文档内容
通州区 2020—2021 学年度第一学期期末质量检测试卷
九 年 级 数 学
考生须知：
1.本试卷6页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5. 考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回．
一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】∵ 为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ；
故答案为：C．
【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.
2. 如图， 为⊙ 切线，连接 ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据切线的性质，可得 ，故可得
【详解】解：∵ 为⊙ 切线，
又
故选：B
【点睛】本题考查圆的切线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握切线的定义和性质是解题的关键
3. 如图，在平面直角坐标系 中， 是反比例函数 图象上的一点，则 的面积
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、该点向该坐标轴作的垂线所围成的直角三角形
的面积是定值为 ，所以即可知道 ．
【详解】根据题意可知： ．
故选：B．【点睛】本题考查反比例函数 中k的几何意义，理解k的几何意义并利用数形结合的思想是
解答本题的关键．
4. 已知一个扇形的弧长为 ，半径是3，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧长公式求出扇形的圆心角，再根据扇形的面积公式求即可．
【详解】 ，
，
，
．
故选择：C．
【点睛】本题考查扇形的弧长与面积，掌握扇形的弧长与面积公式是解题关键．
5. 水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1 m．若管道中积水最深处为0.4 m，则水面宽度为（ ）
A. 0.8 m B. 1.2 m C. 1.6 m D. 1.8 m
【答案】C
【解析】
【分析】作OC⊥AB于C，交⊙O于D，由垂径定理得出AB=2BC，∠OCB=90°，OB=OD=1m，
CD=0.4m，求出OC=OD-CD=0.6m，由勾股定理求出BC，即可得出AB．
【详解】解：作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OB，如图所示：则AB=2BC，∠OCB=90°，
OB=OD=1m，CD=0.4m，
∴OC=OD-CD=0.6m，
∴BC= = =0.8（m），
∴AB=2AC=1.6m，
∴排水管道截面的水面宽度为1.6m，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．
6. 古希腊人认为，最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ≈0.618，称为
黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至
足底的长度为105 cm，则此人身高大约为（ ）
A. 160 cm B. 170 cm C. 180 cm D. 190 cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可．
【详解】解：设头顶至肚脐的长度为xcm，根据题意，得： = ，
∴x= ×105≈0.618×105=64.89，
则此人身高大约为105+64.89=169.89≈170cm，
故选：B．
【点睛】本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键．
7. 已知抛物线的对称轴为 ，且经过点 ， ．则下列说法中正确的是（ ）
A. 若h＝7，则a＞0 B. 若h＝5，则a＞0
C. 若h＝4，则a＜0 D. 若h＝6，则a＜0
【答案】D
【解析】
【分析】设y=a(x-h)2+k，当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式整理得a（63-14h）=7，将h的值
分别代入即可得出结果．
【详解】解：设y=a(x-h)2+k，
当x=1时，y=1；当x=8时，y=8；代入函数式得： ，
∴a（8-h）2-a（1-h）2=7，
整理得：a（63-14h）=7，
∴ ，
若h=7，则a=- ＜0，故A错误；
若h=5，则a=-1＜0，故B错误；
若h=4，则a=1＞0，故C错误；
若h=6，则a= ＜0，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
8. 公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．
刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失
矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正 边形，使用刘
徽割圆术，得到π的近似值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如详解图，先利用三角函数的知识把正 边形的边长用含有 的式子表达出来，求解出正 边形
的周长，再利用正 边形的周长无限接近圆的周长即可求解．
【详解】如图：
，
，
则正 边形的周长为： ，圆的周长为： ，
由圆的内接正n边形的周长无限接近圆的周长可得：
整理得：
故选：A．
【点睛】本题考查了极限的思想，抓住圆内接正 边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．
二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分）
9. ______．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用特殊角的三角函数值代入计算即可得到结果．
【详解】解：原式= ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了特殊三角函数的运算，知道特殊函数值熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
【答案】答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）
【解析】
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．
【详解】解：∵顶点在坐标原点，
∴可设抛物线解析式为y=ax2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2，故答案为：答案不唯一（ ，任何 ， 的二次函数均可）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，
对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
11. 如图， ， ， 为⊙ 上的点．若 ，则 ______．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数．
【详解】∵∠AOB=100°，
∴∠ACB= ∠AOB =50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练应用圆周角定理是解题的关键．
12. 如图，输电塔高 ．在远离高压输电塔 的 处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为 ．已知测
角仪高 ，则 ______．【答案】
【解析】
【分析】作 交BE于点C，根据题意可知AC长，并可求出BC长，由 ，求出结果即
可．
【详解】如图，作 交BE于点C，
根据题意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，
∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意得出BC和AC的长是解题的关键．
13. 如图，在 中， ，且DE分别交AB，AC于点D，E，若 ，则 与四
边形 的面积之比等于__________．【答案】
【解析】
【分析】根据 ，可以得到 的值，再根据DE∥BC，可以得到△ADE∽△ABC，从而可
以求得△ADE和△ABC的面积之比即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，则点 坐标为___________．
【答案】
【解析】【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得 ，进而可得
△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示：
∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，
∴△BOC∽△AOB，
∵点 ，
∴OA=10，
∵ ，
∴ ，
∴AB=2OB，
∴BC=2OC，
∴在Rt△BOC中，
，即 ，
∴ ，
∴BC=4，
的
∴点B 坐标为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系 中，点 为双曲线 上一点．将点 向左平移3个单位后，该点恰好出现在双曲线 上，则 的值为______．
【答案】3．
【解析】
【分析】先求出点 平移后的点 ，利用点A在双曲线 与点A 在双曲线
1
上构造方程组 解方程组即可．
【详解】由点 ，向左平移3个单位后，为 ，
由点A在双曲线 与点A 在双曲线 上，
1
则 ，
解得 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查反比例函数的解析式，掌握反比例函数的解析式的求法，关键是利用平移前后坐标构造
方程组是解题关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，⊙ 的半径为3，点 为⊙ 上任意一点．则
的最大值为______________．【答案】
【解析】
【分析】如图所示，当直线 OP 与圆 A 相切时，连接AP ，过 P作 PH x 轴，此时 取得最大值，利
用切线的性质得到 AP垂直于OP，在直角三角形AOP 中，根据直角边等于斜边的一半确定出
， 为 的值，求出即可．
【详解】如图所示，当直线 OP 与圆 A 相切时，连接 AP ，过 P作 PH x 轴，此时 取得最大值，
OP 为圆 A 的切线，
AP OP ，
A (6，0)，圆半径AP=3，.在 Rt △ AOP 中， AP=
= = =
则 的最大值为
故答案为：
【点睛】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本
题的关键．
三、解答题（共9小题，17－22题每小题5分，23，24题每小题7分，25题8分，共52分）
17. 如图， 与 交于 点， ， ， ， ，求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】由 ， 可得出 ，利用相似三角形的性质可得出，代入 ， ， 即可求出AB的长．
【详解】据题意， ；
又∵ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
18. 二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … … …
y … … …
（1）该二次函数的对称轴为 ；
（2）求出二次函数的表达式．
【答案】（1）直线x＝1；（2）
【解析】
【分析】（1）利用表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），根据抛物线的对称性
得到抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），则可设抛物线解析式为y＝a（x+1）
（x-3），然后把（0，3）代入求出a即可．
【详解】解：（1）表中数据可知抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），
这两个点关于抛物线的对称轴对称，
所以，抛物线的对称轴为直线x＝1；
故答案为：直线x＝1
（2）方法一：∵抛物线与x轴的两个交点坐标为（-1,0）和（3,0），∴设抛物线解析式为： ；
∵把 代入得，
解得， ；
∴抛物线的解析式为： ，即 ；
方法二：据题意，该函数过点 ， ，代入
得 ；
解得： ；
∴抛物线解析式为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性和用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线上已知点的特征，设不
同的解析式，有利于迅速解题．
19. 下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
①作射线OP；
②以点P为圆心，PO为半径作⊙P，与射线OP交于另一点B；③分别以点O，点B为圆心，大于PO长为半径作弧，两弧交射线OP上方于点D；
④作直线PD；
则直线PD即为所求．
根据小付设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ ， ，
∴ （____________）（填推理的依据）．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PD是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）由题中所给尺规作图方法可直接作图；
（2）由题意可直接进行求解．
【详解】（1）由题意可得：
作出⊙ ，标记点 ；
作出点 ；
作出直线 ；
∴DP即为所求直线；
（2）证明：∵ ， ，
∴ （垂直平分线的判定），
又∵ OP是⊙O的半径，∴ PD是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）；
故答案为垂直平分线的判定；经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 交于点 ，
．
（1）求出反比例函数表达式及 的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式 的解集．
【答案】（1） ； ；（2）
【解析】
【分析】（1）将点 代入 可求得m，再将 代入可求a
（2）不等式 的解集即为 的函数图像在 的函数图像上方的部
分，根据函数图像和A、B点的坐标即可得出结果．
【详解】解：（1）∵点 在函数 上
∴又∵点 在函数 上
∴
（2）由题意可得图像如图所示：
由图像可得，当 的函数图像在 的函数图像上方时，
或
不等式 的解集为 ．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想
是解决本题的关键．
21. 如图，在 中， ．以 为直径作⊙ ，交 于点 ，连接 ．作 平
分线，交 于点 ，交 于点 ．（1）求证： ．
的
（2）若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可证∠ADB=90°，进而有∠1+∠3=90°，再根据角平分线定
义可得∠1=∠2，然后由∠2+∠5=90°和对顶角相等证得∠4=∠5，再根据等腰三角形的等角对等边即可证得
结论；
（2）根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半和锐角三角函数分别求得BD、BC、BE，进而
可求得DF的长．
【详解】（1）如图，
∵ 为⊙ 直径 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵CE为 的角平分线 ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ＝ ＝ ，∠ACB=60°，
在 中，
∵ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的基本性质、角平分线的定义、对顶角相等、等腰三角形的判定、含30°角的直角三
角形的性质、锐角的三角函数，熟练掌握圆的直径所对的圆周角为直角和含30°角的直角三角形的性质是解答的关键．
22. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的图象与 轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … …
y … n …
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶
画出该函数的大致图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程 的根约为
．（结果精确到0.1）【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4） ， 或
【解析】
【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出 ，所以与y轴没有交点；
（2）把x=1代入函数式即可；
（3）根据表格坐标点描点连线即可；
（4）将 表示为函数 的形式，找函数图像与x轴的交点即可．
【详解】由题意可得： ，故与y轴无交点；
故填：无；
把x=1代入函数式，得：n=−4 ；
故填： ；
根据表中数据描点连线如图：将 表示为函数 的形式，即函数 与x轴的交点，根据图像可得：
， 或 ；
故填： ， 或 ．
【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交
点．
23. 如图，将正方形 绕点 顺时针旋转 ，得到正方形 ．连接 ，与正方
形交于点 ， ，连接 ， ．
（1）求 的值（用 表示）；（2）求证： ；
（3）写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得出 BAG为等腰三角形即可求解；
△
（2）先根据等腰三角形求出∠CEB的度数（用 表示），再由外角的性质求出∠AHE的度数（用 表
示），根据内错角相等即可求证；
（3）延长 构造平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证．
【详解】（1）由旋转得 ，
∴
（2）∵ ，
∴
又∵
∴∠CEB=∠EHA
∴ ．
（3）如图延长 到 使 ，联结 ，∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
即
又∵
∴四边形 为平行四边形
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形
∴
∴ ．
【点睛】此题主要考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定；
解题的关键是掌握平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及平行四边形的性质和判定，以及正
确作出辅助线．
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点
．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点 纵坐标（用含有 的代数式表示）；
（3）已知点 ．将点 向下移动一个单位，得到点 ．若抛物线与线段 只有一个交点，求
的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，进而可根据二次函数的对称性求解对称轴即
可；
（2）由题意易得二次函数解析式为 ，则有 ，进而问题可求解；（3）由题意可分当 时，则顶点坐标为 ，求得 ；当 时，则将点 代入抛物
线 可求 ，进而利用图像法可求解．
【详解】解：（1）由题意得点A、B是关于对称轴对称的两个点，
∴二次函数的对称轴为直线 ；
（2）∵抛物线与 轴交于 ， ，
∴设 ，即 ，
∴ ，
∴点C的纵坐标为 ；
（3）由题意得：
当 时，则抛物线的顶点为 ，
不妨当 时，则 ；如图所示：当 时，不妨将点 代入抛物线 得：
，
解得： ；
∴当 时，抛物线与线段 只有一个交点．综上所述，当 或 时，抛物线与线段 只有一个交点．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
25. 点 为平面直角坐标系 中一点，点 为图形 上一点．我们将线段 长度的最大值与最小值之
间的差定义为点 视角下图形 的“宽度”．为
（1）如图，⊙ 半径 2，与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 ．
①在点 视角下，⊙ 的“宽度”为___________，线段 的“宽度”为___________；
②点 为 轴上一点．若在点 视角下，线段 的“宽度”为 ，求 的取值范围；
（2）⊙ 的圆心在x轴上，半径为 ，直线 与x轴，y轴分别交于点 ， ．
若线段 上存在点 ，使得在点 视角下，⊙ 的“宽度”可以为 ，求圆心 的横坐标 的取值范
围．【答案】（1）①4；2；② 或 ；（2）当 时， ；当 时， 为任
意实数；当 时， 为无值．
【解析】
【分析】（1）①先求出OP= ，再求出PQ的最大值与最小值，计算⊙ 的“宽度”为= PQ的最大值与
PQ的最小值的差；求出PA最大值，PB最小值，计算线段 的“宽度”为=5-3=2，
②分类考虑点M的位置，当 在点 右侧时，当 时，PA -PM ，
最大 最小
当 ，PA =5，最小=3，PA-3=2，当m ,PM ，在AM上的最小值为3，PM -3 ，当
最大 最大值 最大
在点 左侧时， 综合即可；（2）先求 ， 坐标，确定∠EDO=30º，由⊙ 的“宽度”为 ，分三种情况，当 时点 出现在⊙
内部，其轨迹为以点 为圆心，半径为1的圆．当 在点 左侧时，圆C与ED相切, ，当
在点 右侧时 ，综合 ；当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙ 的“宽度”均为 ，
为任意实数；当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙ 的“宽度”均为小于2， 为无值．
【详解】（1）①OP= ，
PQ的最小值= ，PQ的最大值= ，
⊙ 的“宽度”为= PQ的最大值- PQ的最小值= - =4，
A（-2，0），B（2，0），
PB=3，PA= ，
线段 的“宽度”为=5-3=2，
故答案为：4；2；
②当 在点 右侧时，当 时， 为最大值，PM为最小值，此时PA-PM ，当m ,当PM=PA=5时， ，m=6，PA最大=5，最小值=3，PA-3=2，
∴ ；
当m ,PM为最大值，在AM上的最小值为3，PM-3 ，
当 在点 左侧时， ，根据定义 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 时，线段 的“宽度”为 ，
（2）直线 与x轴，y轴分别交于点 ， ．
当 时， ，E（0， ），
当 时， ， ，D(6，0)，
∴tan∠EDO= ，
∴∠EDO=30º，∵⊙ 的“宽度”为 ，
当 时，
∴点 出现在⊙ 内部，其轨迹为以点 为圆心，半径为1的圆，
又∵点 在线段 上，
∴该轨迹圆需要与线段 有交点，
当 在点 左侧时，圆C与ED相切, ，
∴ ，
当 在点 右侧时 ，综上所述， ；
当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙ 的“宽度”均为 ，
所以 为任意实数．
当 时，在圆外任何一点的视角下，⊙ 的“宽度”均为小于2，
所以 为无值，
【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读题目，理解新定义的含义，掌握点 为图形 上一点．线段
长度的最大值与最小值之间的差定义为点 视角下图形 的“宽度”．是解题关键，
