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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题23 平抛运动临界问题、相遇问题、类平抛运和斜抛运动
导练目标 导练内容
目标1 平抛运动临界问题
目标2 平抛运动中的相遇问题
目标3 类平抛运动
目标4 斜抛运动
【知识导学与典例导练】
一、平抛运动临界问题
擦网 压线 既擦网又压线
由 和
由 由
得： 得：
得：
【例1】如图排球场，L=9m,球网高度为H=2m，运动员站在网前s=3m处，正对球网跳起将球水平击出，球
大小不计，取重力加速度为g=10m/s.（1）若击球高度为h=2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围;
(2) 当击球点的高度h为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？
【答案】（1）3 m/s＜v≤12 m/s（2）2.13m
【详解】（1）当球刚好不触网时，根据h−h＝ gt2，解得： ，则平
1 1
抛运动的最小速度为： ．当球刚好不越界时，根据h＝ gt2，解得：
1 2
，则平抛运动的最大速度为： ，则水平击球的速
度范围为3 m/s＜v≤12 m/s．
（2）设击球点的高度为h．当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，情况是球刚好擦
网而过，落地时又恰压底线上，则有： ，其中x =12m，x =3m，h=2m，代入数据解得：
1 2
h=2.13m，即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网．
二、平抛运动中的相遇问题水平位移：l=vt
平抛与自由
落体相遇
空中相遇：
（1）若等高（h=h ），两球同时抛；
1 2
（2）若不等高（h>h）两球不同时抛，甲球先抛；
1 2
（3）位移关系：x+x =L
1 2
平抛与平抛 （1）A球先抛；
相遇
（2）t >t ；
A B
（3）v v
0A 0B
（1）L=v t；
1
（2） ；
平抛与竖直 （3）若在S 球上升时两球相遇，临界条件： ，
2
上抛相遇
即： ，解得：
；
（4）若在S 球下降时两球相遇，临界条件：
2
，即 ，解得：
（1） ；
（2） ；
（3）若在S 球上升时两球相遇，临界条件：
2
，即： ，
解得：
；
平抛与斜上
抛相遇
（4）若在S 球下降时两球相遇，
2
临界条件： ，
即 ，
解得：
【例2】如图，两个弹性球P、Q在距离水平地面一定高度处，若给P水平向右的初速度 （ ），同
时释放Q，（两球在同一竖直面内运动）两球与地面接触时间可忽略不计，与地面接触前后水平方向速度
不变，竖直方向速度大小不变，方向相反。忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．如果P、Q不在同一水平面，只要 合适两球即可相碰B．如果P、Q不在同一水平面，无论 为何值两球均不能相碰
C．如果P、Q在同一水平面，无论 为何值两球均可相碰
D．如果P、Q在同一水平面，只有 取恰当值两球才可相碰
【答案】AC
【详解】两球同时释放，若两球不自同一水平面释放，两球竖直方向做自由落体运动，与地面接触后做竖
直上抛运动。因此两球会同时出现在同一水平面内，只要 合适两球即可相碰；两球在同一水平面释放，
以其中一个球为参考系，另外一个球在竖直方向静止，水平匀速，无论 为何值，两球一定相碰，故选
AC。
【例3】如图所示，在体育课上进行篮球训练时，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后两篮球在空中
的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度h 比乙同学抛出点的高度h 大，不计空气阻力，篮球可看成质点，
1 2
则下列说法正确的是（ ）
A．乙同学比甲同学先将篮球抛出
B．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长
C．乙同学抛出的篮球初速度一定大
D．甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移一定小
【答案】B【详解】A．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由 可知 由于 ，要使两球在P点相遇，
则乙同学比甲同学后将篮球抛出，故A错误；
B．篮球抛出后做平抛运动，竖直方向由 可知 在相遇前，甲同学抛出的篮球下落的高度更
大，所以两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长，故B正确；
C．由图可知，乙同学抛出的篮球在相遇时的水平位移更小，所用时间也更小，则不能确定乙同学抛出的
篮球初速度是否更大，故C错误；
D．由图可知，甲同学抛出的篮球在相遇前的水平位移更大，且水平位移取决于下落的高度与水平初速度
的大小，故D错误。故选B。
【例4】如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为 和h，将两球水平抛出后，不计空
气阻力，两球落地时的水平位移分别为s和 。重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B两球的初速度大小之比为1：4
B．A、B两球的运动时间之比为
C．两小球运动轨迹交点的水平位移为
D．两小球运动轨迹交点的离地高度
【答案】D【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向有 ； ，A球运动时间
B球运动时间 所以 由 得 结合两球落地时位移之比 可知A、B
两球的初速度之比 ，故AB错误；
CD．两球相交时，水平方向位移相同，因此有 ，B球下落高度 ；A球下落的高度
， 各式联立得 ， 两小球运动轨迹交点的高度 两小球运动
轨迹交点的水平位移 ， 联立解得 ，C错误D正确。故选D。
【例5】同一水平线上相距 的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如
图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．甲球要先抛出才能相遇
B．甲、乙两球必须同时抛出才能相遇
C．从抛出到相遇过程中，甲球运动的时间更长
D．两球相遇时乙球加速度更大
【答案】B【详解】ABC．由于相遇时甲、乙做平抛运动的竖直位移h相同，由 可以判断两球下落时间相同，
即应同时抛出两球，AC错误B正确；
D．两球都做平抛运动，加速度都为g，D错误。故选B。
【例6】如图所示，在水平地面上M点的正上方 高度处，将小球S 以初速度 水平向右抛出，
1
同时在地面上N点处将小球S 以初速度 竖直向上抛出。已知小球与地面的碰撞是弹性碰撞，且碰撞时间
2
忽略不计，M、N两点间的距离为 ，重力加速度大小为 ，不计地面阻力和空气阻力。
若在S 落地前两小球相遇，则（ ）
2
A．两小球抛出后经 相遇 B．S 的初速度
2
C．S 可能在上升过程中与S 相遇 D．两小球在N点上方 处相遇
2 1
【答案】B
【详解】A．S 先做平抛运动，与地面的碰撞为弹性碰撞且不计地面阻力，故与地面碰撞后水平方向速度不
1
变，竖直方向速度反向，两球从抛出到相遇，则有 解得 ，A错误；
B．小球S 从抛出到第1次落地，有 解得 落地时竖直方向分速度为
1
与小球S 相遇时，有 解得 ，B正确；
2
C．S 上升到最高点所用的时间为 故S 一定在下降过程中与S 相遇，C错误；
2 2 1D．相遇时，S 离地的高度为 ，D错误；故选B。
2
【例7】某飞机在P点投下一枚炸弹并快速离开，同时被地面雷达S捕捉并发射炮弹，如图所示，炸弹从
O点的正上方离地h高处的P点以v 的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度v 斜向左上方，
1 2
与水平方向夹角为θ方向发射炮弹，炮弹和炸弹恰在O、S连线的中点正上方相遇。若不计空气阻力，则
两物体抛出后至相遇过程（ ）
A．炮弹发射角
B．两弹相遇时间
C．两弹速度对时间的变化率相同
D．两弹相遇点一定在距离地面高 高度处
【答案】AC
【详解】A．炮弹和炸弹恰在O、S连线的中点正上方相遇，所以水平方向位移等大，则水平速度等大，即
则 故A正确；
B．炮弹和炸弹竖直方向位移大小分别为 则两弹相遇时间 故B错误；C．两弹速度对时间的变化率是重力加速度，相同，故C正确；
D．两弹相遇点距离地面高度为 可得 因为不知道炮弹的
初速度与角度 ，故无法确定两弹相遇点距离地面的高度，故D错误。故选AC。
三、类平抛运动
1.类平抛运动的受力特点:
物体所受的合外力为恒力,且与初速度的方向垂直。
2.类平抛运动的运动特点:
F
在初速度v 方向上做匀速直线运动,在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动,加速度a= 合。
0
m
3.类平抛运动的求解方法:
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方
向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为a、a,初速度v 分
x y 0
解为v、v,然后分别在x、y方向列方程求解。
x y
【例8】如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v 沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内
0
运动，落地点为P；B沿光滑斜面运动，落地点为P，P 和P 在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正
1 2 1 2
确的是（ ）
A．A、B的运动时间不相同
B．A、B沿x轴方向的位移不相同
C．A、B运动过程中的加速度大小不相同D．A、B落地时速度大小不相同
【答案】ABC
【详解】AC．对于A，根据 得t= 运动的加速度为重力加速度g。对于B，设斜面坡角为θ，
1
在沿斜面向下方向上有 ； ； 解得 可知A、B的
运动时间不相同，加速度大小不相同，故AC正确；
B．在x轴方向上，有x=vt知B沿x轴的位移大于A沿x轴的位移，故B正确；
0
D．根据动能定理，因为只有重力做功，且重力做功和初动能相等，则末动能相等，所以A、B落地时的速
度大小相等，故 D错误。故选ABC。
四、斜抛运动
水平竖直正交分解 最高点一分为二变平抛运动 将初速度和重力加速度
处理方法
化曲为直 逆向处理 沿斜面和垂直斜面分解
垂直斜面：
水平速度：
最高点：速度水平
基本规律
竖直速度：
沿着斜面：最高点：
最高点：
【例9】滑雪运动越来越受到青少年们的青睐。滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳台、着陆坡、停止
区组成，其场地可以简化为如图甲所示的模型；图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，A为助滑道的最高
点，D为助滑道的最低点，B为跳台起跳点，起跳区DB为倾角 的斜面，着陆坡道为倾角 的
斜面。在某次训练中，运动员从A点由静止开始下滑，到起跳点B沿斜面向上飞出，最后落在着陆坡道上
的C点。A、B、C、D在同一竖直平面内，已知A、B点间的高度差 ，不计一切阻力和摩擦，取
重力加速度的大小 。求：
（1）运动员完成空中动作的时间t；
（2）运动员到达C点的速度大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）设运动员及装备总质量为m，由动能定理得 设运动员从B到C的时间为t，
将运动分解到垂直斜坡方向和沿着斜坡方向，在垂直斜坡方向上 ；
且落到斜坡上时 代入数据解得
（2）在沿着陆坡道方向上 ； ； 代入数据解得【多维度分层专练】
1．乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具．如甲图所示，是乒乓球发球机的实物图，乙图是
简化示意图．设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L，BC边长为L，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；
1 2
发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可
调）．乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周
围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列
说法正确的是（ ）
A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为
B．若乒乓球的发射速率超过 ，则乒乓球一定会落在边界CD之外
C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域
D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发
射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的
【答案】D
【详解】A．要让乒乓球能越过球网，则在乒乓球到达网前下落的高度： ，水平方向的位移：，最小发射速率一定为： ，故A错误；
B．从抛出点到角C、D时水平位移最大，故最大水平位移为： ；当发射的速度等于 时，
则 ，可知发射的速度等于 时，如果发球机的高度满足 ，
则： 即乒乓球有可能落在界内，故B错误；
C．设置好H后，存在乒乓球刚好过网和球刚好不出界的临界条件，由A分析可知，乒乓球刚好过网的速
度为： 由C分析可知，球刚好不出界的速度为：
如果 ，即 时，球要不会被球网挡住，要不就会超出边界．故C错误；
D．结合高度求出平抛运动的时间，可以发现调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网
而过后直接落到CD边上，球发射到球网的时间和从球球网到CD边的时间相等设为T，则H的高度满足：
适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球，通过球网的位置仍然是水平方向的位移
的中点，即仍然是T时刻通过球网，故只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的，故D正确．
2．如图所示， 是长方形 对角线的交点， 是底边 的中点， 、 、 处的三个小球分别沿图示方
向做平抛运动，下列表述不正确的是（ ）A．若 、 、 处三球同时抛出，三球不可能在落地前相遇
B．要 、 处两球在空中相遇，则 球必须先抛出
C．若 、 处两球能在地面相遇，则 、 在空中运动的时间之比为
D．若 、 处两球在 点相遇，则一定满足
【答案】C
【详解】A．若 、 、 处三球同时抛出，竖直分运动均是自由落体运动，故 处、 处的小球不可能与
处小球相遇，A正确；
B．由于平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，要 、 处两球在空中相遇，则 球必须先抛出，B正确；
C．若 、 处两球能在地面相遇，根据可知 两个球运动时间之比为 ，C错误；
D．若 、 处两球在 点相遇，由于水平分运动是匀速直线运动，水平分位移相等，时间也相等，故水平
分速度相等，即初速度相等，则一定满足 ，D正确。故选C。
3．如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小
为 ，方向水平向右，乙球的速度大小为 ，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未
画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（ ）A．a、c两点竖直方向的距离大于b、c两点竖直方向的距离
B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等
C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等
D．甲、乙两球抛出时的速度大小 与 之比为1：2
【答案】CD
【详解】C．两球在空中都做匀变速运动，自抛出至相碰前两球飞行时间相等，由 ，C正确；
A．乙在竖直方向做匀减速运动，末速度为零，甲、乙竖直方向位移大小均可表示为 得两者相遇
时竖直方向位移大小相等，故A错误；
D．两球能相碰，则水平位移相等，得水平速度相等，即 所以 与 之比为1：2，故D正
确；
B．碰撞前甲、乙水平速度相等，竖直方向甲的速度不为零，故B错误。故选CD。
4．课间同学们在玩键子。两位同学在同一竖直线上把相同的键子1和2用力抛出，如图所示，两键子均恰
好垂直打在竖直墙面上，若不计空气阻力且把键子看成质点。下列说法正确的是（ ）A．建子1在空中运动的时间一定比键子2短
B．抛出瞬间毽子2所受重力的功率一定比键子1大
C．抛出时人对键子2所做的功一定比键子1大
D．若要使两键子在上升过程中相撞，必须先抛出毽子1，后抛出键子2
【答案】AB
【详解】A．毽球的运动轨迹为反向的平抛运动，竖直方向，根据 得 可知毽球1在空中运动
的时间一定比毽球2短，故A正确；
B．抛出时，竖直方向的速度 可得 根据 可知抛出瞬间毽球2所受重力的功率一定比
毽球1大，故B正确；
C．水平方向的位移相等，根据 可得 结合B选项可知，无法判断抛出时毽球1和毽球2的速
度大小，故无法判断抛出时人对键球2所做的功和对毽球1做的功的大小，故C错误；
D．根据C选项可知 ，根据 可知要使要使两毽球在上升过程中相撞，必须先抛出毽球2球，
后抛出毽球1，故D错误。故选AB。
5．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S 以初速度v水平向右抛出，同时在地面上N
1
点处将小球S 以初速度v竖直向上抛出。在S 球上升到最高点时恰与S 球相遇，不计地面阻力和空气阻力。
2 2 1
则两球在这段过程中（ ）A．两球均做变加速运动
B．相遇时小球S ，的速度方向与水平方向夹角为30°
1
C．相遇点在N点上方 处
D．MN距离为2h
【答案】C
【详解】A．由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，做的都是匀变速运
动，而非变加速运动，故A错误。
B．两球运动时间为 相遇时小球 竖直分速度为 因此夹角为45°，故B错误。
C．小球 竖直位移 小球 竖直位移 ， 联立解得 故C正确。
D．根据平抛运动推论，小球 位移与水平夹角的正切值为速度偏转角正切值的一半，所以水平位移为h，
故D错误。故选C。
6．如图所示，abcd是倾角为θ的光滑斜面，已知ab∥dc，ad、bc均与ab垂直。在斜面上的a点，将甲球
以速度v 沿ab方向入射的同时，在斜面上的b点将乙球由静止释放，则以下判断正确的是( )
0A．甲、乙两球不可能在斜面上相遇
B．甲、乙两球一定在斜面上相遇
C．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，总是在同一水平线上
D．甲、乙两球在斜面上运动的过程中，在相同时间内速度的改变可能不相同
【答案】C
【详解】ABC．甲做类平抛运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，与类平抛运动沿斜面向下方向上的
运动规律相同，可知甲乙两球在斜面上运动的过程中，相同时间内沿斜面向下的位移相同，即总是在同一
水平线上，若斜面足够长，两球一定会在斜面上相遇，但是斜面不是足够长，所以两球不一定在斜面上相
遇，故AB错误，C正确；
D．因为甲乙两球的加速度相同，则相同时间内速度的变化量相同，故D错误。故选C。
7．在与水平面成θ＝30°角的山坡下向坡上抛掷质量为0.2 kg的石块，石块的初速度为 v＝10 m/s，且与水
0
平方向成角60°，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．石块在坡上飞行的距离为5m
B．石块落到坡上时的速度大小为 m/s
C．石块落到坡上时的重力功率为10 m/s
D．石块飞行过程中距地面的最大高度为10m
【答案】B
【详解】A．石块在水平方向上做匀速直线运动，在竖着方向上做匀变速直线运动，初始时刻，竖直分速
度水平分速度 设经过t时间落在坡上，
有 代入数据解得 则石块在坡上飞行的距离 故A错
误；
B．时刻落在坡上时，竖直分速度 则石块落在坡上的速度大小
故B正确；
C．石块落到坡上时重力的功率 故C错误；
D．当石块竖直分速度为零时，离地面最高，最大高度 故D错误。故选B。
