专题强化练(十七) 电磁感应中的电路及图像问题
(40分钟 50分)
一、选择题
1.(6分)一直径为d、电阻为r的均匀光滑金属圆环水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中,磁
r
场的磁感应强度大小为B,如图所示。一根长为d、电阻为 的金属棒ab始终在圆环上以速度
2
v(方向与棒垂直)匀速平动,与圆环接触良好。当 ab棒运动到圆环的直径位置时,ab棒中的电
流为 ( )
2Bdv 4Bdv
A. B.
3r 3r
Bdv 2Bdv
C. D.
r r
2.(6分)(2023·鞍山模拟)如图所示,有一个等腰直角三角形的匀强磁场区域,其直角边长为L,磁
场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,一边长为L,总电阻为R的正方形导线框abcd,从图
示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的方向为感应电
流的正方向,则图中表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图像,正确的是 ( )3.(6分)在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电
流的正方向以及磁感应强度的正方向如图甲所示,当磁场的磁感应强度B随时间t按图乙变化
时,下列四幅图中可以正确表示线圈中感应电动势E变化的是 ( )
4.(6分)(多选)(2024·常德模拟)半径分别为r和2r的同心半圆导轨MN、PQ固定在同一水平面
内,一长为r、电阻为2R、质量为m且质量分布均匀的导体棒 AB置于半圆导轨上,BA的延长线通过导轨的圆心O,装置的俯视图如图所示。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直
向下的匀强磁场中,在N、Q之间接有一阻值为 R的电阻,导体棒AB在水平外力作用下,以角
速度ω绕O点顺时针匀速转动,在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨间
的动摩擦因数为μ,导轨电阻不计,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
1
A.导体棒AB两端的电压为 Br2ω
2
Br2ω
B.电阻R中的电流方向为从Q到N,大小为
R
3B2r4ω2 3
C.外力的功率大小为 + μmgrω
4R 2
D.若导体棒不动,要产生同方向的感应电流,可使竖直向下的磁感应强度增加,且变化得越来越
慢
5.(6分)(2024·威海模拟)如图所示,一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框 abcd,在水平拉力作用
下,以恒定的速度沿x轴运动,磁场方向垂直纸面向里。从线框进入磁场开始计时,直至完全进
入磁场的过程中,设bc边两端电压为U,线框受到的安培力为F,线框的热功率为P,通过ab边的
电荷量为q。下列关于U、F、P、q随时间t变化的关系图像正确的是( )6.(6分)(多选)如图甲所示,闭合矩形导线框abcd固定在匀强磁场中,磁场的方向与导线框所在
平面垂直,磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。规定垂直纸面向里为磁场的正方向,
abcda方向为导线框中感应电流的正方向,水平向右为安培力的正方向,关于导线框中的电流i
与ad边所受的安培力F随时间t变化的图像,下列选项正确的是( )
二、计算题
7.(14分)(2023·福州模拟)如图(a)所示,两根不计电阻、间距为L的足够长的平行光滑金属导轨,
竖直固定在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向里,磁感应强度大小为B。导轨上端串联
非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示,当流过元件Z的电流大于或等于I 时,电压稳定为U 。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动,运动中金属棒始
0 m
终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响,重力加速度
mg mgR
大小为 g。(为了方便计算,取 I = ,U = 。以下计算结果只能用 m、g、B、L、R 表
0 m
4BL 2BL
示。)
(1)闭合开关S,由静止释放金属棒,求金属棒下落的最大速度v ;
1
(2)断开开关S,由静止释放金属棒,求金属棒下落的最大速度v ;
2
(3)先闭合开关S,由静止释放金属棒,金属棒达到最大速度后,再断开开关S。忽略回路中电流
突变的时间,求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。【加固训练】
(2023·浙江1月选考)如图1所示,刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆与长为
2l的两轻质横杆组成,且L 2l。线框通有恒定电流I ,可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心
0
≫
O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系,在y轴上距离O为a处,固定放置一半径远小于a,面积
为S、电阻为R的小圆环,其平面垂直于y轴。在外力作用下,通电线框绕转轴以角速度ω匀速
转动,当线框平面与xOz平面重合时为计时零点,圆环处的磁感应强度的y分量B 与时间的近
y
似关系如图2所示,图中B 已知。
0
π
(1)求0到 时间内,流过圆环横截面的电荷量q;
ω
2π
(2)沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向,在0~ 时间内,求圆环中的电流与时间的关系;
3ω(3)求圆环中电流的有效值;
π Δω
(4)当撤去外力,线框将缓慢减速,经 时间角速度减小量为Δω( 1),设线框与圆环的能量转
ω ω
≪
换效率为k,求Δω的值(当0<x 1,有(1-x)2≈1-2x)。
≪
解析版
一、选择题
1.(6分)一直径为d、电阻为r的均匀光滑金属圆环水平放置在方向竖直向下的匀强磁场中,磁
r
场的磁感应强度大小为B,如图所示。一根长为d、电阻为 的金属棒ab始终在圆环上以速度
2
v(方向与棒垂直)匀速平动,与圆环接触良好。当 ab棒运动到圆环的直径位置时,ab棒中的电
流为 ( )
2Bdv 4Bdv
A. B.
3r 3rBdv 2Bdv
C. D.
r r
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)ab棒垂直切割磁感线,根据E=Bdv求出ab棒产生的感应电动势,分析电路结构,求出电路的
总电阻。
(2)根据闭合电路欧姆定律求ab棒中的电流。
【解析】选B。当ab棒运动到圆环的直径位置时,产生感应电动势大小为:E=Bdv,ab棒相当于
r
r 3
电源,两个金属半圆环并联后,再与ab棒串联,则电路的总电阻为R= +2= r,ab棒中的电流为
2 4
2
E 4Bdv
I= = ,故A、C、D错误,B正确。
R 3r
2.(6分)(2023·鞍山模拟)如图所示,有一个等腰直角三角形的匀强磁场区域,其直角边长为L,磁
场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,一边长为L,总电阻为R的正方形导线框abcd,从图
示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的方向为感应电
流的正方向,则图中表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图像,正确的是 ( )【解析】选C。在0~L内,导线框未进入磁场,无感应电流产生;在L~2L内,bc边切割磁感线,切
割磁感线的有效长度随 x增大而均匀增大,根据楞次定律可知线框中的感应电流为正方向,当
BLv
bc边到达x=2L的位置时,感应电流达到最大值,i = ;在2L~3L内,ad边切割磁感线,切割磁
m
R
感线的有效长度随x增大而均匀增大,感应电流为负方向,当bc边到达x=3L位置时,感应电流
BLv
达到最大值,i = 。综上所述,选项C正确。
m
R
3.(6分)在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电
流的正方向以及磁感应强度的正方向如图甲所示,当磁场的磁感应强度B随时间t按图乙变化
时,下列四幅图中可以正确表示线圈中感应电动势E变化的是 ( )【解析】选A。由题图乙可知,在0~1 s内,磁感应强度均匀增大,穿过线圈的磁通量均匀增大,
由楞次定律可知线圈中产生恒定电流的方向与正方向一致;1~3 s内,穿过线圈的磁通量不变,故
感应电动势为0;在3~5 s内,线圈中的磁通量均匀减小,由楞次定律可知线圈中产生恒定电流的
方向与正方向相反。由题图乙可知0~1 s内磁感应强度变化率是3~5 s内磁感应强度变化率的
ΔB
2倍,由E=n S可知,0~1 s内产生的感应电动势是3~5 s内产生的感应电动势的2倍。
Δt
4.(6分)(多选)(2024·常德模拟)半径分别为r和2r的同心半圆导轨MN、PQ固定在同一水平面
内,一长为r、电阻为2R、质量为m且质量分布均匀的导体棒 AB置于半圆导轨上,BA的延长
线通过导轨的圆心O,装置的俯视图如图所示。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直
向下的匀强磁场中,在N、Q之间接有一阻值为 R的电阻,导体棒AB在水平外力作用下,以角
速度ω绕O点顺时针匀速转动,在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨间
的动摩擦因数为μ,导轨电阻不计,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )1
A.导体棒AB两端的电压为 Br2ω
2
Br2ω
B.电阻R中的电流方向为从Q到N,大小为
R
3B2r4ω2 3
C.外力的功率大小为 + μmgrω
4R 2
D.若导体棒不动,要产生同方向的感应电流,可使竖直向下的磁感应强度增加,且变化得越来越
慢
v +v 3
【解析】选A、C。因为导体棒匀速转动,所以平均切割磁感线速度v= A B= rω,产生的感
2 2
3 E 1
应电动势E=BLv= Bωr2,导体棒AB两端的电压:U= R= Bωr2,故A正确;根据右手定则
2 R+2R 2
E Bωr2
可知,电阻R中电流方向为从Q到N,大小I= = ,故B错误;根据能量守恒可知,外力的功
3R 2R
3B2r4ω2 3
率等于回路的电功率与克服摩擦力的功率之和,即P=IE+μmgv= + μmgrω,故C正确;
4R 2
若导体棒不动,要产生同方向的感应电流,可使竖直向下的磁感应强度减小,故D错误。
5.(6分)(2024·威海模拟)如图所示,一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框 abcd,在水平拉力作用
下,以恒定的速度沿x轴运动,磁场方向垂直纸面向里。从线框进入磁场开始计时,直至完全进
入磁场的过程中,设bc边两端电压为U,线框受到的安培力为F,线框的热功率为P,通过ab边的
电荷量为q。下列关于U、F、P、q随时间t变化的关系图像正确的是( )【解析】选A。设磁场的虚线边界与x轴的夹角为θ、线框的速度为v、线框的边长为L、线
框一条边的电阻为 R、磁场的磁感应强度为 B,感应电动势最大的时刻为 t ,则在bc边进入磁
0
场的过程中,由 dc 边进入磁场的部分切割磁感线,即在时间段 0≤t≤t 内,感应电动势为
0
E Bv2t·tanθ
E =Bv2t·tanθ,感应电流为I = 1 = ,由dc边和ab边进入磁场的部分切割磁感线的过
1 1
4R 4R
程中,即在时间段t ≤t≤2t 内,则有E =BLv-Bv2(t-t )·tanθ,I =BLv-Bv2 (t-t )tanθ,根据以上分析可
0 0 2 0 2 0
4R 4R
Bv2t·tanθ
知,在0≤t≤t 的过程中,bc边两端电压为U =I R= ,在t ≤t≤2t 的过程中,bc边两端电压
0 1 1 0 0
4
为 U =I R=BLv-Bv2 (t-t )tanθ,故 A 正确;在 0≤t≤t 的过程中,线框受到的安培力为
2 2 0 0
4 4
Bv2t·tanθ
F=BI ·vt·tanθ=B( )vt·tanθ,可知在 0≤t≤t 的过程中 F-t 图像应为曲线,故 B 错误;在
1 0
4R
Bv2t·tanθ
0≤t≤t 的过程中,线框的热功率为P=I2·4R=( )2·4R,可知在0≤t≤t 的过程中P-t图像应
0 1 4R 0
ΔΦ Bv2t2tanθ
为开口向上的抛物线,故C错误;在0≤t≤t 的过程中,通过ab边的电荷量为q = = ,
0 1 4R 8R
可知在0≤t≤t 的过程中q-t图像应为曲线,故D错误。
06.(6分)(多选)如图甲所示,闭合矩形导线框abcd固定在匀强磁场中,磁场的方向与导线框所在
平面垂直,磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。规定垂直纸面向里为磁场的正方向,
abcda方向为导线框中感应电流的正方向,水平向右为安培力的正方向,关于导线框中的电流i
与ad边所受的安培力F随时间t变化的图像,下列选项正确的是( )
【解析】选B、D。由B-t图像可知,0~1 s内,线圈中向里的磁通量增大,由楞次定律可知,电路
中电流方向为逆时针,即电流为负方向;1~2 s内,线圈中向里的磁通量减小,由楞次定律可知,电
路中电流方向为顺时针方向,即电流为正方向;2~3 s内,磁通量不变,没有感应电流;3~4 s内,线
圈中向外的磁通量减小,由楞次定律可知,电路中电流方向为逆时针方向,即电流为负方向,根据
ΔΦ ΔBS ΔB
法拉第电磁感应定律E= = ,由于磁感应强度发生变化时是均匀变化,且变化率 大小
Δt Δt Δt相等,故产生的感应电流保持不变且大小相等,A错误,B正确;0~1 s内,电路中电流方向为逆时
针,根据左手定则可知,ad边受到的安培力的方向向右,为正值;1~2 s内,电流为顺时针,ad边受
到的安培力的方向向左,为负值;2~3 s内,没有感应电流,不受安培力;3~4 s内,电路中电流方向
为逆时针,根据左手定则可知,ad 边受到的安培力的方向向左,为负值。根据安培力的公式
F=BIL可知,安培力的大小与磁感应强度成正比,C错误,D正确。
二、计算题
7.(14分)(2023·福州模拟)如图(a)所示,两根不计电阻、间距为L的足够长的平行光滑金属导轨,
竖直固定在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向里,磁感应强度大小为B。导轨上端串联
非线性电子元件Z和阻值为R的电阻。元件Z的U-I图像如图(b)所示,当流过元件Z的电流大
于或等于I 时,电压稳定为U 。质量为m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动,运动中金属棒始
0 m
终水平且与导轨保持良好接触。忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响,重力加速度
mg mgR
大小为 g。(为了方便计算,取 I = ,U = 。以下计算结果只能用 m、g、B、L、R 表
0 m
4BL 2BL
示。)(1)闭合开关S,由静止释放金属棒,求金属棒下落的最大速度v ;
1
mgR
答案:(1)
B2L2
【解析】(1)闭合开关,定值电阻R与金属棒组成回路,当金属棒的速度达到最大v 时,
1
感应电动势:E =BLv
1 1
E BLv
电流:I = 1= 1
1
R R
金属棒受到的安培力:F =BI L
安 1
当速度稳定后,由平衡条件有:mg=F
安
mgR
联立得:v =
1 B2L2
(2)断开开关S,由静止释放金属棒,求金属棒下落的最大速度v ;
2
3mgR
答案: (2)
2B2L2
mgR
【解析】(2)由于元件Z的电压达到U = 时,保持不变,随着金属棒速度增加,电流也增加,当
m
2BL
元件Z的电压稳定时,电路中的电流:
mgR
E -U BLv -
I = 2 m= 2 2BL
2
R
R
此时由平衡条件有:mg=BI L
2
3mgR
代入得到:v =
2 2B2L2
(3)先闭合开关S,由静止释放金属棒,金属棒达到最大速度后,再断开开关S。忽略回路中电流
突变的时间,求S断开瞬间金属棒的加速度大小a。1
答案: (3) g
2
mgR
【解析】(3)闭合开关时,金属棒达到最大速度v = ,此时电路中的电流
1 B2L2
mgR
E BL× mg
I = 1= B2L2= 。
1
R BL
R
断开开关时,由于忽略电流突变的时间,所以电流I 通过元件Z,由于I >I ,所以元件Z两端的电
1 1 0
mgR mgR mgR mgR
压为U = ,定值电阻R两端的电压U '=E -U =BL× - =
m 2BL R 1 m B2L2 2BL 2BL
mgR
U ' mg
那么此时电路中的电流I '= R =2BL=
1
R 2BL
R
mg 1
金属棒受到的安培力F '=BI 'L=B× ×L= mg
安 1
2BL 2
1
mg-F ' mg- mg 1
所以此刻的加速度a= 安 = 2 = g
m 2
m
【加固训练】
(2023·浙江1月选考)如图1所示,刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆与长为
2l的两轻质横杆组成,且L 2l。线框通有恒定电流I ,可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心
0
≫
O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系,在y轴上距离O为a处,固定放置一半径远小于a,面积
为S、电阻为R的小圆环,其平面垂直于y轴。在外力作用下,通电线框绕转轴以角速度ω匀速
转动,当线框平面与xOz平面重合时为计时零点,圆环处的磁感应强度的y分量B 与时间的近
y
似关系如图2所示,图中B 已知。
0π
(1)求0到 时间内,流过圆环横截面的电荷量q;
ω
2B S
答案:(1) 0
R
ΔΦ E
【解析】(1)由法拉第电磁感应定律得:E= 、由闭合电路欧姆定律得I= ,
Δt R
由电流定义式得q=∑IΔt
ΔΦ 2B S
联立可得q= = 0 ;
R R
2π
(2)沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向,在0~ 时间内,求圆环中的电流与时间的关系;
3ω
π
{ 00≤t≤
答案: (2)I= 3ω
6ωB S π 2π
- 0 <t≤
πR 3ω 3ω
【解析】(2)在0~ π 时,I =E = ΔΦ =0
1 1 1
3ω R RΔt
1
ΔB
π 2π E S 6ωB S
在 ~ 时,I = 2= Δt =- 0
3ω 3ω 2 R 2 πR
R
(3)求圆环中电流的有效值;
答案: (3)2√3ωB S
0
πR
π π
【解析】(3)从能量角度I2R =I2 R
3ω 有 ω解得I =2√3ωB S;
有 0
πR
π Δω
(4)当撤去外力,线框将缓慢减速,经 时间角速度减小量为Δω( 1),设线框与圆环的能量转
ω ω
≪
换效率为k,求Δω的值(当0<x 1,有(1-x)2≈1-2x)。
≪
答案: (4) 6B 2S2
0
πkml2R
【解析】(4)由能量传递
1 π
k· ·2m[ω2l2-(ω-Δω) 2l2]=I2 R
2 有 ω
化简可得kmω2l2[
1-(1-
Δω
) 2
]=12ω2B2
0
S2
·R·π
ω π2R2 ω
即kmω2l2·2Δω=12ω2B2S2
0
ω πRω
解得Δω=
6B2S2
0
πkml2R
