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5.2 平面向量的数量积及坐标运算（精练）（基础版）
题组一 坐标运算
1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】 , ,即 ,解得 ,故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .故选：D
3．（2022·全国·模拟预测）设向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】向量 ， ， ，解得 ，
故选：D
4．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量 ， ，若向量 与向量 的
夹角为钝角，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】因为 ，又 与 的夹角为钝角，
当 与 共线时， ，
所以 且 与 的不共线，即 且 ，所以 ，故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的
单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【解析】由 得 ，即 ， ， ，
， ，
与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．故选：C．
6．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量 ， ，若 与 反向共线，则
的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，得 ，又 与 反向共线，故 ，此时 ，
故 .故选：C.
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若 ， ，下列正确的是（ ）
A． B．
C． 方向上的投影是 D．
【答案】C
【解析】由已知 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 不平行，A错，
因为 ，所以 不垂直，B错，
因为 方向上的投影为 ，C对，
因为 ，所以 不垂直，D错，故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 与 的夹角 为锐角，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 与 的夹角 为锐角知 且 与 不共线，即 且 ，即 且 .
故选：D.
9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知向量 ， ，则以下与 垂直的向量坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
， ；故选：B
10．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知向量 ，向量 .则向量 在向量 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在 上投影向量 故选：A
11．（2022·江西·赣州市第三中学）已知向量 ， .若 ，则 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ 或 ，
对选项A，若 ， ，
解得 ，此时不成立；对选项B，若 ， ，
解得 ，此时不成立；
对选项C，若 ， ，
解得 ，此时成立；
对选项D，若 ， ，且
，此时不成立.故选：C
12．（2022·安徽淮南·二模）已知公比为q的等比数列 中， ，平面向量 ，
，则下列 与 共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】等比数列 公比为q，而 ，则 ，解得 ，
， ，则 ，
对于A， ，因 ，则A不是；
对于B， ，因 ，则B不是；
对于C， ，因 ，则C不是；
对于D， ，因 ，则D是.
故选：D
13．（2022·全国·高三专题练习）若向量 ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为向量 ， ，
对于A：若 ，则 ，解得： ，所以不存在 ，使得 ，故选项A不正确；
对于B：若 ，则 ，可得 ，所以存在 ，使得 ，故选项B正确；
对于C：令 可得： ，所以存在 使得 ，故 不成立，故
选项C不正确，
对于D： ， ，若 ，则 ，此方程无解，所
以不存在 ，使得 ，故选项D不正确；
故选：B.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ，则满足 的 的坐标为
______.
【答案】 .
【解析】设 的坐标为 ，且 ，
因为 ，可得 ，
可得 ，所以 的坐标为 .故答案为： .
题组二 巧建坐标
1．（2022·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ，若 ，则 与 的夹角为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图：以 为原点，建立如图的平面直角坐标系，
因为四边形 是矩形， ， ， ，
则 ， ， ， ，则 ， ，
故 ，
因为 ，所以 ，故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ，点 为边 的中点，点 为边
上的动点，则 的取值范围是（ ）
\
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则 ， ，设 ， ， ，
，
， ，即 的取值范围为 .
故选：B.
3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量 ， ，且非零向量 满足
，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，
，
整理得 ，则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则 表示和圆上点 之间的距离，
又 在圆 上，故 的最大值是 .
故选：B.
4．（2022·重庆·二模）已知平面内一正三角形 的外接圆半径为4，在三角形 中心为圆心
为半径的圆上有一个动 ，则 最大值为（ ）
A．13 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】建立如图所示坐标系，
则点 ，
设点 ，且 ，
则
故当 时， 有最大值为13
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
且D是 边上的动点(不含端点)，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以BC所在直线为 轴，以BC的中垂线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ， ，设 ， ，
则 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，
故选：C.
6．（2022·湖南·一模）在一个边长为2的等边三角形 中，若点P是平面 (包括边界)中的任意一点，
则 的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则 ， ，
∴ ，当且仅当P在原点时，取等号﹒
故选：C.7．（2022·福建厦门·高三阶段练习）平面四边形ABCD中，AB=1，AC= ，AC⊥AB， ∠ADC= ，则
的最小值为（ ）
A．- B．-1 C．- D．-
【答案】D
【解析】由题设，可得如下示意图，
所以 ，
因为 ，即 在以 中点 为圆心， 为半径的劣弧 上，
所以要使 的最小，即 最大即可，
由圆的性质知：当 为劣弧 的中点时 最大，又AC= ，
此时 ，故 的最小值为- .
故选：D8．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时，
的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设 ，
当 时， 取得最小值，
过 作 ，即 取得最小值为 ，
因为 与 的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
9．（2022·宁夏·银川一中一模（文））在直角 中， ， ，以 为直径的半圆
上有一点 （包括端点），若 ，则 的最大值为（ ）A．4 B．
C．2 D．
【答案】C
【解析】依题意在直角 中， ， ，
以 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，设 是 的中点，则 .
，所以 满足 ，
设 （ 为参数， ），
依题意 ，
即 ，
，
， ，
所以当 时， 取得最大值为 .
故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）骑行是目前很流行的一种绿色健身和环保出行方式，骑行属于全身性有
氧活动､能有效地锻炼大脑､心脏等人体器官机能，它带给人们的不仅是简单的身体上的运动锻炼，更是心
灵上的释放.如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为
， ， ， 均是边长为4的等边三角形.设点 为后轮上一点，则在骑行该自行车的过
程中， 的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．24
【答案】B
【解析】如图，以 点为坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
因为圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为4的等边三角形
所以点 ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以当 ， 的最小值为 .
故选：B
题组三 平面向量与其他知识的综合运用
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．既非等腰三角形又非直角三角形
【答案】A
【解析】 ， ，即 ， ，
则 的形状是直角三角形.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过
的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【解析】设 的中点是 ，
，
即 ，所以 ，所以动点 在线段 的中垂线上，故动点 的轨迹必通过 的外心，故选：C.
3（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）已知 , ,其中 ，则以下
结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 或
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 或 或 ，故A不正确；
对于B，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，故B正确；
对于C， ，则
，故C正确；对于D，若 ，则 ，则 ，则 ，即 ，所以
，故D正确.
故选：BCD.
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知点 为平面直角坐标系原点，角 的终边分别与以 为圆
心的单位圆交于 两点，若 为第四象限角，且 ，则（ ）
A．
B．当 时，
C． 最大值为
D．当 时，
【答案】CD
【解析】易知 ，
，故A错误；
当 时， ， ，故B错误；
由于 ，故 过原点时， 最大且最大值为 ，故C正确；因为 ，且 为第四象限角，所以 .
， ，即 ，
，故D正确.
故选： .
5．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知a，b，c分别为 的三个内角A，B，C的对边， ，且
，O是 内一点，且满足为 ， ，则
___________.
【答案】4
【解析】 中， ，
由余弦定理可得 ，
，
，
；
， ，且 ，
为 的重心，且 ，如图所示；
则 ，
解得 ．
故答案为： ．6．（2022·广东茂名·高三阶段练习）设 ， ， ， ， 是一组平面向量，记 ，
若向量 ，且 ，则 _________．
【答案】5或6
【解析】设数列 满足 ，则数列 的前n项和为
，
∴ ，又 ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，或 ，
故 5或6.
7．（2022·上海·高三专题练习）A、B是直线 上的两个动点，且 ，点
（其中 ），则 的最小值等于___________.
【答案】0
【解析】设 ，直线
则 ，消参可得C的轨迹方程为 ，
即C点在圆心为 ,半径为 的圆上，
过圆心做 交 于 , 如图，由点到直线距离公式可得 ，
（其中T为线段AB的中点）
由图可知，C运动到点 ，且Q与T重合时， ，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
8．（2022·河南安阳·）已知向量 ，其中 ，若 ，则
___________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ，故答案为：
