 ，
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解得： ；
当 时，如图所示：
此时线段 上，点M到点 的距离最大，
∵此时 ，
∴此时 上一定不存在 的2倍关联点；
当 时，如图所示：
上点M、N到点 的距离相等，且最大为1，
∴此时 上一定不存在 的2倍关联点；
当 时，如图所示：
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此时线段 上，点N到点 的距离最大，
∵此时 ，
∴此时 上一定不存在 的2倍关联点；
当 时，如图所示：
∵此时线段 上点N到点 的距离最大，点M到点 的距离最小，
∴在线段 上要想存在 的2倍关联点，则 ，
即 ，
解得： ；
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综上分析可知，当 或 时，在线段 上存在 的2倍关联
点．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，新定义运算，解题的关键是数形结合，并注
意进行分类讨论．
28. 已知正方形 和一动点E，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
．
（1）如图1，当点E在正方形 内部时，
①依题意补全图1；
②求证： ；
（2）如图2，当点E在正方形 外部时，连接 ，取 中点M，连接 ， ，用等式表示
线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②证明 ，根据全等三角形对应边相等得出结果即可；
（2）连接 、 ，延长 ，使 ，连接 ，延长 交 于点 G，证明
，得出 ， ，证明 ，得出
， ，证明 ，得出 ，即可证明结论．
【小问1详解】
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解：①依题意补全图1，如图所示：
②∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
根据旋转可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ；理由如下：
连接 、 ，延长 ，使 ，连接 ，延长 交 于点G，如图所示：
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
根据旋转可知， ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，
解题的 关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
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