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八年级数学摸底考试
一、选择题
1. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为
A. B. －2 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴把点（1，2）代入已知函数解析式，
得k=2．
故选：D．
2. 下列各曲线中不能表示 是 的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义．解题的关键是注意：函数中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其
对应．根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不
是，则不是函数．由此逐项判断即可．
【详解】解：A、C、D选项中，对于一定范围内自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以y
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学科网（北京）股份有限公司是x的函数；
B选项中，对于一定范围内x取值时，y可能有2个值与之相对应，所以y不是x的函数．
故选：B．
3. 将直线 向下平移 个单位后所得直线的解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】只向下平移，让比例系数不变，常数项减去平移的单位即可．
【详解】直线 向下平移 个单位后所得直线的解析式为
故选:D
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．本题属于
基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
4. 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集
贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A. 在 、 两边高线的交点处 B. 在 、 两内角平分线的交点处
C. 在 、 两边中线的交点处 D. 在 、 两边垂直平分线的交点处
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等即可选择．
【详解】根据三角形的角平分线性质，集贸市场应建在 、 两内角平分线的交点处．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的角平分线性质，掌握三角形三个内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三
条边的距离相等是解答本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图， ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关
键．根据全等三角形的对应角相等可知 ，给等式的两边同时减去 ，可得到
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
6. 一次函数 （ 为常数且 ），若 随 增大而增大，则它的图象经（ ）．
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据 随 增大而增大，确定 ，进而确定与 轴交于 轴正半轴，即可求解，本题考查了
一次函数图像与系数 的关系，解题的关键是：熟练掌握一次函数图像的性质．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解： 一次函数 （ 为常数且 ），若 随 增大而增大，
，
一次函数 经过第一、三象限，且与 轴交于 轴正半轴，图像还经过第三象限，
故选： ．
7. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度
为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距
离 （千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分三段讨论：
①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；
②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；
③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；
结合图象可得C选项符合题意．故选C．
8. 如图，在等腰 中， ，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上
运动，且保持 ．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
① 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4； ④四边形CDFE的面积保持不变；
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学科网（北京）股份有限公司⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；
③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；
④根据△ADF≌△CEF，得到S =S ；
四边形CEFD △AFC
⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】①连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，
∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；
②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线，
∴CD=DF= AC，FE=EC= BC，
∴CD=DF=FE=EC，
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学科网（北京）股份有限公司四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形，②错误；
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF= BC=4．
∴DE= ，③错误；
④∵△ADF≌△CEF，
∴S =S ，
△CEF △ADF
∴S =S ，
四边形CEFD △AFC
∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，
DF的最小值是4，则DE的最小值为 ，
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S =S -S =S -S =16-8=8，⑤正确；
△CEF 四边形CEFD △DEF △AFC △DEF
综上，正确的是：①④⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判
定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．
二、填空题
9. 下列函数中：① ；② ；③ ； ④ ， 随 的增大而减小的函
数是_________．（填写序号）
【答案】③
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数
的性质：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，可找出答
案即可．
【详解】解：∵①②③④都是一次函数，
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学科网（北京）股份有限公司∴当y随x的增大而减小时，即 ，
① ，② ，③ ，④ ，
∴只有③满足，
故答案为：③．
10. 已知一次函数 ，当函数值 时，自变量 的取值范围是_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数 ，当
时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小．先根据 得出y随x的增大而增大，
然后求出 的值，得出答案即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
∵当 时，y随x的增大而增大；
∴当函数值 时，自变量 的取值范围是 ．
故答案为： ．
11. 根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为____________.
x －2 0 1
y 3 p 0
【答案】1
【解析】
【详解】一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
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学科网（北京）股份有限公司∵x=−2时y=3；x=1时y=0，∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=−x+1，
∴当x=0时，y=1，即p=1.
故答案为1.
12. 如图，在 中， , ， 的垂直平分线与 交于点 ，与 交于点
，连接 .若 ，则 的长为____________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD=BD，再根据等边对等角可得
∠A=∠ABD，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDC=30°，再根据直角
三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=12cm，
∴∠A=∠ABD=15°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°，
∴在Rt BCD中，BC= BD= ×12=6．
△
故答案为6．
【点睛】本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不
相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
13. 已知一次函数 的图象不经过第二象限，则 的范围___________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据一次函数经过的象限得到 ，求解即可．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第二象限，
∴图象经过第一，三，四象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数的性质： 时图象经过一，二，三象限； 时图象经过
第一，三，四象限； 时图象经过一，二，四象限； 时经过二，三，四象限，熟记
一次函数的性质是解题的关键．
14. 已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
【答案】＜.
【解析】
【分析】根据A（1，-1），B（-1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【详解】∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，
根据-1＜1，3＞-1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
15. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图
象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y 表示乌龟所行的路程，y 表示兔子
1 2
所行的路程）．有下列说法：
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学科网（北京）股份有限公司①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10分钟；
④兔子在途中750米处追上乌龟．
其中正确的说法是_____．（把你认为正确说法的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【详解】根据图象可知：
龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；
乌龟在30～40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；
y=20x﹣200（40≤x≤60），y=100x﹣4000（40≤x≤50），当y=y 时，兔子追上乌龟，
1 2 1 2
此时20x﹣200=100x﹣4000，解得：x=47.5，
y=y=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确，
1 2
综上可得①③④正确.
16. 如图，在 中， ， 为 边上一点，且 ，若 ，
，则 的度数为___________ ．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了三角形外角和，等边对等角；根据 得出 ，根据三角形的外角和可
得 ，设 ，进而建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∵ ， ，即
，
设 ，则 ， ，
∴
解得：
故答案为： ．
三、解答题
17. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S =2，求点C的坐标．
BOC
△
【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2；
（2）点C的坐标是（2，2）．
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成
方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S =2求出C的横坐标，再代入直线即可求出
BOC
△
y的值，从而得到其坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴ ，
解得 ．
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S =2，
BOC
△
∴ •2•x=2，
解得x=2．
∴y=2×2﹣2=2．
∴点C的坐标是（2，2）．
18. 如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的
一组全等三角形，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【详解】分析：
由已知条件易得：AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由此可得∠BCD=∠ACE，从而可由“SAS”
证得△BDC≌△AEC.
详解：
BDC≌△AEC．理由如下：
△
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学科网（北京）股份有限公司∵△ABC、 EDC均为等边三角形，
∴BC=AC，△DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE．，
∴△BDC≌△AEC（SAS）.
点睛：这是一道涉及“等边三角形的性质和全等三角形的判定”的几何题，由已知条件得到
∠ACB=∠DCE=60°，进而得到∠BCD=∠ACE是解答本题的关键.
19. 如图，把矩形纸片 沿 折叠，使点 落在边 上的点 处，点A落在点 处，求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
根据折叠的性质以及平行线的性质可得 ，根据等边对等角可得 ，再根据折叠
的性质即可证明 ．
【详解】证明，在矩形 中， ，
，
由折叠可得： ， ，
，
，
∴ ．
20. 如图，在 中， 的平分线 与 的垂直平分线 交于点 ，过 作 于
点 ， ，交 的延长线于点 ．求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】连接 ， ．由角平分线的性质可知 ，由垂直平分线的性质可知 ，利用
证明 ，即可证得 ．
【详解】证明：如图，连接 ， ．
平分 ， ， ，
．
垂直平分 ，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性
质及定理是解决问题的关键．
21. （1）如图1，A、B是直线 同旁的两个定点． 请你在直线 上确定一点 ，使 的值最小．
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图2， ， 是 内一点， ． 请你在 上找一点 ，在 上找一点
，使得 的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．
【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；10
【解析】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的判定和性质等，根据题意能灵活运用知识点是解
题的关键．
（1）根据两点之间线段最短的原理、对称的性质画图即可得解；
（2）根据两点之间线段最短的原理、对称的性质画图，再利用等边三角形的判定和性质，计算即可得解．
【详解】解：（1）过点A作 ，并在 上截取 ，连接 交 于点 ，连接 ，点
即为所求，如图：
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
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学科网（北京）股份有限公司∴此时 最小，即 最小．
（2）作出点 关于 、 的对称点 、 ，连接 、 ，连接 交 于点Q、R，此
时 的周长最小，如图：
根据对称性可得出： ， ， ， ，
，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长最小值为 ．
故答案为： ．
22. 如图，直线 与 轴交于点A，与直线 交于点B，且直线 与 轴交
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学科网（北京）股份有限公司于点C，求 的面积．
【答案】 的面积为4
【解析】
【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方
程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据
的面积 的面积 的面积求出答案．
【详解】解：令 中 ，得 ，
解得： ，
∴ ，
令 中 ，得 ，
∴ ，
解方程组 ，得： ，
∴ ，
过点B作 轴，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 中 ，得 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，,
∴
．
23. 甲乙两人同时登山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图像如图所示，
根据图像所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山的速度是每分钟 米，乙在A地提速时距地面的高度b为 米．
（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的
高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？
【答案】（1）10，30；
（2） ＝ ；
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学科网（北京）股份有限公司（3）登山6.5分钟时乙追上甲．此时乙距A地高度为165-30=135（米）
【解析】
【分析】（1）甲的速度=（300-100）÷20=10，根据图象知道一分的时间，走了15米，然后即可求出A地
提速时距地面的高度；
（2）乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，所以乙的速度是30米/分．那么求出点B的坐标，加上点
A的坐标代入一次函数解析式即可求出乙的函数解析式，把C、D坐标代入一次函数解析式可求出甲的函
数解析式；
（3）由（2）AB、CD的解析式建立二元一次方程组，求出方程组的解就求出了以追上甲的时间．然后计
算距A地的高度．
【详解】解：（1）甲的速度为：（300-100）÷20=10米/分，
根据图中信息知道乙一分的时间，走了15米，
那么2分时，将走30米，
∴b=30，
故答案为10，30．
（2）由图知：
设CD的解析式为：y=kx+b，
1 1
∵C（0，100），D（20，300）
解得：
∴线段CD的解析式：y =10x+100（0≤x≤20）；
甲
当0≤x≤2时，y =15x；
乙
当2≤x≤11时，设直线AB的解析式为：y=kx+b
2 2
∵A（2，30），B（11，300），
解得：
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学科网（北京）股份有限公司∴y=30x-30，
∴折线OAB 解析式为： ＝
的
（3）由
解得：
∴登山6.5分钟时乙追上甲．此时乙距A地高度为165-30=135（米）
【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题中路程=速度×时间的关系变化的运用，待定系
数法求一次函数的解析式的运用，图象的交点坐标的求法．在解答中注意线段的解析式要确定自变量的取
值范围．
24. 在直角坐标系中，点 ，点 是直线 在第一象限 一点．
的
（1）设 的面积为S，用含 的解析式表示S，写出自变量取值范围；
（2）在直线 求一点 ，使 是以 为底的等腰三角形；
（3）若第（2）问变为使 是等腰三角形，这样的点有几个？
【答案】（1）
（2）
（3）这样的点有5个
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函
数的性质．
（1）根据三角形面积公式求出S与x 的函数解析式即可；
（2）根据 是以 为底的等腰三角形时，点Q在 垂直平分线上，得出点Q的横坐标为2，求出
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学科网（北京）股份有限公司结果即可；
（3）通过画图得出这样点的个数即可．
【小问1详解】
解：如图：
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 与x轴的交点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：作 的垂直平分线，交直线 于点Q，连接 、 ，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司根据垂直平分线的性质可知， ，
∴ 是以 为底的等腰三角形，
此时点Q的横坐标为： ，
把 代入 得： ，
∴点Q的坐标为 ．
【小问3详解】
解：分别以点A，O为圆心， 为半径画圆，作出 的垂直平分线，如图所示：
根据图可知，两个圆分别与直线 有2个交点， 的垂直平分线与直线 有1个
交点，
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学科网（北京）股份有限公司∴这样的点一共有5个．
25. 如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D
＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)求证：AF＋EF＝DE.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转
后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中
的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（2）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案；
（3）利用旋转的性质以及全等三角形的判定得出Rt△BCF≌Rt△BEF，进而得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，连接BF，
∵BC=BE，
在
Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图②所示：
延长DE交AC与点F，连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF+EF=AC=DE；
（3）如图③所示：
连接BF，
在Rt△BCF和Rt△BEF中
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF=CF，
∴AF-FC=AC=DE，
∴AF-EF=DE．
考点：全等三角形的判定与性质．
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学科网（北京）股份有限公司
