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2023届高考数学三轮冲刺卷：两角和与差的余弦
一、选择题（共20小题；）
1. 化简式子 cos72∘cos12∘+sin72∘sin12∘ 的值是 ()
1 √3 √3
A. B. C. D. √3
2 2 3
2cos10∘−sin20∘
2. 的值是 ()
sin70∘
1 √3
A. B. C. √3 D. √2
2 2
4 ( π)
3. 若 cosα=− ，α 是第二象限的角，则 cos α+ 等于 ()
5 4
√2 √2 7√2 7√2
A. − B. C. − D.
10 2 10 10
4. 若 sin2xsin3x=cos2xcos3x，则 x 的一个值为 ()
A. 18∘ B. 30∘ C. 36∘ D. 45∘
3 ( π) (7π )
5. 已知 sinα= ，α∈ 0, ，则 cos +α 等于 ()
5 2 4
4√2 7√2 4√2 7√2
A. B. C. − D. −
5 10 5 10
(π ) √3 ( π)
6. 已知 sin −α = ，α∈ 0, ，则 cosα 等于 ()
3 3 2
3√2+√3 3+√6 −3+√6 2√2
A. B. C. D.
6 6 6 3
3 ( π) 5 ( π) ( π)
7. 若 cos(α+β)= ，sin β− = ，α,β∈ 0, ，则 cos α+ = ()
5 4 13 2 4
33 33 56 16
A. − B. C. D. −
65 65 65 65
3 (π ) 3 ( 3 )
8. 已知 π<α<2π，cot +α = ，则 cos α− π 的值是 ()
2 2 4 4
√2 √2 7 7
A. B. − C. √2 D. − √2
10 10 10 10
1 47
9. 若 cosα= ，cos(α+β)=− ，且 α，β 都是锐角，则 cosβ 的值为 ()
17 51
1 1 403 403
A. − B. C. D. −
7 3 867 867( π)
10. 已知 sinα，cosα 是方程 5x2−√5x−2=0 的两个实根，且 α∈(0,π)，则 cos α+ =
4
()
√10 √10 3√10 3√10
A. B. − C. D. −
10 10 10 10
3 5 ( π) ( π )
11. 已知 cos(α−β)= ，sinβ=− ，且 α∈ 0, ，β∈ − ,0 ，则 cosα= ()
5 13 2 2
33 56 33 56
A. B. C. − D. −
65 65 65 65
√2 √2
12. cos375∘+ sin375∘ 的值为 ()
2 2
√3 1 √3 1
A. B. C. − D. −
2 2 2 2
√5 √10
13. 已知 sinα= ，sinβ= ，α 和 β 都是锐角，则 α+β= ()
5 10
π π π 3π 3π
A. B. C. 或 D.
4 3 4 4 4
( π) 5 π
14. 已知 cos θ+ = ，0<θ< ，则 cosθ 等于 ()
6 13 3
5√3+12 12−5√3 5+12√3 6+5√3
A. B. C. D.
26 13 26 13
15. 已知 sinαsinβ=1，则 cos(α−β) 的值是 ()
A. 1 B. −1 C. 0 D. ±1
(3 4)
16. 在直角坐标系中，P 点的坐标为 , ，Q 是第三象限内一点，∣OQ∣=1 且
5 5
3π
∠POQ= ，则 Q 点的横坐标为 ()
4
7√2 3√2 7√2 8√2
A. − B. − C. − D. −
10 5 12 13
√5 √10 [π ] [ 3π]
17. 若 sin2α= ，sin(β−α)= ，且 α∈ ,π ，β∈ π, ，则 α+β 的值是 ()
5 10 4 2
7π 9π 5π 7π 5π 9π
A. B. C. 或 D. 或
4 4 4 4 4 4
1 √3
18. 已知 cosα+cosβ= ，sinα+sinβ= ，则 cos(α−β)= ()
2 2
1 √3 1
A. − B. − C. D. 1
2 2 2( π)
19. 已知锐角 α 满足 cos α− =cos2α，则 tan2α= ()
4
√3 √3
A. √3 B. ±√3 C. D. ±
3 3
20. 已知 A,B 均为钝角，sinB= √10 ，且 sin2 A +cos ( A+ π) = 5−√15 ，则 A+B= ()
10 2 3 10
3π 5π 7π 7π
A. B. C. D.
4 4 4 6
二、填空题（共5小题；）
3 5
21. 若锐角 α，β 满足 cosα= ，cos(α+β)=− ，则 cosβ= ．
5 13
3 6
22. 已知 α，β 为锐角，sinα= ，cosβ= ，那么 cos(α+β)= ．
5 7
1 ( π)
23. 若 α 是第二象限角，cosα=− ，则 cos α− = ．
3 6
(π 3π) ( π) (π ) 3 (5π ) 12
24. 已 知 α∈ , ， β∈ 0, ， 且 cos −α = ， sin +β =− ， 则
4 4 4 4 5 4 13
cos(α+β)= ．
(−1+3i)(1−i) ω
25. 已知复数 z= −4，ω=z+ai(a∈R)，若 ∣ ∣≤2，则 a 的范围为
i z
．
三、解答题（共5小题；）
26. 证明下列恒等式：
(3π )
（1）cos +α =sinα；
2
(3π )
（2）sin −α =−cosα．
2
√3 1
27. 已知 sinα−sinβ=1− ，cosα−cosβ= ，求 cos(α−β) 的值．
2 2
√5 √10 ( π)
28. 已知 cosα= ，sin(α−β)= ，且 α,β∈ 0, ．求：
5 10 2
（1）cos(2α−β) 的值；
（2）β 的值．
3 5
29. 在 △ABC 中，已知 sinA= ，cosB= ，求 sinC 和 cosC 的值．
5 13π 5
30. 已知 00 且 cosα<0，
所以 cosα−sinα<0，
所以
cos ( α+ π
4
)
cosαcos
π
−sinαsin
π
¿=¿
√2
(cosα−sinα)¿=¿−
√2
√(cosα−sinα) 2 ¿=¿−
√2
√(cosα+sinα) 2−4sinα⋅cosα¿=¿−
√2√ (√5) 2
+4×
2
¿=¿−
√2
×
3√5
¿=¿−
3√10
.¿
4 4 2 2 2 2 5 5 2 5 10
¿
π
{ 0<α< ,
2
11. B 【解析】因为
π
− <β<0,
2
所以 0<α−β<π．3
又 cos(α−β)= ，
5
4
所以
sin(α−β)=√1−cos2(α−β)=
．
5
π 5
因为 − <β<0，sinβ=− ，
2 13
12
所以 cosβ= ，
13
所以
cosα =cos[(α−β)+β]
56
¿ = .
65
故选B．
12. A 【解析】
√2 √2
cos375∘+ sin375∘√2 √2 √3
2 2
cos15∘+ sin15∘¿=¿cos(45∘−15∘)¿=¿cos30∘¿=¿ ,¿
2 2 2
¿
故选A．
√5 √10
13. A 【解析】因为 α 和 β 都是锐角，且 sinα= ，sinβ= ，
5 10
2√5 3√10
所以 cosα= ，cosβ= ，
5 10
所以
cos(α+β) =cosαcosβ−sinαsinβ
√2
¿ = .
2
又因为 α+β∈(0,π)，
π
所以 α+β= ．
4
( π)
14. A 【解析】因为 θ∈ 0, ，
3
π (π π)
所以 θ+ ∈ , ．
6 6 2
( π) 5
又因为 cos θ+ = ，
6 13
( π) 12
所以 sin θ+ = ．
6 13
[( π) π] 5√3+12
所以 cosθ=cos θ+ − = ．
6 6 26
15. A3 4
16. A 【解析】设 ∠xOP=α，则 cosα= ，sinα= ．
5 5
( 3π) 3 ( √2) 4 √2 7√2
x =cos α+ = × − − × =− ．
Q 4 5 2 5 2 10
[π ]
17. A 【解析】因为 α∈ ,π ，
4
[π ]
所以 2α∈ ,2π ，
2
√5
因为 sin2α= ，
5
[π ]
所以 2α∈ ,π ．
2
[π π] 2√5
所以 α∈ , 且 cos2α=− ．
4 2 5
√10 [ 3π]
又因为 sin(β−α)= ，β∈ π, ，
10 2
[π 5π] 3√10
所以 β−α∈ , ，cos(β−α)=− ，
2 4 10
所以
cos(α+β)= cos[(β−α)+2α]
= cos(β−α)cos2α−sin(β−α)sin2α
( 3√10) ( 2√5) √10 √5
= − × − − ×
10 5 10 5
√2
= ,
2
[5π ]
又因为 α+β∈ ,2π ，
4
7π
所以 α+β= ．
4
1 √3
18. A 【解析】由 cosα+cosβ= ，sinα+sinβ= ，
2 2
两边平方相加得，(cosα+cosβ) 2+(sinα+sinβ) 2=
(1) 2
+
(√3) 2
=1，
2 2
所以 2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1，
即 2(cosαcosβ+sinαsinβ)=−1，
1
所以 cos(α−β)=− ．
2
故选A．
( π)
19. C 【解析】因为锐角 α 满足 cos α− =cos2α，
4√2 √2
所以 cosα+ sinα=cos2α−sin2α，
2 2
√2 1 1
所以 cosα−sinα= ，平方可得 1−sin2α= ，sin2α= ．
2 2 2
π
因为 cosα>sinα，所以 0<α< ，所以 2α 还是锐角，
4
√3 sin2α √3
故 cos2α=√1−sin22α= ，则 tan2α= = ．
2 cos2α 3
20. C
【解析】因为 sin2 A +cos ( A+ π) = 5−√15 ，
2 3 10
1−cosA 1 √3 5−√15
所以 + cosA− sin A= ．
2 2 2 10
1 √3 5−√15 √5
即 − sin A= ，解得 sin A= .
2 2 10 5
因为 A 为钝角，
所 cosA=−√1−sin2A=−
√
1−
(√5) 2
=−
2√5
．
5 5
√10
由 sinB= ，且 B 为钝角，
10
可得 cosB=−√1−sin2B=−
√
1−
(√10) 2
=−
3√10
．
10 10
所以
cos(A+B) =cosAcosB−sin AsinB
√2
¿ = .
2
(π )
又 A，B 都为钝角，即 A，B∈ ,π ，
2
7π
所以 A+B∈(π,2π)，故 A+B= ，
4
故选C．
33
21.
65
24−3√13
22.
35
2√2−√3
23.
633
24. −
65
(π 3π)
【解析】因为 α∈ , ，
4 4
π ( π )
所以 −α∈ − ,0 ，
4 2
(π ) 3
又 cos −α = ，
4 5
(π ) 4
所以 sin −α =− ，
4 5
(5π ) 12
因为 sin +β =− ，
4 13
(π ) 12
所以 sin +β = ，
4 13
( π) π (π π)
又因为 β∈ 0, ， +β∈ , ，
4 4 4 2
(π ) 5
所以 cos +β = ，
4 13
所以
cos(α+β) [(π ) (π )] (π ) (π ) (π ) (π ) 5 3 12 4 33
cos +β − −α ¿=¿cos +β cos −α +sin +β sin −α ¿=¿ × − × ¿=¿− .¿
¿ 4 4 4 4 4 4 13 5 13 5 65
25. [−2,6]
(3π )
cos +α [π ]
26. （1） 2 cos +(π+α) ¿=¿−sin(π+α)¿=¿−(−sinα)¿=¿sinα.¿
2
¿
(3π )
sin −α [π ]
（2） 2 sin +(π−α) ¿=¿cos(π−α)¿=¿−cosα.¿
2
¿
√3
27. 由 sinα−sinβ=1− ，①
2
1
cosα−cosβ= ，②
2
① ❑ 2 + ② ❑ 2 得 2−2cos(α−β)=2−√3．
√3
所以 cos(α−β)= ．
2
( π)
28. （1） 因为 α,β∈ 0, ，
2( π π)
所以 α−β∈ − , ，
2 2
√5 √10
又因为 cosα= ，sin(α−β)= >0，
5 10
2√5 π
所以 sinα=√1−cos2α= ，0<α−β< ，
5 2
3√10
所以
cos(α−β)=√1−sin2(α−β)=
，
10
所以
cos(2α−β) =cos[α+(α−β)]
√5 3√10 2√5 √10
¿ = × − ×
5 10 5 10
¿ ¿
cosβ =cos[α−(α−β)]
√5 3√10 2√5 √10
（2） ¿ = × + ×
5 10 5 10
¿ ¿
( π)
因为 β∈ 0, ，
2
π
所以 β= ．
4
63 16
29. sinC= ，cosC= ．
65 65
5
30. （1） 依题意，sin(x+ y)=sinxcos y+cosxsin y= ，
13
sinx sin y
tanx+tan y = +
cosx cos y
5
13
¿ = ,
cosxcos y
π π
因为 00，cos y<0，
5
所以 13 ，即为负．
tanx+tan y= <0
cosxcos y
x
2tan
x 1 2 4
（2） 由 tan = ，得 tanx= = ，
2 2 x 3
1−tan2
2sin2x+cos2x=1,
{
sinx 4
= ,
则 cosx 3
π
0
