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22.3 实际问题与二次函数（第二课时）分层作业
基础训练
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润 （元）与降价金额 （元）之间的关系是
，则获利最多为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【详解】解：对于抛物线 ，
，
时， 有最大值，最大值为 ，
故选：D．
2．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低
于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上
涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（ ）
A．20 B．60 C．70 D．80
【详解】解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为1800元，
∴每千克的售价应定为 （元）．
故选：C．
3．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩
墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300
个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为 个，销售单价为
元 ，商家每天销售纪念品获得的利润 元，则下列等式正确的是（ ）A． B．
C． D．
【详解】解：设每天销售量为 个，销售单价为 元 ，商家每天销售纪念品获得的利润 元，
根据题意得 ，
则 ，
故选：D．
4．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天
可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（
）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：
y＝（35﹣x）（50+2x）
＝﹣2x2+20x+1750
＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
5．2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划
投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并
销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多
少时，该消毒液的单日产销利润最大．（ ）
消毒
每瓶售价（元） 每瓶成本（元） 每日其他费用（元） 每日最大产销量（瓶）
液
30 18 1200＋0.02x2 250
A．250 B．300 C．200 D．550
【详解】解：根据题意，得∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下， 有最大值，
又∵ ，
∴当 时， ，
故选：D
6．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平
面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=－0.01（x－20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于
水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为－5，
当x=－5时，y=－0.01（x－20）2+4=y=－0.01（－5－20）2+4=－2.25，
∴C（－5，－2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
7．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离
为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）A．4 米 B．10米 C．4 米 D．12米
【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣ x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故选：B．
8．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降
（ ）
A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴 通过 ，纵轴 通过 中点 且通过顶点 ，则通过画图
可得知 为原点，
由平面直角坐标系可知， ，即 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，即 ，
当 时， ，
所以水面下降 ，
故选：C．
9．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：
m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；
②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得 ，
解得 ，池底所在抛物线解析式为 ，则②正确；
③将 代入解析式得 ，解得 ，则池塘最深处到水面CD的距离为
m,则③错误；
④设原宽度为 时最深处到水面的距离为 m，宽度减少为原来的一半时距离为
m，故④正确，
所以①、③错误，②、④正确，
选项B正确，符合题意．
故选：B．
10．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店
为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围
内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐
每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
【详解】解：设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数为 份，则B种快餐的份数为 份．
据题意： ，
，
∴ ，
∵ ，
∴当 的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，
故答案为：1264．
11．北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天草莓的采摘量
为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，零售价每上涨1元，每
天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为
元时，该种植户一天的销售收入最大．
【详解】解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y=x[300 30（x 22）]+18×30（x 22）= 30x2+1500x 11880，
当 时，y最大，
∴当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25．
12．网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装(这里代销指厂家先
免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．销售中发现每件售价为250元时，
日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需
支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x(元)，该网络平台的日销售量为y(件)．则下列结论正
确的是 (填写所有正确结论序号)．
①y与x的关系式是y=－ x+240；
②y与x的关系式是y= x－160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W=－ x2+320x－24000；④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元
时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
【详解】解：∵ ，
∴①正确，②错误；
∵ ；
∴③正确；
∵ ，
，每件售价不得低于210元，
∴当x=210时，每天利润最大，
每天利润最大为： ，
∴④正确．
故正确的有①③④．
故答案为：①③④．
13．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售
价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的
销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最
大？最大利润是多少元？
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，根据题意得：
，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：（－5x+150）（x－8）=425，整理得： ，
解得： ，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
14．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱
起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降
低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5
元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所
获利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是 ，且x为整数 ．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下∵对称轴是直线
∴当 时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当 时，
当 时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当 时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
15．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽
度为 ，顶点距水面 ，小孔顶点距水面 ．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（－
10，0），B点坐标为（10，0），
设中间大抛物线的函数式为y=ax2+6，
∵点B在此抛物线上，
∴0=a×102+6，
解得a=－ ，
∴函数式为y=－ x2+6．
∵NC=4.5m，
∴令y=4.5，代入解析式得－ x2+6=4.5，
x=5，x=－5，
1 2
∴可得EF=5－（－5）=10．
此时大孔的水面宽度为10m．
16．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8m，宽OA为2m，隧道最高点P位于AB
的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过，为什么？
详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，
又因为点A（0，2）在抛物线上，
所以有2＝a（0﹣4）2+6．
所以a＝﹣ ．
因此抛物线为：y＝﹣ +6．
（2）解：令y＝4，则有4＝﹣ +6，
解得x＝4+2 ，x＝4﹣2 ，
1 2
|x﹣x|＝4 ＞2，
1 2
∴货车可以通过；
（3）解：由（2）可知|x﹣x|＝ ，
1 2
∴货车可以通过．能力提升
1．某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1－8月份这种药材售价（元）与
月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的
抛物线，观察两幅图表，试判断 月份出售这种药材获利最大．
月份 ... 3 6 ...
每千克售价 ... 8 6 ...
【详解】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设
把（3，8），（6，6）代入得，
解得，
∴
设每千克成本是z元，根据图象可设
把（3，4）代入 ，得
∴
∴
∴设利润为w，则有：∵
∴ 有最大值，
∴当x=5时，w有最大值，
∴5月份出售这种药材获利最大．
故答案为：5
2．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根
立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为 米
【详解】
解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．
设抛物线的解析式为 ，
由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，
代入y=ax2(a≠0)，
有 ， ，
点A的纵坐标即为OC的长，
∴0.36a＋0.28＝0.64a，解得a＝1，
∴抛物线解析式为 ，
，
故OC的长为：0.64m．
拔高拓展
1．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水
面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，
若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）
A．4 米 B．5 米 C．2 米 D．7米
详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO= ，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+ ，
∵BC=10，
∴点B（﹣5，0），
∴0=a×（﹣5）2+ ，∴a=－ ，
∴大孔所在抛物线解析式为y=－ x2+ ，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为
y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，
∴点E的横坐标为－7，
∴点E坐标为（－7，－ ），
∴－ =m（x﹣b）2，
∴x= +b，x=－ +b，
1 2
∴MN=4，
∴| +b－（－ +b）|=4
∴m=－ ，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=－ （x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，
∴当x=－10时，y=－ ，
∴－ =－ （x﹣b）2，
∴x= +b，x=－ +b，
1 2
∴单个小孔的水面宽度=|（ +b）－（－ +b）|=5 （米），
故选：B．
2．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？图1中有一座
拱桥，图2是
其抛物线形桥
拱的示意图，
某时测得水面
素材1 宽 ，拱顶
离水面 ．
据调查，该河
段水位在此基
础上再涨
达到最高．
为迎佳节，拟
在图1桥洞前
面的桥拱上悬
挂 长的
灯笼，如图3.
为了安全，灯
笼底部距离水
面不小于
；为了实效，
素材2
相邻两盏灯笼
悬挂点的水平
间距均为
；为了美观，
要求在符合条
件处都挂上灯
笼，且挂满后
成轴对称分
布．
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵
任务2 探究悬挂范围
坐标的最小值和横坐标的取值范围．
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐
任务3 拟定设计方案
标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为 ，且经过点 ．设该抛物线函数表达式为 ，
则 ，
∴ ，
∴该抛物线的函数表达式是 ．
任务二：∵水位再上涨 达到最高，灯笼底部距离水面至少 ，灯笼长 ，
∴悬挂点的纵坐标 ，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是 ．
当 时， ，解得 或 ，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是 ．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵ ，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为 ，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则 ，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 ．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为 ，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则 ，若顶点一侧挂4盏灯笼，则 ，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是 ．
