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y= ax2
专题 22.1.2.2 二次函数
+c
的图象和性质（4 个考
点）
【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】
【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】
【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】
1．抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线的解析式为， ，
∴顶点坐标为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题
的关键．
2．抛物线 的对称轴是（ ）
A．y轴 B．直线x=2 C．直线 D．直线x=﹣3
【答案】A
【详解】解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为 ，故对称轴为x= =0，
所以对称轴为y轴．
故选：A．
3．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4）
【答案】D
【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【详解】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）．
故选D．
【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】
4．二次函数 与y轴交点的纵坐标为3，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与 轴的交点．将点代入解析式进行求解即可．
【详解】解：∵ 与y轴交点的纵坐标为3，
∴ 在函数图象上，代入解析式的： ，
∴ ；
故选D．
5．关于抛物线 下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．有最小值 D．当 时，函数y
随x的增大而减小
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，
可求得答案．．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴函数有最大值，当 时，函数y随x的增大而减小，
∴四个选项中只有选项B符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与系数的关系和二次
函数的性质是解题的关键．
6．已知抛物线 开口向下，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数 即可求出
答案．
【详解】解：由题意可知： ，
；
故选：B．
7．下列关于函数 的结论中，正确的是（ ）
A． 随 的增大而减小 B．当 时， 随 的增大而增大
C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．
根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．
【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为 轴，
当 时， 随 增大而减小，
A、C选项说法错误，
当 时， 随 增大而增大，
B选项说法正确，D选项说法错误，
故选：B．
8．下列对于二次函数 ，说法不正确的是（ ）
A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点
C．当 时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴
【答案】B【分析】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知 的图象与性
质．
【详解】解：A. 开口向上，最小值为3，说法正确；
B. 图象与y轴交于 ，说法错误；
C. 当 时，y随x的增大而减小，说法正确；
D. 其图象的对称轴是y轴，说法正确；
故选B．
9．对于二次函数 ，下列说法，不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当 时， 随 的增大而减小
C．图象是轴对称图形 D．当 时， 有最大值
【答案】B
【分析】根据二次函数二次项系数的符号可判断A；利用对称性左侧的增减性可判断B；利
用二次函数的对称轴可判断C，利用二次函数开口向下，函数有最大值可判断D．
【详解】解：A、∵二次函数 中， ，∴此抛物线开口向下，故本选项
正确，不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴 ，∴当 时函数图象在对称轴左侧，y随x的增大而
增大，故本选项错误，符合题意；
C、二次函数的图象是轴对称图形，故本选项正确，不符合题意；
D、∵抛物线开口向下，∴此函数有最大值，当 时，y有最大值是3，故本选项正确，
不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，开口方向，增减性，对称轴，最值，掌握二次函数的
性质是解题的关键．
10．已知抛物线 有最低点，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到 ，由此即可得
到 的取值范围．
【详解】解：∵二次函数 的图象有最低点，
函数图象开口向上，
则 ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．
11．对于二次函数 ，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线 ，且开口向上，再由 可知，当
时，取得最小值，当 时，取得最大值，即可求出答案．
【详解】解： 二次函数的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线开口向上，
，
当 时，取得最小值 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 的取值范围是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关
键．
12．当 时，二次函数 的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴抛物线的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴为： ，
故选D．
【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
13．已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】A.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D.若 ，则 ，正确，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点
是解题的关键．
14．若函数 ，则当函数y=15时，自变量 的值是（ ）
A． B．5 C． 或5 D．5或
【答案】D
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．
【详解】解：当x＜3时，
令2x2-3=15，
解得x=-3；
当x≥3时，
令3x=15，
解得x=5；
由上可得，x的值是-3或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利
用分类讨论的方法解答．
15．抛物线 在 轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
【答案】下降
【分析】根据抛物线的性质判定即可．
【详解】∵抛物线 开口向下，对称轴为y轴，
∴抛物线 在 轴的右侧y随x的增大而减小，
故答案为：下降．
【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
16．抛物线 经过点 ，那么 ．
【答案】1
【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可．【详解】∵抛物线 经过点 ，
∴6=4a+2，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图象过点，点的坐标满足函数的解析式是解
题的关键．
17．如图，将二次函数 位于 的下方的图象沿 轴翻折，再得到一个新函数的图
象（图中的实线）．
(1)当 时，新函数值为______，当 时，新函数值为______；
(2)当 ______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数 随 的增大而增大时，自变量 的范围是______；
(4)直线 与新函数图象有两个公共点时， 的取值范围______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）把 和 分别代入 求得函数值，根据函数图象即可求得答
案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
当 时，新函数值为 ，当 时，新函数值为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：观察图象可得：
当 或 时，新函数有最小值为 ，
故答案为： 或 ；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数 随 的增大而增大时，自变量 的范围是 或 ；
故答案为： 或 ；
（4）解：观察图象可得：
直线 与新函数图象有两个公共点时， 的取值范围 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特
征，数形结合是解题的关键．
【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】
18．已知点（﹣1，y），（2，y），（﹣3，y）都在函数y＝x2＋1上，则（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3
【答案】A
【分析】根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出y、y、y，然后解答即可．
1 2 3
【详解】解：y＝（−1）2＋1＝2，
1
y＝22＋1＝5，
2
y＝（−3）2＋1＝10，
3
所以，y＜y＜y．
1 2 3
故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数
关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y ），E（3，y ）在抛物线
1 2
上，若y ＜y ，则n的取值范围是（ ）
1 2
A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1
【答案】A
【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y ＜y 时结合图象求解；
1 2
【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1，
E（3，y ）关于对称轴对称的点（﹣1，y ），
2 2
∵抛物线开口向下，
∴y ＜y 时，n＞3或n＜﹣1，
1 2
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键．
20．已知点 ，点 在抛物线 上，且 ，且 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线图象，确定图象开口，对称轴，再根据函数的增减性即可求解．
【详解】解：抛物线 的对称轴为 ，
当 时，函数开口向上，对称轴为 ，则 时，函数值随自变量的增大而增大，
∵点 ，点 中， ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关
键．
21．已知点 都在函数 上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数
关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，
分别求出 、 、 ，然后解答即可．
【详解】解：∵点 都在函数 上，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：B．
22．已知点 在二次函数 的图象上，则 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式得到二次函数开口向下，对
称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点 在二次函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选D．
23．若二次函数 的图象经过点 ， ，则 （选填：﹥，
﹤，=）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所
给点到对称轴的距离大小即可求解．【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，且图象开口向上，
又 ， ， ，
∴
故答案为：
24．抛物线 上有两点 ， ，若 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． 或 D．以上都不对
【答案】D
【分析】根据 ，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据 ，得到当点
A、B都在y轴左侧时， ，当点A、B都在y轴右侧时， ，当点A、B分
布在y轴两侧时， ，或 ，且 ．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，
对称性．
【详解】∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵ ，
如图1，当点A、B都在y轴左侧时，
∵y随x的增大而增大，
∴ ，
如图2，当点A、B都在y轴右侧时，
∵y随x的增大而减小，∴ ，
当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点 ，
如图3，∵ ，
∴ ，且 ，
或如图4，∵ ，
∴ ，且 ．
故选：D．
【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】
25．函数y＝ax－a和 （a为常数，且 ），在同一平面直角坐标系中的大致
图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】先根据 的顶点坐标为 判断A，B不符合题意，再由C，D中的二
次函数的图象判断 则 从而可得答案．
【详解】解：由 的顶点坐标为
故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函
数的图象与性质”是解本题的关键．
26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可
得出结论．
【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，
a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，
a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，
a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，
a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性
质是解此题的关键．
