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专题 02 勾股定理全章复习攻略（2 个概念 2 个定理 3 种方法 2
个应用 2 种思想专练）
2个概念
【考查题型一】互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，
那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.【例1】（2023秋•淮阳区期末）判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若 且 ，则
；③全等三角形对应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【分析】本题首先根据什么是逆命题对每个题进行说明，再判断出正确与错误，即可求出答案．
【解答】解：①：等腰三角形是轴对称图形；
它的逆命题是轴对称图形是等腰三角形，
故本选项错误，
②若 且 ，则 ；
它的逆命题是若 ， 且 ；
故本选项错误，
③全等三角形对应角相等；
它的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形．
故本选项错误，
④直角三角形的两锐角互余．
它的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形．
故本选项正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了命题与定理，解题的关键是要知道什么是逆命题，要与什么是假命题区分开，这
是一道好题．
【变式1-1】（2023秋•太康县期末）下列命题的逆命题是假命题的是
A．直角三角形的两锐角互余 B．全等三角形的对应角相等
C．两直线平行，内错角相等 D．等腰三角形的底角相等
【分析】由全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，即可判断．
【解答】解： 、 、 中命题的逆命题是真命题，故 、 、 不符合题意；
、对应角相等的三角形不一定全等，故 符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，掌握以上知识点是
解题的关键．
【变式1-2】．（2023秋•松江区期末）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ．
【分析】根据互逆命题的概念解答即可．
【解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三角形，故答案为：有两个内角互余的三角形是直角三角形．
【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个
命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命
题．
【变式1-3】.在 中， ， 平分 ， ．
（1）求证： ；（请用一对互逆命题进行证明）
（2）写出你所用到的这对互逆命题．
【答案】（1）详见解析；（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余有两个锐角互余的三角形是直角三角
形．
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的定义解答即可；
（2）根据直角三角形的性质写出互逆命题即可．
【详解】（1）在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）互逆命题：直角三角形的两锐角互余；有两个锐角互余的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和判定以及命题与定理，掌握角平分线的定义和三角形内角和定
理是解题的关键，注意互逆命题题设和结论的关系．
【考查题型二】互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定
理.
【例2】．（2023秋•嘉定区期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有” 逆定理
【分析】写出原命题的逆命题，根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解： 全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，
定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理．
故答案为：没有．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、全等三角形的性质，熟记三角形全等的性质是解题的关键．
【变式2-1】．（2023春•三明期末）下列定理有逆定理的是
A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．直角都相等
【分析】分别写出下列定理的逆命题即可．
【解答】解： 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故选项不符合题意；
、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行；故选项符合题意；
、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，故选项不符合题意；
、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，故选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题．
【变式 2-2】．（2023 秋•澧县期末）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是
．
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案．
【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是；“同位角相等，两直线平行”；
故答案为：“同位角相等，两直线平行”．
【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命
题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【变式2-3】．找出下列定理有哪些存在逆定理，把它填在横线上 ．
①矩形是平行四边形．
②内错角相等，两直线平行．③如果 ，那么 ．
④全等三角形的对应角相等．
【分析】先写出逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：①逆命题为：平行四边形是矩形，为假命题；
②逆命题为：两直线平行，内错角相等，为真命题；
③逆命题为：如果 ，则 ，为假命题．
④逆命题为：对应角相等的两个三角形是全等三角形，为假命题．
则存在逆定理的有：②．
故答案为：②．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是写出原命题的逆命题．
2个定理
【考查题型三】勾股定理
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝ ，b＝ 及c＝ ．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用
面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
【例3】．（2023春•乾安县期末）如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴
影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 ， 时，则阴影部分的面积为A．4 B． C． D．8
【分析】根据勾股定理得到 ，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得， ，
则阴影部分的面积
，
故选： ．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
【变式3-1】．（2023春•乐陵市期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ， ， ， ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．
例如，如图1， ， ，则 ．
【直接应用】
（1）已知 ， ，求 、 两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中， ， ， 与 轴正半轴的夹角是 ．
①求点 的坐标；
②试判断 的形状．【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点 作 轴于点 ，求出 ，则可求出答案；
②求出 和 的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2）①过点 作 轴于点 ，
与 轴正半轴的夹角是 ，
，
，
，
；
② ， ，
， ，， ，
，
是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾
股定理是解题的关键．
【变式3-2】．（2023春•陈仓区期末）如图，在 中， ， ， ，动
点 从 出发沿射线 以 的速度运动，设运动时间为 ．
（1）求 边的长．
（2）当 为等腰三角形时，求 的值．
【分析】利用勾股定理求解 的长，再分3中情况讨论：当 时，当 时，当 时，
分别计算可求解．
【解答】解：在 中， ， ， ，
，
当 时，如图1，则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ；
当 时，如图2，则 ；当 时，如图3，则 ；
，
综上， 的值为 或10或16．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
【变式3-3】．（2023春•汝南县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图 ，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理；（如图中图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三
个图形中面积关系满足 的有 个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 ， 直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明．【分析】（1）①勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么
．
②在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得：
．在图2中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即可得： ．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得： ．
（2）①根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足 的有3个；
②根据半圆面积和勾股定理即可得结论： ．
【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即 ，
化简得： ．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即 ，
化简得： ．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即 ，
化简得： ．
（2）①三个图形中面积关系满足 的有3个；
故答案为：3；
②结论： ．
，
，
．
．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
【考查题型四】勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的
和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和
与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【例4】．（2023春•科左中旗校级期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，7，8 D．1， ，
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解： 、 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
、 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
、 ，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
、 ，故是直角三角形，故此选项不符合题意
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，正确验证两小边的平方和等于最长边的平方是解题的关键．
【变式4-1】．（2023春•萝北县期末）如图，一块草坪的形状为四边形 ，其中 ， ，
， ， ．求这块草坪的面积．
【分析】连接 ，则 为直角三角形， 为斜边，解直角 求 ，根据 ， ， 判
定 为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【解答】解：连接 ，
因为 ，所以直角 中，由勾股定理得
又
所以 中，
所以 是直角三角形
所以答：该草坪的面积为 ．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股
定理的逆定理判定 是直角三角形是解题的关键．
【变式4-2】．（2023春•莘县期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某
校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 ，他们进行了
如下操作：
①测得 的长度为8米；（注
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高1.6米；
（1）求风筝的垂直高度 ；
（2）若王明同学想让风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在 中，
由勾股定理得， ，
所以， （负值舍去），
所以， （米 ，
答：风筝的高度 为16.6米；
（2）由题意得， 米，
，
（米 ，
（米 ，
他应该往回收线7米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
【变式4-3】．（2023春•江津区期末）2023年江津区积极摸排城市建成区内可利用的建设用地边角地、闲
置地，在摸排中发现，在某住宅建成区一处闲置地，城市绿化管理部门决定将其打造成“口袋公园”．如
图，四边形 为该住宅建成区一处闲置地，经过测量得知： ， ， ，
， ．
（1）如图，连接 ，试求 的长；
（2）该块闲置用地相关政府部门计划投入24万元进行打造，经测算，每平方米打造的费用为1000元，请
你计算说明将这块地打造成“口袋公园”政府投入的费用是否够用？【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理的逆定理得到 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
答： 的长为 ；
（2） ， ， ，
，
，
四边形 的面积 ，
，
答：政府投入的费用够用．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键．
3种方法
【考查题型五】化曲（折）为直法
【例5】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为 和 （ ），高
为 ．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm．
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股
定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接 ，求出 的长度即可．
【详解】解：将长方体展开，连接 ，
∵ ， ，
根据两点之间线段最短， ．
故选：A．
【变式5-1】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，一个圆柱形水杯，底面直径为 ，高为 ，
则一只小虫从下底点 处爬到上底 处，则小虫所爬的最短路径长是（ 取3） ．
【答案】15
【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆
柱的侧面展开式关键．
先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可
以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知 最短．由题意，得 ，
在 中，由勾股定理，得 ．
故答案为： ．
【变式5-2】．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段 上一动点，分别过点B，D作
，连接 ．已知 ．
(1)求当x等于何值时， ?
(2)当 时，求 的长．
(3)利用图形求代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想
（1）根据题意， 时， ，继而得到 ，结合
，得到 ，解方程即可．
（2）当 时， ，利用勾股定理计算即可．
（3）根据 得 ，
构造 ．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可．
【详解】（1）根据题意， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ．
（2）根据题意， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
故 ．
（3）根据 得 ，
构造 ．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长 到点F，过点A作 于点F，
则四边形 是矩形，
故 ．
故 ．
【考查题型六】分类计算法
【例6】．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他
将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 ，如果梯子的底端 不动，顶端靠在对面
墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 ．(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角 处，若 米， 米，则
甲房间的宽度 ＝______米．
(2)当他在乙房间时，测得 米， 米，且 ，求乙房间的宽 ；
(3)当他在丙房间时，测得 米，且 ， ．求丙房间的宽 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)丙房间的宽 是 米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据 以及
的度数得到 为等边三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明 ，从而得到 米， 米， 即可求出 ；
（3） 根据 以及 的度数得到 为等边三角形利用相应的三角函数表示出 ，
的长，可得到房间宽 和 长相等．
【详解】（1）解：在 中，
∵ ， 米， 米，
∴ ，
∵ ，
∴甲房间的宽度 米，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米．
（3）解：过 点作 垂线，垂足点 ，连接 ，
设 ，且 ．
∵梯子的倾斜角 为 ，
∴ 为等腰直角三角形， 为等边三角形 ，梯子长度相同， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，即丙房间的宽 是 米．
【变式6-1】．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图①，等腰三角形 中， ，
点 在边 上，且 ．
(1)如图①，当 时，将 沿 折叠，点 落在 处，再将 沿 折叠，点 也恰好
落在 点处，此时， 的形状是，线段 之间的关系是__________；
(2)如图②， 绕点 在 内部任意位置时，线段 之间的数量关系是__________．
试证明你的猜想：若 ，求 的长．
(3)当 图③的位置时，线段 之间的数量关系是__________．（不要求证明）【答案】(1)等腰直角三角形；
(2) ， ；
(3)
【分析】此题主要考查了几何变换综合题，需要综合掌握图形的翻折变换，勾股定理的应用．
（1）根据折叠的性质知： ， ，所以 ，首先可
得到 是直角三角形，故 、 、 的数量关系符合勾股定理，即 ；而
，所以可得到 ，即 是等腰直角三角形，因此 ．
（2）参照（1）的思路，可将 沿 折叠，得 ，然后连接 ，证 ，后面
的解法同（1）．
（3）解法同（2）．
【详解】（1）解：如图①，根据折叠的性质知： ， ；
， ， ， ；
， ，
故 是等腰直角三角形， （或 ．
故答案为：等腰直角三角形； ；（2）解： ；
如图②，将 沿 折叠，得 ，连 ，则 ，
， ， ，同理可知 ，
， ，而 ，
，
，
．
当 ， 时， ．
．
故答案为： ．
（3）解： ；
如图，将 沿 折叠，得 ，连 ，则 ，
， ， ，同理可知 ，
， ，而 ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【变式6-2】．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒． ．
(1)AC的长为______．
(2)①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为______；（用含t的代数式表示）
②当点P在 的角平分线上，则PC的长为______；
(3)当 是直角三角形时，求t的值；
(4)在整个运动中，直接写出 为轴对称图形时t的值______．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3) 或
(4) 或 或
【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质；
（1）在 中，利用勾股定理即可求解；
（2）①根据当点 在 的延长线上时，点 运动的长度为： ，即可求解．
②过点 作 于点 ，证明 ，设 ，则 ，在
中， ，得出 ，即可求解．
（3）当点 与点 重合时， ，当 时，设 ，根据等面积法求得 ，进而
勾股定理，即可求解；
（4）分当 作为底边时，当 作为腰时，分别画出图形，求得 的长，即可求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．（2）①∵已知点 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点 在 的延长线上时，点 运动的长度为： ，
，
．
故答案为： ．
②解：过点 作 于点 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵点 在 的角平分线上， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
∴
故答案为： ．
（3）解：当点 与点 重合时， ，
当 时，如图所示，设 ，则
∴
在 中，
∴
解得： （负值舍去）
∴
综上所述，当 是直角三角形时， 或
（4）解：当 作为等腰三角形的底边时，如图所示：
则 ，设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
此时 ；
当 作为腰时，如图所示：，此时 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
此时 ，
综上分析可知， 的值为 或 或 ．
【考查题型七】化斜为直法
【例7】．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【解析】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12，∴S ＝BC·AD＝×14×12＝84.
△ABC
2个应用
【考查题型八】勾股定理的应用
【例8】．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，
梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙
时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为 米．【答案】 / /
【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出 ，再利用勾股定理算出 ，根据
计算求解，即可解题．
【详解】解：根据上图，进行如下标注：
由题知， ， ， ， ， ，
，
梯子长度不变，
，
，
，
故答案为： ．
【变式8-1】．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首
计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离
地…”翻译成现代文为：如图，秋千 静止的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前推进两步
（ 尺， 于 ），此时踏板升高离地五尺（ 尺），求秋千绳索（ 或 ）的
长度．【答案】秋千绳索的长度为14.5尺．
【分析】
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设 尺，用 表示出 的长，
在直角三角形 中，利用勾股定理列出关于 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：设 尺，
尺， 尺，
（尺 ， 尺，
在 中， 尺， 尺， 尺，
根据勾股定理得： ，
整理得： ，
即 ，
解得： ，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【变式8-2】．（22-23八年级上·四川成都·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速
和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路 旁选
取一点 ，在公路 上确定点 ，使得 ， 米， ，这时，一辆轿车在公路
上由 向 匀速驶来，测得此车从 处行驶到 处所用的时间为3秒，并测得 ，求 的距离
和此车的速度．（结果保留整数，参考数据： ， ）
【答案】距离为73米，速度为24米/秒
【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据 ， 米， ，可知 的长，
，在 中，可求出 的长，从而确定 的长度，根据速度等于路程除以时间可以算
出轿车的速度，由此即可求解．
【详解】解： ， ， ，
∴ ，∵ ，则 ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵从 处行驶到 处所用的时间为3秒，
∴轿车的速度是 （米/秒）.
【变式8-3】．（22-23八年级上·山东青岛·期中）问题：在平面直角坐标系中有两点 ， ，
如何求线段 的长度？小明在网上搜索到下面的文字材料：
在 轴上有两个点，它们的坐标分别为 和 ．则这两点所成线段长为 ；同样的，若在 轴
上的两点坐标分别为 和 ，则这两点所成线段长为 ．
根据上面材料，完成探究：
（1）如图1，在直角坐标系中的任意两点 其坐标分别是 和 ，分别过这两点作两坐标轴
的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边 ， ，利用勾股定理可得， ．
应用：
（2）平面直角坐标系中，已知两点 和 ，线段 ．
（3）若点 在 轴上，点 的坐标是 ，且 ，则点 的坐标是 ．
拓展：
（4）如图2，在直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 和 ，点 是 轴上的动点，且 ， ，三点不在同一条直线上，点 在什么位置时 的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1） ， ， ；（2）5；（3） 或 ；（4）点
，
【分析】本题考查了两点之间距离公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识；
（1）先求出点 坐标，即可求解；
（2）由两点之间距离公式可求解；
（3）由两点之间距离公式可求解；
（4）作点 关于 轴的对称点 ，当点 在线段 上时， 的周长有最小值，再由两点之间距
离公式和等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：（1） 两点 其坐标分别是 和 ， 轴， 轴，
点 ，
， ，
，
故答案为： ， ， ；
（2） 两点 和 ，
，
故答案为： ；
（3）设点C(x,0)，
∵点D的坐标是(0,-4)， ，
∴ ，
∴ ，
∴点C坐标为(4 ,0)或( ,0)；
（4）如图2，作点 关于 轴的对称点 ，连接，
点 ， 的坐标分别为 和 ，
，
的周长 ，
的周长 ，
当点 在线段 上时， 的周长有最小值，
点 ， 的坐标分别为 和 ，
，
的周长最小值为 ，
过点 作 于 ，
点 ，
， ，
点 ，
，
，
，
，
，点 ．
综上所述：点 ， 的周长最小值为 ．
【考查题型九】勾股定理的逆定理的应用
【例9】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）著名的赵爽弦图（如图（1），其中四个直角三角形较大的直
角边长都为a，较小的直角边长都为 ，斜边长都为 ，大正方形的面积可以表示为 ），可以推导出重要
的勾股定理．
(1)请你利用图（2）推导勾股定理．
(2)如图（3）一条东西走向河的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ，其中 ，由于种种原
因，由 到 的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 在一条直
线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米． 是不是从村庄 到河边
的最近路，请通过计算加以说明；并求比原来的路线 近了多少．
【答案】(1)见解析
(2) 是从村庄 到河边的最近路，理由见解析； 千米
【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，勾股定理的逆定理：
（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等
列出关系式，化简即可得证；
（2）在 中，根据勾股定理的逆定理可得 ，从而得到 是从村庄 到河边的最近路；设
千米，则 千米，在 中，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果．
【详解】（1）解：梯形 的面积为 ，
也可以表示为 ，∴ ，即 ；
（2）解： 是从村庄 到河边的最近路，理由如下：
在 中， 千米， 千米， 千米，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
即 ，
∴ 是从村庄 到河边的最近路，
设 千米，则 千米
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即 千米，
千米．
即 比原来的路线 近了 千米．
【变式9-1】．（23-24八年级上·广东梅州·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国
科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向 ，由
点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线 上两点 A，B的距离分别为 和 ，
又 ，飞机中心周围 以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C 受洒水影响吗？为什么？
(2)若飞机的速度为 ，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】(1)着火点C受洒水影响，理由见详解
(2)能，理由见详解
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，
（1）过点C作 ，垂足为D，勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案；
（2）以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F． 勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质进
而求得 的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．
【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作 ，垂足为D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
所以 ，
∵ ，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心， 为半径作圆，交 于点E，F．
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴着火点C能被扑灭．
【变式9-2】．（22-23八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图1，某车间生产了一个竖直放在地面上的
零件 ，过点A搭了一个支架AC，测得支架AC与地面成 角，即 ；在 的中点D处固
定了一个激光扫描仪，需要对零件 进行扫描，已知扫描光线的张角恒为 ，即 ．
问题提出：数学兴趣小组针对这个装置进行探究，研究零件 边上的被扫描部分（即线段EF），和未扫
到的部分（即线段 和线段 ）之间的数量关系．
问题解决：
(1)先考虑特殊情况：
①如果点E刚好和点A重合，或者点B刚好和点F重合时， ________ （填“>”，“<”或
“=”）；
②当点E位于特殊位置，比如当 时， ________ （填“>”或“<”）；
(2)特殊到一般：猜想：如图2，当 时， ________ ，证明你所得到的结论：
(3)研究特殊关系：如果 ，求出 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1） 连接 ，先证明 是等边三角形，即 ，当F点与B点
重合时，即 ，根据“三线合一”可得 ，即有 ，同理：如果点E刚好和点A
重合，同样有 ；问题得解； 先证明 是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，再结合含 角的直角三角形的性质可以求出 ，即问题得解；
（2）将 绕D点逆时针旋转120°至 ，连接 ，先证明 ，再证明
，问题即可得解；
（3）将 绕D点逆时针旋转 至 ，连接 ，根据（2）中的方法，同理可证明：
， ，再证明 是直角三角形， ，结合含 角的直角三角形
的性质即可求解．
【详解】（1） 如图，连接 根据题意有 ， ，即 ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，（此结论也适用于第（2）和（3）问）
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
当F点与B点重合时，如上图左图，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
同理：如果点E刚好和点A重合，同样有 ，
故答案为： ；
当 时，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
将 绕D点逆时针旋转 至 连接 如图，根据旋转的性质有： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）将 绕D点逆时针旋转 至 ，连接 如图，
根据（2）中的方法，同理可证明： ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵在（1）中已证明 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含 角直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性
质，勾股定理及其逆定理等知识，合理构筑辅助线，证明三角形全等是解答本题的关键．
【变式9-3】．（22-23八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在 中， ， ， .
(1)试判断 的形状，并证明：
(2)当 时，点 从A出发，以1个单位/秒的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒，
①当 平分 时，求 的值：
②当点 落在边 的垂直平分线上时，求 的值；
③在整个运动过程中，直接写出 为等腰三角形时 的值.
【答案】(1) 是直角三角形
(2)① 秒；② 秒或 秒；③ 秒或11秒或2.5秒或1.4秒
【分析】（1）根据所给数据可得 ，即可判断 的形状；
（2）①根据题意作出图形，再过点 作 ，垂足为 ，可发现 ，设
，则 ， ，通过 是直角三角形建立方程解答即可；②根据题意作出图形，分两种情况：点 在 中点；点 在 上．当点 在 中点时，此时 即可解答；当点
在 上时，连接 ，设 为 ，则 ，根据 是直角三角形列出方程即可解答；
③由题意可知，当点 在 上，且 ；当点 在 上， ；当点 在 上，且过 的
垂直平分线， ；当点 在 上， ；分别求出四种情况的 值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
则 ，
，
是直角三角形；
（2）解：当 时， ， ， ，
①如图， 平分 ，过点 作 ，垂足为 ，
在 和 中，
，
，
，
设 ，
， ，
在 中，有 ，
，
，此时， ，
（秒）；
②如图， 垂直平分 ，
点 可能在点 处，也可能在点 处，
当点 在点 处时，
，
（秒），
当点 在 处时，
连接 ， 垂直平分 ，
，
设 为 ，
则 ，
在 中，有 ，
，
，
，
（秒），
综上， 秒或 秒；
③当点 在 上， 时，
此时 ，
（秒），
当点 在 上， 时，
此时 ，（秒），
当点 在 上，且过 的垂直平分线， 时，如图，
此时点 为 的中点， ，
（秒），
当点 在 上， 时，
如图，过点 作 ，垂足为 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，有 ，
，
或 （舍去），
综上， 秒或11秒或2.5秒或1.4秒．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分
线的性质、等腰三角形的定义，掌握勾股定理及其逆定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．【变式9-4】．（22-23八年级上·福建漳州·期中） 问题提出 如图 ，等腰直角 中， ，
，点 ， 在边 上，且 ，问是否存在以 ， ， 为边的三角形？若存在，
判断该三角形的形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
笑笑同学看完题后，经过认真思考，给出了如下解答思路：将 沿 翻折，得到 ，连接
(1) 问题解决 请你按笑笑同学的思路，在图 中补全图形，并完成解答；
(2) 问题拓展 如图 ，正方形 （正方形的四条边相等，四个角为直角）中，点 在边 上，点
在边 上，使得 平分 ，问是否存在以 ， ， 为边的三角形？若存在，判断该三角形的
形状，并说明理由，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）将 沿 翻折，得到 ，连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得
，从而可得 ， ，
再根据折叠的性质可得： ， ， ， ，从而可得 ，
，进而利用 可得 ，然后利用全等三角形的性质可得 ，
，从而可得 ，≌进而可得 ，最后利用等量代换可得
，即可解答；
（2）过点 作 ，垂足为 ，连接 ，根据垂直定义可得 ，再根据正方形
的性质可得 ， ，从而可得 ，然后利用角平分线的定义可得，再利用 证明 ，从而可得 ， ，进而可得 ，最
≌
后利用 证明 ，从而可得 ，进而可得 ，即可解答．
≌
【详解】（1）解：存在以 ， ， 为边的三角形，该三角形是直角三角形，
理由：如图 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，
， ，
，
，
， ，
由折叠得： ， ， ， ，
， ，
，
，
≌
， ，
，
，
，
存在以 ， ， 为边的三角形，该三角形是直角三角形；
（2）解：不存在以 ， ， 为边的三角形，
理由：过点 作 ，垂足为 ，连接 ，，
四边形 是正方形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
≌
， ，
，
，
，
≌
，
，
，
不存在以 ， ， 为边的三角形．
【点睛】本题考查了翻折变换 折叠问题 ，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，正方形的性质，
根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2 种思想
【考查题型十】分类讨论思想【例10】．（2022春•蜀山区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P
从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．
【分析】（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．
（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．
【解答】解：（1）连接PB，
∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝ ＝8（cm），
∵CP2+BC2＝PB2，
∵PA＝PB＝2tcm，
∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，
∴t＝ ；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，
解得：t＝ ，
当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t＝ 或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
【变式10-1】．（2022秋•佛山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点
P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求
出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，
分别求出BP的长度，继而可求得t值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝62+（2t﹣8）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，
解得：t＝ ，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝ ；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t＝ ，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝ ．
【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分
情况讨论，注意不要漏解．
【考查题型十一】方程思想
【例11】．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形的一边 使点D落在 边的
点F处，已知 ， ，则EC的长为 ．
【答案】3
【详解】解：设EC的长为 ，则 ，
折叠后的图形是 ，
， ， ，
，
，
又 ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
，，
，
在 中，根据勾股定理，得： ，
，
即 ，
化简，得 ，
．
即EC的长为 ，
【变式11-1】．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘
米，求BF与FC的长．
【解答】解：∵△AEF是△AED沿直线AE折叠而成，AB＝8cm，BC＝10cm，
∴AD＝AF＝10cm，
设BF＝x，则FC＝10﹣x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，
解得x＝6，即BF＝6厘米．
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
综上可得BF的长为6厘米、FC的长为4厘米．
